ENG A49 - 6. Forcas distribuidas momentos de inercia

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Notas de aula baseadas no livro:
MECÂNICA VETORIAL PARA
ENGENHEIROS: ESTÁTICA (Capítulo 9)
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Elliot R. Eisenberg
Notas de Aula:
J. Walt Oler
ENGA49 Isostática
Prof. Roberto Almeida
Forças Distribuídas:
Momentos de Inércia
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 2
Introdução
• Anteriormente foram consideradas forças distribuídas que eram 
proporcionais à área sobre a qual elas atuavam. 
- A resultante era obtida somando ou integrando as áreas.
- O momento da resultante em relação a qualquer eixo era 
determinado calculando os primeiros momentos das áreas em 
relação ao eixo.
• Agora serão consideradas forças que são proporcionais à área sobre a 
qual elas atuam mas também variam linearmente com a distância para 
um dado eixo.
- Será mostrado que a magnitude da resultante depende do primeiro 
momento da distribuição da força em relação ao eixo.
- O ponto de aplicação da resultante depende do segundo momento 
da distribuição em relação ao eixo.
• Este capítulo apresentará métodos para cálculo de momentos e produtos 
de inércia de áreas.
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 3
Momento de Inércia de uma Área
• Considere forças distribuídas cujas magnitudes 
são proporcionais às áreas elementares sobre as 
quais elas atuam e também variam linearmente com a 
distância de para um dado eixo.
F


A
A
• Exemplo: considere uma viga sujeita a flexão pura. 
Forças internas variam linearmente com a distância 
para um eixo neutro que passa pelo centróide da seção. 
momento segundo 
momento primeiro 0
22 




dAydAykM
QdAydAykR
AkyF
x

• Exemplo: considere a força hidrostática sobre uma 
comporta circular submersa.





dAyM
dAyR
AyApF
x
2


Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 4
Momento de Inércia de uma Área por Integração
• Segundos momentos ou momentos de inércia
de uma área em relação aos eixos x e y,
  dAxIdAyI yx
22
• As integrais são simplificadas escolhendo 
dA como uma faixa estreita paralela a um 
dos eixos coordenados.
• Para uma área retangular,
3
3
1
0
22 bhbdyydAyI
h
x  
• A fórmula para áreas retangulares pode ser 
aplicada a faixas paralelas aos eixos,
dxyxdAxdIdxydI yx
223
3
1 
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 5
Momento Polar de Inércia
• O momento polar de inércia é um parametro 
importante em problemas envolvendo torção de 
eixos cilíndricos e rotação de placas.
 dArJo
2
• O momento polar de inércia está relacionado com 
os momentos de inércia retangulares,
 
xy
o
II
dAydAxdAyxdArJ

 
22222
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 6
Raio de Giração de uma Área
• Considere a área A que tem momento 
de inércia Ix. Imagine que a área está 
concentrada numa faixa estreita 
paralela ao eixo x com Ix equivalente.
A
I
kAkI xxxx 
2
kx = raio de giração em relação ao 
eixo x
• De maneira similar,
A
J
kAkJ
A
I
kAkI
o
ooo
y
yyy


2
2
222
yxo kkk 
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 7
Exemplo 9.1
Determine o momento de 
inércia de um triângulo em 
relação à sua base.
SOLUÇÃO:
• Uma faixa estreita paralela ao eixo x é escolhida para dA.
dyldAdAydIx 
2
• Por semelhança de triângulos,
dy
h
yh
bdA
h
yh
bl
h
yh
b
l 





• Integrando dIx de y = 0 para y = h,
 
h
hh
x
yy
h
h
b
dyyhy
h
b
dy
h
yh
bydAyI
0
43
0
32
0
22
43









 
12
3bh
I x
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 8
Exemplo 9.2
a) Determine o momento polar de 
inércia centroidal de uma área 
circular por integração direta.
b) Usando o resultado da parte a, 
determine o momento de inércia 
de uma área circular em relação a 
seu diâmetro.
SOLUÇÃO:
• Um elemento diferencial de área anular é escolhido,
   

rr
OO
O
duuduuudJJ
duudAdAudJ
0
3
0
2
2
22
2


4
2
rJO


• Por simetria, Ix = Iy,
xxyxO IrIIIJ 2
2
2 4 

4
4
rII xdiâmetro


Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 9
Teorema dos Eixos Paralelos
• Considere o momento de inércia I de uma 
área A em relação ao eixo AA’
 dAyI
2
• O eixo BB’, paralelo a AA’, passa pelo 
centróide da área e é chamado eixo centroidal.
 




