Aula 22 Criterio de Estabilidade de Nyquist

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AULA 22 - LTC36B
Controle 01
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Prof. Leandro Castilho Brolin
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN – Departamento de Eletrônica
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RESUMO
(1) Introdução
(2) Critério de Estabilidade de Nyquist
(3) Análise de Estabilidade Relativa
(4) Margem de Fase e Ganho
INTRODUÇÃO
ESTABILIDADE REALITIVA
●Em um sistema de controle exige-se que o sistema seja estável, e 
adicionalmente o sistema de controle em uma malha fechada deve 
possuir uma adequada estabilidade relativa;
●Neste contexto, geralmente é um problema determinar todos os polos 
de malha fechada e ainda aquelas mais próximos do eixo (os 
polos dominantes);
●Ainda, pode-se determinar os diagramas de Nyquist do sistema de 
forma experimental, objetivando-se analisar a estabilidade em malha 
fechada;
●A análise de estabilidade descrita nesta aula abordará sistema com 
realimentação unitária.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
● Considere o sistema em malha fechada:
● Para a estabilidade de todas as raízes do polinômio característico,
devem ter parte real negativa.
• A estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência a 
malha aberta ao números de zeros e polos de 
que estão no semiplano direito do semiplano s;
• Este critério é muito útil em engenharia de controle, pois podemos 
analisar a estabilidade absoluta do sistema de controle apenas 
analisando a resposta em frequência do sistema de malha aberta. 
Neste caso não é necessário calcular os polos de malha fechada.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
● Encontrar a relação entre os polos e zeros das funções de 
transferência de malha aberta, fechada e equação característica do 
sistema com realimentação unitária a seguir:
● Zeros de F(s) = Polos de MF;
● Polos de F(s) = Polos de MA.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
ESTUDO PRELIMINAR
Considere a equação característica do sistema descrito anteriormente,
Queremos mostrar que um dado percurso fechado e contínuo no 
plano s que não passe em quaisquer ponto de singularidade 
corresponde a uma curva fechada no plano F(s);
Considere o seguinte sistema de malha aberta:
Assim a equação característica pode ser descrita como:
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
● A função F(s) é analítica em todos os pontos do plano s, exceto nos 
pontos de singularidade. Neste contexto, cada ponto do plano s é 
mapeado no plano F(s);
● Considere, s = 1+j2, então F(s) torna-se, 
● Portanto, um dado percurso fechado contínuo no plano s, que não 
passe por pontos de singularidade, corresponderá a uma curva 
fechada no plano.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
Exemplos de mapeamento de percurso fechado no plano s em 
F(s): 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
CONSIDERAÇÕES
● Na figura (c) ilustrado anteriormente podemos verificar a seguinte 
característica: quando o contorno do plano s envolve dois polos de 
F(s), o lugar geométrico de F(s) envolve a origem do plano F(s) 
duas vezes no sentido anti-horário;
● Entretanto se for envolvido dois polos e dois zeros, conforme 
ilustrado na figura (d), o contorno em F(s) não engloba a origem no 
plano F(s);
● Se o contorno no plano s envolver apenas um zero, no plano F(s) a 
origem é envolvida uma vez no sentido horário, vide figura (e);
● Por fim, se o contorno no plano s não envolver polos e zeros, então 
o contorno no plano F(s) não envolve a origem;
● O número N de envolvimentos na origem do plano F(s) no sentido 
horário corresponde ao número Z – P.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
CAMINHO DE NYQUIST
● No processo de análise de estabilidade, consideramos todos os 
contornos no semiplano s direito, conforme a figura abaixo:
● Este contorno é denominado percurso de Nyquist (sentido horário). O 
percurso de Nyquist envolve todo semiplano s à direita, ou seja, contém 
todos os polos e zeros de 1+G(s)H(s) que possuam parte real positiva.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
● Se não houve zeros de F(s) no semiplano s direito, então lá 
também não haverá polos a malha fechada, e o sistema é estável.
● Portanto já vimos que:
✔ N=Z-P, ou também que Z=N+P;
✔ Zeros de F(s) = Polos MF;
✔ Polos de F(s) = Polos de MA;
● Sendo assim, podemos dizer que:
Nº polos MF =Nº envol. na origem (sentido horário) + Nº polos MA
● Para garantirmos que não existem zeros quando s tende ao infinito 
devemos ter que:
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
● A relação de mapeamento entre 1+G(s)H(s) e G(s)H(s) é ilustrado 
na figura abaixo:
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST
O critério de estabilidade de Nyquist (para sistema sem polos ou zeros no 
eixo) afirma que se a função de transferência G(s)H(s) possuir K polos no 
semiplano direito do plano s e possuir módulo constante quando s tender à 
infinito. 
Então, para se ter estabilidade, o lugar a medida que varia de 
 deve envolver o ponto (-1 + j0) k vezes no sentido anti-horário.
