Probabilidade

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Estatística – Probabilidade – 1sem/2010 – Profa. Angélica
	2. Probabilidade
	2.1. Função de Probabilidade
Definição
	É a função P que associa a cada evento de F um número real pertencente ao intervalo [0,1], satisfazendo aos axiomas:
I) P(() =1
II) P(A(B) = P(A) + P(B) se A e B forem mutuamente exclusivos.
III) 
, se A1, A2,..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos.
	Observamos pela definição que 
 para todo evento A, A ( (.
	2.2. Teoremas
	T.1
	“Se os eventos A1, A2,..., An formam uma partição do espaço amostral, então:
Demostração:
Pela definição de partição, os eventos A1, A2,..., An são mutuamente exclusivos e 
.
Logo: 
. Usando os axiomas I e III da definição, temos: 
	T.2
	“Se ( é o evento impossível, então P(() = 0”
Demostração:
Como ( ( ( = ( e ( ( ( = (, temos: 
Obs. A recíproca não é verdadeira, pois o fato de P(A) = 0 não implica que A seja impossível.
	T.3
	(Teorema do Evento Complementar). “Para todo evento A( (, 
.”
Demostração:
Como 
 temos: 
	T.4
	(Teorema da Soma). “Sejam A ( ( e B ( (. Então: 
.”
	�
Demonstração: Escreveremos os eventos (A(B) e A como reuniões de eventos mutuamente exclusivos, como segue:
Usando o axioma, temos:
De (2) tiramos: 
.
Substituindo-se esse resultado em (1) chegamos a:
Se 
 então
 vale o axioma II
	T.5
	“Para A ( ( e B ( (. Temos: 
.”
	T.6
	“Dado o espaço amostral ( e os eventos A1, A2,..., An , então:
.”
	T.7
	“Dados os eventos A1, A2,..., An , então:
.”
Exemplos de Aplicação
1) Sendo P(A) = x, P(B) = y e P(A(B) = z, calcular:
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
;
Resolução:
	�
	�
	�
	�
a) 
b) 
c) 
;
d) 
;
2) Sejam A, B e C eventos tais que 
, 
, 
 e 
. Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra.
	�
Sabendo que:
Resolução: 
	2.3. Eventos Equiprováveis
	Consideremos o espaço amostral ( = {e1, e2, e2,... en} associado a um experimento aleatório.
Chamemos P(ei) = pi, i = 1,...,n.
	Temos 
Definição. 
Os eventos ei, i = 1,...n, são equiprováveis quando 
, isto é, quando todos têm a mesma probabilidade de ocorrer.
Fica: 
 