dAddAyddAy
dAdydAyI
22
22
2
2AdII 
Teorema dos 
eixos paralelos
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 10
Teorema dos Eixos Paralelos
• Momento de inércia IT de uma área circular 
em relação à reta tangente ao círculo,
 
4
4
5
224
4
12
r
rrrAdIIT




• Momento de inércia de um triângulo em relação 
ao eixo centroidal,
 
3
36
1
2
3
1
2
13
12
12
2
bh
hbhbhAdII
AdII
AABB
BBAA





Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 11
Momentos de Inércia de Áreas Compostas
• O momento de inércia de uma área composta A em relação a um 
dado eixo é obtido pela adição dos momentos de inércia das áreas 
componentes A1, A2, A3, ... , em relação ao mesmo eixo.
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 12
Momentos de Inércia de Áreas Compostas
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 13
Exemplo 9.4
A resistência de uma viga de aço de 
perfil W14x38 é aumentada ao soldar 
uma placa ao flange superior. 
Determine o momento de inércia e o 
raio de giração em relação a um eixo 
paralelo à placa que passa pelo 
centróide da seção.
SOLUÇÃO:
• Determine a localização do centróide da 
seção composta em relação ao sistema 
de coordenadas com origem no 
centróide da seção do perfil.
• Aplique o teorema dos eixos paralelos 
para determinar os momentos de inércia 
da seção do perfil e da placa em relação 
ao eixo centroidal da seção composta.
• Calcule o raio de giração a partir do 
momento de inércia da seção composta.
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 14
Exemplo 9.4
SOLUÇÃO:
• Determine a localização do centróide da seção composta 
em relação ao sistema de coordenadas com origem no 
centróide da seção do perfil.
12.5095.17
0011.20Perfil
12.50425.76.75Placa
in ,in. ,in ,Seção 32
  AyA
AyyA
in. 792.2
in 17.95
in 12.50
2
3




A
Ay
YAyAY
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 15
Exemplo 9.4
• Aplique o teorema dos eixos paralelos para determinar os 
momentos de inércia da seção do perfil e da placa em 
relação ao eixo centroidal da seção composta.
  
     
4
23
4
3
12
12
placa,
4
22
perfil,
in 2.145
792.2425.775.69
in3.472
792.220.11385






AdII
YAII
xx
xx
• Calcule o raio de giração a partir do momento de inércia da 
seção composta.
2
4
in 17.95
in 5.617
 
A
I
k xx
in. 87.5xk
2.145 3.472placa,perfil,   xxx III
4in 618xI
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 16
Exemplo 9.5
Determine o momento de inércia 
da área sombreada em relação ao 
eixo x.
SOLUÇÃO:
• Calcule os momentos de inércia do 
retângulo e do semi-círculo em relação ao 
eixo x.
• O momento de inércia da área sombreada é 
obtido subtraindo o momento de inércia do 
semi-círculo do momento de inércia do 
retângulo.
Forças Distribuídas:Momentos de Inércia
9 - 17
Exemplo 9.5
SOLUÇÃO:
• Calcule os momentos de inércia do retângulo e do 
semi-círculo em relação ao eixo x.
Retângulo:
   46
3
13
3
1 mm102.138120240  bhIx
Semi-círculo: 
momento de inércia em relação a AA’,
  464
8
14
8
1 mm1076.2590  rI AA
  
 
23
2
2
12
2
1
mm1072.12
90
mm 81.8a-120b
mm 2.38
3
904
3
4






rA
r
a
momento de inércia em relação a x’,
  
46
362
mm1020.7
1072.121076.25

  AaII AAx
momento de inércia em relação a x,
  
46
2362
mm103.92
8.811072.121020.7

  AbII xx
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 18
Exemplo 9.5
• O momento de inércia da área sombreada é obtido 
subtraindo o momento de inércia do semi-círculo do 
momento de inércia do retângulo.
46mm109.45 xI
xI