Este critério pode ser expresso como: 
sendo,
 *Z: o número de zeros de 1+G(s)H(s) no semiplano direito do plano s, ou seja, 
polos de MF no semiplano direito do plano s.
 *N: o número de envolvimentos do ponto -1+j0 no sentido horário.
 *P: o número de polos de 1+G(s)H(s) no semiplano direito de s, ou seja, número 
de polos de G(s)H(s) no semiplano direito do pano s .
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
ANÁLISES
• Se P for diferente de zero, para um controle de sistema 
estável, deve-se ter Z = 0 e -N = P, o que significa que deve-
se ter P envolvimentos em -1 +j0 no sentido anti-horário;
• Se P for igual a zero, Z=N . Neste caso não pode existir 
nenhum envolvimento em torno de -1+j0 para que o sistema 
seja estável.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
CAMINHO DE NYQUIST MODIFICADO
• No caso de polos e/ou zeros no eixo utiliza-se o seguinte 
contorno no plano s. 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
ANÁLISE DE ESTABILIDADE
•Se o percurso de Nyquist no plano s envolver Z zeros e P polos de 
1+G(s)H(s) e não passar por nenhum polo ou zero e 1+G(s)H(s) no 
sentido horário, então o contorno correspondente no plano G(s)H(s) 
envolve o ponto -1+j0 N= Z-P vezes no sentido horário;
•Valores negativos de N significam rotações no sentido anti-horário;
•Geralmente ocorrem três possibilidades:
1.Não há envolvimento do ponto -1+j0. Isto implica que o sistema é estável se 
não houver polos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s, caso contrário 
o sistema é instável;
2.Há um ou mais envolvimento do ponto -1+j0 no sentido anti-horário. Neste 
caso o sistema é estável se N for igual ao número de polos de G(s)H(s) no 
semiplano direito do plano s, caso contrário o sistema é instável;
3.Há um ou mais envolvimento no sentido horário em -1+j0, neste caso o 
sistema é instável.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
EX. 01
•Dado o sistema abaixo determine a estabilidade pelo critério de Nyquist.
•N=0 P=0 Z=N+P=0.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE 
NYQUIST
EX. 02
•Dado o sistema abaixo determine a estabilidade pelo critério de Nyquist.
ANÁLISE DE ESTABILDIADE 
RELATIVA
• Considere o mapeamento de Nyquist para
• Neste contexto é ilustrado o mapeamento para constante e para 
 constante. Assim, temos: 
ANÁLISE DE ESTABILDIADE 
RELATIVA
• A maneira da aproximação de do ponto -1+j0 é uma indicação 
da estabilidade relativa de um sistema estável;
• Em geral, pode-se esperar que quanto mais próximo o lugar 
geométrico de estiver de -1+j0, maior será o overshoot e o 
tempo de estabelecimento para uma entrada do tipo degrau. 
MARGEM DE FASE EGANHO
• Considere a figura seguinte como ilustração do diagrama polar de 
 para três valores de ganho.
MARGEM DE FASE E GANHO
• Para o sistema anterior, para grandes valores de K o sistema é 
instável, e para um valor intermediário de K o sistema é oscilante, e 
posteriormente para pequenos valores de K o sistema é estável;
• Em geral, quanto mais próximos o lugar geométrico de 
estiver de -1+j0 mais oscilatório será a resposta. Deste modo 
podemos utilizar esta característica para medir a margem de 
estabilidade;
• Constitui uma prática comum representar esta proximidade em 
termos de margem de fase e margem de ganho. 
MARGEM DE FASE E GANHO
MARGEM DE FASE E GANHO
MARGEM DE FASE E GANHO
MARGEM DE FASE E GANHO
MARGEM DE FASE E GANHO
• A margem de fase e de ganho constitui uma medida da 
proximidade do gráfico polar ao ponto de -1+j0. portanto essas 
margens podem ser utilizadas com o critério de desempenho;
• A margem de fase e de ganho não fornecem informação de 
desempenho se forem analisadas separadamente;
• Para que um sistema de fase mínima seja estável, tanto margem 
de fase quanto margem de ganho deve ser positivas. Neste 
contexto margem negativa indica instabilidade;
• Margem de fase e margem de ganho apropriado previnem contra 
variações de componentes do sistema e são especificados para 
valores definidos de frequência. Os dois fatores limitam o 
comportamento de malha fechada próximo a frequência de 
ressonância;
• Para desempenho satisfatório, a margem de fase deve estar entre 
30º e 60º, e a margem de ganho deve ser maior que 6 Db;
• Com estes valores, o sistema de fase mínima tem estabilidade 
garantida.
MARGEM DE FASE E GANHO
MARGEM DE FASE E GANHO
MARGEM DE FASE E GANHO
2 - Um sistema com realimentação unitária possui um processo a 
controlar:
Sendo K = 0,5 e = 1. O gráfico polar de é ilustrado a seguir:
Determine se o sistema é estável de malha fechada utilizando a 
estabilidade de Nyquist
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