Aula 11 Estabilidade

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AULA 11 - LTC36B
Controle 01
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Prof. Leandro Castilho Brolin
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN – Departamento de Eletrônica
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RESUMO
(1) Introdução - Estabilidade
(2) Conceito de Estabilidade
(3) Análise de Estabilidade
• Análise de estabilidade via Função de Transferência
INTRODUÇÃO
● Existe aplicação para sistemas instáveis?
● Estabilização de um sistema;
● Estabilidade absoluta;
● Estabilidade relativa;
CONCEITO DE ESTABILIDADE
● O conceito de estabilidade pode ser ilustrado pela figura abaixo:
● Deslocando ligeiramente o cone ilustrado em (a), o mesmo volta a 
sua posição de equilíbrio, neste caso o sistema é estável;
● Em (b), deslocando-se ligeiramente o cone, ele gira sobre sua 
geratriz e deste modo se deslocando de sua posição original. Neste 
caso é dito que o sistema tem estabilidade neutra;
● Em (c), se o cone for abandonado ele cai para um dos lados. Neste 
caso o sistema é dito instável;
CONCEITO DE ESTABILIDADE
• A estabilidade em sistemas dinâmicos é semelhante ao caso do 
cone, 
• Especificamente, segue-se da definição de estabilidade que um 
sistema é linear se e somente se o valor absoluto da resposta 
impulsional, g(t), integrada sobre uma faixa infinita for finita,
• A integral é finita se todos os polos do sistema estiverem no 
semiplano esquerdo.
CONCEITO DE ESTABILIDADE
ESTABILIDADE NO SISTEMA S
Exemplo- Sistema passou de Estável para Instável
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
• Uma função de transferência de malha fechada pode ser descrita 
como:
• Sendo a equação característica cuja as raízes são 
polos de malha fechada do sistema. A resposta a uma entrada 
impulso, considerando N = 0 é dada da seguinte forma 
• A parte real do polo indica se a resposta será limitada ou não.
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
• O sistema é dito instável se possuir raiz no semiplano s direito ou 
possuir raízes repetidas.
BIBO (Bound Input Bound Output) Estabilidade
• Um sistema é dito BIBO estável se para toda entrada limitada 
aplicada existe uma saída limitada correspondente. Esta 
estabilidade somente é definida para resposta ao estado zero e é 
aplicável somente se o sistema está inicialmente relaxado.
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
CRÍTERIO DE ESTABILDIADE DE HOUTH-HORWITZ
O critério de estabilidade de Houth-Horwitz é uma metodologia necessária e 
suficiente para analisar a estabilidade em sistemas dinâmicos lineares. 
Considere a equação característica dada por:
A equação acima pode ser descrita na forma tabular do seguinte modo,
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
Sendo,
O critério de Houth-Horwitz estabelece que o número de raízes de 
q(s) com parte real positiva é igual ao número de troca de 
sinais da primeira coluna da tabela de Houth.
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
CASO 1 – Nenhum Elemento Nulo na Primeira Coluna
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
EXERCÍCIO 01 - CADERNO
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
CASO 2 – Se um termo na primeira coluna de qualquer linha for 
nulo, mas os termos restantes não forem nulos ou não existirem
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
EXERCÍCIO 02 - CADERNO
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
CONSIDERAÇÕES
● Existem outros casos particulares onde pode ser aplicado a 
metodologia de HOUTH-HORWITZ;
● Apesar da facilidade em se utilizar o critério de Houth-Horwitz para a 
determinação de polos no semiplano direito é muito mais prático a 
utilização de programas computacionais para a determinação dos 
polos do sistema;
● Porém, a determinação do ganho crítico pode ser obtida através do 
critério de Houth-Horwitz.
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
Exemplo Entrega: considere o seguinte sistema de controle.
qual a relação entre K e a para que o sistema ilustrado acima seja 
estável?
R.:
ANÁLISE DE ESTABILIDADE: análise de 
estabilidade via Função de Transferência
ESTABILIDAE RELATIVA DE SISTEMAS DE CONTROLE COM 
REALIMENTAÇÃO
• A verificação da estabilidade via critério de Houth-Hurwitz fornece 
apenas uma resposta parcial a questão da estabilidade;
• Caso o sistema seja estável, é necessário verificar a estabilidade 
relativa, isto é, é necessário investigar o amortecimento relativo de 
cada uma das raízes da equação característica;
• Ex. Na figura ao lado a raiz r2 é 
mais estável que as raízes r1, 
pois está mais distante do 
semiplano direito.
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