46mm102.138 

46mm103.92 
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 19
Produto de Inércia
• Produto de Inércia:
 dAxyI xy
• Teorema dos eixos paralelos para 
produtos de inércia:
AyxII xyxy 
• Quando o eixo x, o eixo y, ou ambos 
são eixos de simetria, o produto de 
inércia é zero.
• Pode ser positivo, negativo ou zero
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 20
Exemplo 9.6
Determine o produto de inércia do 
triângulo retângulo:
a) em relação ao eixo x e y; 
b) em relação aos eixos centroidais 
paralelos aos eixos x e y.
SOLUÇÃO:
• Determine o produto de inércia usando 
integração direta e o teorema dos eixos 
paralelos com uma faixa retangular vertical 
como elemento diferencial.
• Aplique o teorema dos eixos paralelos 
para obter o produto de inércia em relação 
aos eixos centroidais.
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 21
Exemplo 9.6
SOLUÇÃO:
• Determine o produto de inércia usando integração direta 
e o teorema dos eixos paralelos com uma faixa 
retangular vertical como elemento diferencial




















b
x
hyyxx
dx
b
x
hdxydA
b
x
hy
elel 1
11
2
1
2
1
Integrando dIxy de x = 0 a x = b,
 
bb
b
elelxyxy
b
x
b
xx
hdx
b
x
b
xx
h
dx
b
x
hxdAyxdII
0
2
432
2
0
2
32
2
0
2
2
2
1
83422
1






















22
24
1 hbIxy 
dAyxIddI elelyxxy  
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 22
Exemplo 9.6
• Aplique o teorema dos eixos paralelos para obter o 
produto de inércia em relação aos eixos centroidais
hybx
3
1
3
1 
Com os resultados da parte a,
   bhhbhbI
AyxII
yx
yxxy
2
1
3
1
3
122
24
1 



22
72
1 hbI yx 
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 23
Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
Dados




dAxyI
dAxIdAyI
xy
yx
22
queremos determinar os 
momentos e produtos de inércia 
em relação aos novos eixos x’ e y’.



2cos2sen 
2
2sen 2cos
22
2sen 2cos
22
xy
yx
yx
xy
yxyx
y
xy
yxyx
x
I
II
I
I
IIII
I
I
IIII
I















• A mudança de eixos resulta em
• As equações para Ix’ e Ix’y’ são as 
equações paramétricas de um círculo,
 
2
2
méd
222
méd
22
xy
yxyx
yxx
I
II
R
II
I
RIII





 



 
• As equações de Iy’ e Ix’y’ levam ao 
mesmo círculo.

sen cos
sen cos
xyy
yxx


Sendo:
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 24
Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
 
2
2
méd
222
méd
22
xy
yxyx
yxx
I
II
R
II
I
RIII





 



 
• Nos pontos A e B, Ix’y’ = 0 e Ix’ é 
máximo e mínimo, respectivamente.
RII  médmínmáx,
yx
xy
m
II
I


2
2tan 
• Imax e Imin são os momentos de inércia
principais da área em relação a O.
• A equação para m define dois 
ângulos, separados de 90o que 
correspondem aos eixos principais
da área em relação a O.
Iméd
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 25
Círculo de Mohr para Momentos e Produtos de Inércia
2
2
méd
22
xy
yxyx
I
II
R
II
I 




 



• Os momentos e produtos de inércia de uma área 
são plotados como mostrado e usados para 
construir o círculo de Mohr,
• O círculo de Mohr pode ser usado graficamente ou analiticamente para determinar 
os momentos e produtos de inércia para quaisquer outros eixos retangulares, 
incluindo os eixos principais e os momentos e produtos de inércia principais.
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 26
Exemplo 9.7
Para a seção mostrada, os momentos de 
inércia em relação aos eixos x e y são 
Ix = 4,05x10
6 mm4 e Iy = 2,72x10
6 mm4.
Determine:
a) a orientação dos eixos principais da 
seção em relação a O, e 
b) os valores dos momentos de inércia 
principais em relação a O.
SOLUÇÃO:
• Calcule o produto de inércia em relação 
aos eixos xy dividindo a seção em três 
retângulos e aplique o teorema dos eixos 
paralelos para cada.
75mm
100mm
12,5mm
75mm
12,5mm
12,5mm • Determine a orientação dos eixos 
principais e os momentos de inércia 
principais. 
RII  médmínmáx,
yx
xy
m
II
I


