Aula 15 Lugar das Raizes

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AULA 15 - LTC36B
Controle 01
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Prof. Leandro Castilho Brolin
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN – Departamento de Eletrônica
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RESUMO
(1) Introdução – Lugar das Raízes
(2) Método do Lugar das Raízes (Root-Locus)
(3) As regras do Método do Lugar das Raízes
INTRODUÇÃO
● O comportamento dinâmico do sistema é basicamente definido 
pelos polos de malha fechada;
● A variação de algum parâmetro do controlador, o ganho por 
exemplo, altera a localização dos polos de malha fechada;
● Em alguns casos somente apenas o ajuste do ganho atende as 
especificações;
● É importante saber como os polos de malha fechada se movem 
quando um parâmetro varia de zero até infinito.
INTRODUÇÃO
● O método do lugar das raízes foi criado por R. Evans em 1953. 
Permite estudar a evolução das raízes de uma equação, quando 
um parâmetro é variado continuamente;
● Esta operação possibilita a determinação deste parâmetro de tal 
forma que o sistema atinja o comportamento dinâmico desejado;
● O gráfico é feito no plano s, usando a mesma escala para os eixos 
real e imaginário;
● Os polos de malha aberta são marcados com ”X” e os zeros de 
malha aberta por “0”.
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
● O princípio do método está baseado na realimentação mostrada a 
seguir:
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
EXEMPLO:
● Considere o seguinte sistema de controle:
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
● Podemos verificar a posição dos polos de malha fechada para o 
sistema de controle ilustrado anteriormente quando assume os 
valores ou .
● Vamos desenhar o root-locus do sistema calculando-se as raízes 
do denominador da função de transferência de malha fechada, 
então para cada valor de temos,
Os polos de malha fechada são: 
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
● Variando-se o valor de em (2), podemos montar a seguinte tabela
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
● Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
● Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
● Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
● Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
● Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
● Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
• Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus,
MÉTODO DO LUGAR DAS 
RAÍZES (ROOT-LOCUS)
DISCUSSÕES
• Para K = 0: raízes S1 = 0 e S2 = -20 (note que são iguais aos polos de 
malha aberta;
• Para 0 < K < 20: raízes são reais e distintas, sistema sobreamortecido;
• Para K = 20: raízes reais iguais, sistema criticamente amortecido;
• Para K > 20: raízes imaginárias, sistema subamortecido, ou seja, resposta 
oscilatória;
• Quanto maior K menor é o coeficiente de amortecimento;
• Quanto maior K maior é a frequência natural amortecida.
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
REGRA 01 (pondo de saída e chegada)
Os ramos do root-locus começam nos polos de G(s)H(s), nos quais 
K=0. Os ramos terminam nos zeros de G(s)H(s), inclusive nos zeros 
no infinito. Os números de zeros no infinito é igual a:
Sendo,
 :: número de polos de G(s)H(s)
 : : números de zero de G(s)H(s)
EXEMPLO
Suponha que G(s) e H(s) são:
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
• As raízes de serão determinadas por: 
• Ou ainda,
 
• i) se K = 0, a equação acima ficará: 
• Note que esses são os polos de G(s)H(s).
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
ii) Se , para analisar esse intervalo, vamos reescrever (3)
Deste modo, caso , o lado direito de (4) é igual a se e somente 
se: 
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
REGRA 02
As regiões do eixo real à esquerda de um número impar de polos mais 
zeros de KG(s)H(s) pertencem ao lugar das raízes.
EXEMPLO
Para os valores do exemplo anterior teremos,
No plano imaginário os polos são representados por “X” e os zeros por 
“0”. 
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
A aplicação da regra 02 neste caso será:
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
A aplicação da regra 02 neste caso será:
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
A aplicação da regra 02 neste caso será:
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
A aplicação da regra 02 neste caso será:
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
• Esta regra é facilmente obtida verificando-se a condição de ângulo 
da equação 1 + HG(s)H(s)=0, que pode ser reescrita na forma:
• Para que esta equação seja verdadeira, o ângulo deverá ser:
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
REGRA 03 (assintotas)
•Quando K se aproxima de os ramos de root-locus, assintotam 
retas com inclinação 
EXEMPLO
Considere Deste modo temos: 
No plano complexo teremos.
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
• Para verificar se o ponto P pertence ao root-locus, temos que 
verificar a seguinte condição de ângulo em s=P, assim:
• Para baseado na figura anterior, temos que: 
• Assim, de (6), obtém-se:
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
• Porém, , então: 
• Retornando ao exemplo, os ângulos das assíntotas serão:
• A medida com que i varia os ângulos se repetem. O número de variações 
que encontramos é igual ao número de assíntotas.
• Porém, Deste modo, 
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
REGRA 04 (partida assíntotas)
O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade (C.G.) da 
configuração de polos e zeros, ou seja:
EXEMPLO:
Para o sistema do exemplo anterior, onde
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
Logo,
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
REGRA 05 (ponto de saída dos ramos)
Os pontos nos quais os ramos do root-locus deixam (ou entram) no 
eixo real são determinados utilizando-se a seguinte relação:
No exemplo descrito anteriormente, temos que:
 (desprezado pois não pertence ao root-locus)
AS REGRAS DO MÉTODO 
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Na figura abaixo podemos visualizar o ponto de ramificação do root-
locus
AS REGRAS DO MÉTODO 
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REGRA 06
As ramificações do root-locus deixam ou entram no eixo real com 
ângulos 
REGRA 07
O root-locus é simétrico em relação ao eixo real. Isto decorre do fato 
de que as raízes de um polinômio de coeficiente reais ou são reais ou 
pares complexos conjugados.
REGRA 08
Para se determinar o ganho K associado a um ponto p do root-locus, 
deve-se utilizar a condição de módulo da equação:
Reescrevendo-se a equação acima:
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
EXEMPLO
Considere o exemplo anterior
Determinar o valor K associados aos polos complexos conjugados 
pertencentes ao root-locus dado por:
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REGRA 09
Os ângulos de saída (ou chegada) de polos (aos zeros) são 
determinados a partir da condiçãogeral de ângulos.
REGRA 10
O ponto onde o root-locus cruza o eixo imaginário é obtido fazendo-se
 na equação característica.
Obs. O cruzamento do eixo imaginário pode ser determinado também 
pelo critério de Routh.
AS REGRAS DO MÉTODO 
DO LUGAR DAS RAÍZES
Exemplo de um root locus.
AS REGRAS DO MÉTODO 
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O lugar das raízes de um sistema pode ser obtido utilizando o 
programa computacional Scilab com o comando evans.
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