ENG A49 - 5. Forças Distribuídas - Centróides e Baricentros

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5. Forças Distribuídas: Centróides e Baricentros
A Terra exerce força gravitacional sobre cada partícula 
que compõe um corpo. Essas forças podem ser 
substituídas por uma única força equivalente, o peso do 
corpo, aplicada no seu centro de gravidade.
Centro de gravidade de uma placa








dWy
WyWyM
dWx
WxWxM
x
y
Centroides de áreas e linhas
Se a placa tem área A,
espessura uniforme “t” 
e o material que a 
constitui tem peso
específico “у” as 
equações ficam:
Centroide de uma área
   
x
QdAyAy
y
QdAxAx
dAtxAtx
dWxWx
x
y
 a relação em momento primeiro 
 a relação em momento primeiro 











e são as coordenadas do 
centroide da área. Se a espessura
da placa é constante e o material 
Uniforme, coincide com o centro de
gravidade. Se não, é apenas o 
centro da área.
X Y
Centroide de uma linha
Se o arame tem comprimento L, diâmetro uniforme “a” e o 
Material tem peso específico “у” as equações ficam:   








dLyLy
dLxLx
dLaxLax
dWxWx

Momento de primeira ordem em relação a Y
Momento de primeira ordem em relação a X
e são as coordenadas do centro da linha (centroide)X Y
Áreas e curvas simétricas
• Uma área é simétrica em relação a um eixo 
BB’ se para cada ponto P existir um ponto 
P’ de modo que PP’ seja perpendicular a 
BB’ e que seja dividido em duas partes 
iguais por BB’.
• O momento de primeira ordem de uma área 
em relação a um eixo de simetria é zero.
• Se uma área possui dois eixos de simetria, seu 
centróide está na interseção destes eixos.
• Se uma área possui dois eixos de simetria, seu 
centróide está na interseção destes eixos.
• Uma área é simétrica em relação a um polo O
se para cada elemento dA em (x,y) existir uma 
área dA’ em (-x,-y).
• Os momentos de primeira ordem em relação a X 
e Y serão nulos - centróide da área coincide 
com o polo de simetria. 
Centroides de áreas e linhas compostas 
O momento de primeira ordem de uma área ou linha composta de 
partes conhecidas em relação a cada dos eixos é igual à soma dos 
momentos das partes que as compõem em relação ao mesmo 
eixo.
Centroides de formas frequentes
Exemplo: Determine a posição dos centroides das áreas abaixo
3
0
cm
50cm 30cm30cm
Determinação do centroide por integração




dAydydxydAyAy
dAxdydxxdAxAx
el
el
• A dupla integração para encontrar o 
momento de primeira ordem pode ser 
evitada definindo dA como uma faixa 
estreita.
 
 ydx
y
dAyAy
ydxx
dAxAx
el
el








2
  
  dyxay
dAyAy
dyxa
xa
dAxAx
el
el










2






















dr
r
dAyAy
dr
r
dAxAx
el
el
2
2
2
1
sin
3
2
2
1
cos
3
2
Exemplo: Determine a posição do centroide da área abaixo
Teoremas de Pappus-Guldinus – superfícies e 
sólidos de revolução
A área da superfície de revolução é 
igual ao produto do comprimento 
da curva geratriz pela distância 
percorrida pelo centróide da 
geratriz durante o giro. 
dA = 2πy.dL A = ∫ 2πy.dL
LyA 2
Uma superfície de revolução é gerada girando uma curva 
plana em torno de um eixo.
Um sólido de revolução é gerado pelo giro de uma área plana 
em torno de um eixo.
AyV 2
O volume de um sólido de revolução é igual o produto da área da geratriz 
pela distância percorrida pelo centróide da geratriz durante o giro.
dV = 2πy. dA
V = ∫ 2πy. dA
Calcule a capacidade em litros da tijela. R = 30 cm
Cargas distribuídas sobre vigas
A carga distribuía ao longo da viga pode ser representada por uma 
curva. A carga concentrada equivalente é igual à área do diagrama 
de carga e passa pelo centroide desse diagrama. 
  AdAdxwW
L
0
 
  AxdAxAOP
dWxWOP
L




0
5.61 – Determine a reação de apoio na viga