2
2tan 
2
2
méd
22
xy
yxyx
I
II
R
II
I 




 



Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 27
Exemplo 9.7
SOLUÇÃO:
• Calcule o produto de inércia em relação aos eixos xy
dividindo a seção em três retângulos.
6
6
6
42
10x56,2
10x28,175,4325,315,937III
0005,937II
10x28,175,4325,315,937I
mm,mm ,mm ,mm Área,Retângulo



 Ayx
Ayxyx
Aplique o teorema dos eixos paralelos para cada.
    AyxII yxxy
Note que o produto de inércia em relação aos eixos 
centroidais paralelos aos eixos xy é zero para cada 
retângulo.
46 mm 10x56,2  AyxI xy
75mm
100mm
12,5mm
75mm
12,5mm
12,5mm
31,25mm
31,25mm
43,75mm
43,75mm
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 28
Exemplo 9.7
• Determine a orientação dos eixos principais e os 
momentos de inércia principais.
46
46
46
mm 10x56,2
mm 10x72,2
mm 10x05,4



xy
y
x
I
I
I
 







255,4 e 4,752
85,3
10x72,210x05,4
10x56,222
2tan
66
6
m
yx
xy
m
II
I


 7,127 e 7,37 mm 
 26
2
66
mínmáx, 10x56,2
2
10x)72,205,4(
2
10x)72,205,4(





 


I
46
mín
46
máx
mm 10x74,0
mm 10x03,6


II
II
b
a
2
2
mínmáx,
22
xy
yxyx
I
IIII
I 




 



Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 29
Exemplo 9.8
Os momentos e produtos de inércia em 
relação aos eixos x e y são: 
Ix = 7,24x10
6 mm4, 
Iy = 2,61x10
6 mm4 e 
Ixy = -2,54x10
6 mm4.
SOLUÇÃO:
• Plote os pontos (Ix , Ixy) e (Iy ,-Ixy) e 
construa o círculo de Mohr. O diâmetro 
do círculo é o segmento entre os pontos.
• A partir do círculo, determine a 
orientação dos eixos principais e os 
momentos de inércia principais.
• A partir do círculo, calcule os 
momentos e produtos de inércia em 
relação aos eixos x’y’.
Usando o círculo de Mohr,determine: 
a) os eixos principais em relação a O, 
b) os valores dos momentos principais em relação a O, e 
c) os valores dos momentos e produtos de inércia em relação aos eixos x’ e y’.
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 30
Exemplo 9.8
46
46
46
mm1054,2
mm1061,2
mm1024,7



xy
y
x
I
I
I
SOLUÇÃO:
• Plote os pontos (Ix , Ixy) e (Iy ,-Ixy) e construa o círculo de 
Mohr. O diâmetro do círculo é o segmento entre os pontos.
 
 
    4622
46
2
1
46
2
1
méd
mm10437,3
mm10315,2
mm10925,4



DXCDR
IICD
IIIOC
yx
yx
• A partir do círculo, determine a orientação dos eixos 
principais e os momentos de inércia principais.
 6,472097,12tan mm
CD
DX   8,23m
RIOAI  médmax
46
max mm1036,8 I
RIOBI  médmin
46
min mm1049,1 I
Forças Distribuídas: Momentos de Inércia
9 - 31
Exemplo 9.8
46
46
méd
mm10437,3
mm10925,4


R
IOC
• A partir do círculo, calcule os momentos e produtos de 
inércia em relação aos eixos x’y’.
Os pontos X’ e Y’ correspondentes aos eixos x’ e y’ são 
obtidos pela rotação de CX e CY no sentido anti-horário 
de um ângulo   2(60o) = 120o. O ângulo de CX’ com a 
horizontal é f = 120o – 47,6o = 72,4o.
o
y RIYCOCOGI 4,72coscos méd'  f
46 mm1089,3 yI
o
x RIXCOCOFI 4,72coscos méd'  f
46 mm1096,5 xI
o
' 4,72sen.sen. RXCXFI yx  f
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