	Logo, se os n pontos amostrais (eventos) são equiprováveis, a probabilidade de cada um dos pontos amostrais é 
.
	Vamos calcular a probabilidade de um evento A ( (. Suponhamos que A tenha K pontos amostrais:
Exemplos:
1) Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? Obs: 4 naipes ( ( Espadas, Copas, Ouros e Paus) cada naipe possui 13 cartas (A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2)
Seja A: saída de um rei e
 B: saída de uma carta espada.
Então:
Observamos que 
Logo:
2) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos , 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18. Os seguintes eventos são definidos.
A: a pessoa tem mais de 21 anos;
B: a pessoa tem menos de 21 anos;
C: a pessoa é um rapaz;
D: a pessoa é uma moça.
Calcular:
a) 
;
b) 
.
( = { 5R, 4r, 6M, 3m } 
A = { 5R, 6M }
B = { 4r, 3m }
C = { 5R, 4r}
D = { 6M, 3m }
a) 
 ( 
Logo:
b) 
 ( 
Logo:
3) Em um congresso científico existem 15 matemáticos e 12 estatísticos. Qual a probabilidade de se formar uma comissão com 5 membros, na qual figurem 3 matemáticos e 2 estatísticos?
Resolução:
A: Comissão de 3 matemáticos e 2 estatísticos.
 ( comissões com 5 membros dado 27 membros
 ( comissões com 3 matemáticos e 2 estatísticos
4) Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retiraram 4 cartas, ao acaso, sem reposição, e se obter uma quadra?
Resolução:
A: saída de uma quadra.
 ( Número de quádruplas
K = 13 ( Número de quadras
5) Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de uma moeda.
Resolução:
A: saída de 3 caras e 2coroas.
 ( (número de quíntuplas)
 ( (número de quíntuplas com 3 caras e 2 coroas)
6) Uma urna contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra. Qual a probabilidade de sair a palavra Araras?
Resolução:
A: saída da palavra ARARAS
K = 1 ( palavra Araras
Observação:
2.4. Probabilidade Condicional
	Vejamos o seguinte exemplo:
	Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 140 cursam química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte:
	Disciplina
Sexo
	F
	Q
	Total
	H
	40
	60
	100
	M
	70
	80
	150
	Total
	110
	140
	250
	Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher?
	Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de 
 e representamos:
(probabilidade de que o aluno curse química, condicionado ao fato de ser mulher)
Observamos, que: 
 e 
Para obtermos o resultado do problema basta considerar que:
Definição:
	Sejam A ( ( e B ( (. Definimos:
Probabilidade Condicional de A dado que B ocorre (A/B) como segue:
, de P(B) ( 0
ou:
, de P(A) ( 0
Teorema do Produto:
ou
Exemplo:
1) Sendo 
, 
 e 
, calcular P(A/B).
Resolução:
Como 
, devemos calcular 
.
E 
, temos:
Logo: 
2) Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas:
a) sejam verdes?
b) sejam da mesma cor?
Resolução:
a) 
b) 
Generalização do Teorema do Produto
Resolvendo o Problema 6 de 2.3, usando essa generalização, temos:
	2.5. Eventos Independentes
Sejam A ( ( e B ( (.
Intuitivamente se A e B são independentes, P(A/B)=P(A) e P(B/A)=P(B).
Definição:
Se A e B são eventos independentes então: 
	Exemplo:
	Lançam-se 3 moedas. Verificar se são independentes os eventos:
A: saída de cara na 1ª moeda;
B: saída de cara na 2ª e 3ª moedas
Resolução:
( = {(ccc), (ccr), (crc), (crr), (rcc), (rcr), (rrc), (rrr)}
A = {(ccc), (ccr), (crc), (crr)} 
B = {(crr), (rrr)} 
Logo: 
Como: 
 e 
Temos que A e B são eventos independentes, pois 
.
Observação 1
Para verificarmos se 3 eventos A, B e C são independentes, devemos verificar se as 4 proposições são satisfeitas:
1- 
2- 
3- 
4- 
	Se apenas uma não for satisfeita, os eventos não são independentes.
Observação 2
Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não-ocorrência do outro
Problema
Sejam A e B eventos tais que P(A)=0,2, P(B)=P, 
. Calcular P considerando A e B:
a) mutuamente exclusivos;
b) independentes.
Resolução:
a) A e B mutuamente exclusivos 
 daí:
 ( 
b) A e B independentes 
 daí:
 ( 
Observação 3
Se os eventos A1, A2,..., An são independentes então:
onde: 
Exemplo
A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 
; a se sua mulher é de 
. Determinar a probabilidade de daqui a 30 anos:
a) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
c) somente a mulher esteja viva;
d) nenhum esteja vivo;
e) pelo menos um esteja vivo.
Resolução:
Chamaremos de:
H: o homem estará vivo daqui a 30 anos;
M: a mulher estará viva daqui a 30 anos.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
ou X: pelo menos um vivo
	2.6. Teorema de Bayes
Teorema da Probabilidade Total
	“Sejam A1, A2,...,An eventos que formam uma partição do espaço amostral. Seja B um evento desse espaço. Então:�
	Exemplo:
	Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
	�
 
 
Logo a bola branca pode ocorrer:
O problema pode ser resolvido usando-se o diagrama em árvore:
	�
Teorema da Bayes
	“Sejam A1, A2,...,An eventos que formam uma partição do (. Seja B ( (. Sejam conhecidas 
 e 
, i = 1, 2, ..., n. Então:
, j = 1, 2, ..., n.
	O Teorema de Bayes é também chamado de Teorema da Probabilidade a Posteriori. Ele relaciona uma das parcelas da probabilidade total com a própria probabilidade total.
Exemplo:
	A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-se uma moeda “honesta”. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento?
	�
Queremos: 
 
 
Como:
temos:
Calculamos agora 
:
O problema também pode ser resolvido pelo diagrama em árvore, como segue:
	�
II
B
An
A2
A4
A3
A1
� EMBED Equation.3 ���
C
( 
B
A
P(B) = y
( 
B
A
A
B
( 
P(A) = x
P(A(B)=z 
( 
B
A
A
B
( 
(
B
A
I
4B
2A
3B
2A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
I
II
B
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
B
B
A
2V
8A
3V
2A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
c
r
V
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
V
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