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15 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENDO DE CIÊNCIA EXATAS E TECNOLÓGICAS ENGENHARIA QUÍMICA EXPERIMENTO 4 – – ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS CAROLINE DA COSTA PAGANI (201310339) ISABELLA PORTO OLIVEIRA (201311197) JOSÉ JOAQUIM B. A. R. DE OLIVEIRA (201311000) ILHÉUS - BA 2014 , CAROLINE DA COSTA PAGANI (201310339) ISABELLA PORTO OLVEIRA (201311197) JOSÉ JOAQUIM BANDEIRA ALMEIDA R. DE OLIVEIRA (201311000) ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Relatório apresentado como parte dos critérios de avaliação da disciplina CET833 – no curso de Engenharia de Produção - Turma P03. Dia de execução do experimento: 09/05/2014. Professor: Simoni Gehlen ILHÉUS - BA 2014 RESUMO O objetivo desse experimento é obter a relação empírica entre o tempo de escoamento de um líquido sob a aceleração da gravidade e a altura de elevação do nível deste líquido, utilizando a técnica de gráficos log-log.A partir do gráfico h x ∆t em log-log calculou-se o coeficiente angular e linear do gráfico, com suas respectivas incertezas, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados. A partir do coeficiente linear obteve-se o valor da gravidade local. Os materiais utilizados foram: proveta plástica de 1000 ml com orifício na base, béquer de 100 ml, azul de metileno, cronômetro (erro instrumental 0,01s) e régua (erro instrumental 0,0005 m). INTRODUÇÃO O escoamento de um líquido incompressível sob a ação de um campo gravitacional constante, num regime de fluxo estacionário, pode ser descrito pela equação de Bernoulli (Eq.1) ao longo de uma linha de fluxo. (1) Onde, v, p e h são respectivamente: densidade, velocidade, pressão interna, e ''elevação'' do fluido. Esta equação é uma consequência do princípio de conservação de energia. Se multiplicarmos a equação acima pelo volume V do fluido, cada um de seus três termos representará uma forma de energia. Pela ordem: trabalho associado à pressão, energia cinética e energia potencial gravitacional. Note que essa equação é válida para situações em que a temperatura e a pressão possuem variações desprezíveis e não há forças dissipativas. Aplicando esta equação ao caso apresentado na figura 1, a secção transversal A0 está aberta e, portanto a pressão nesta área é a pressão atmosférica. A água escoa por uma saída com secção transversal A, posicionada a uma distancia horizontal h (onde h=z0-z) em relação a A0. A pressão na saída é a pressão atmosférica. Temos como resultado: (2) O volume de água por unidade de tempo que sai em A, deve ser igual àquele que desce em A0, ou seja: Desta forma, a Eq.(2) fica: Figura 1 – Esquema do sistema do experimento A equação 5 será utilizada para determinação da altura e tempo, e posteriormente para determinação da aceleração da gravidade. OBJETIVOS Obter a relação empírica entre o tempo ∆t de escoamento de um líquido sob a ação da aceleração da gravidade e a altura h de elevação do nível deste líquido, utilizando a técnica de gráficos log-log. Calcular o coeficiente linear e a aceleração da gravidade da curva linearizada. MATERIAIS E MÉTODOS A seguir serão apresentados os materiais e os métodos usados neste experimento. Materiais Proveta plástica de 1000 ml com orifício na base; Béquer de 100 ml; Azul de metileno; Cronômetro (erro instrumental 0,01s) Régua (erro instrumental 0,0005 m) Métodos Procedimento Primeiramente, encheu-se a proveta com água, mantendo o orifício menor tampado. Depois, tingiu-se a água com azul de metileno, para tornar melhor a visibilidade. Depois, com o cronômetro, mediu-se o tempo em que o nível da água abaixava a cada 50 ml. Repetiu-se esse processo até que o nível da água chegasse ao orifício menor. Esse processo foi repetido três vezes. Logo após, mediu-se com um paquímetro o diâmetro dos dois orifícios e a altura equivalente a 50 ml na proveta para poder efetuar os cálculos e apresentar os resultados. Medidas diretas: A forma mais comum de calcular as variações estatísticas das variáveis medidas, com o intuito de chegar ao valor mais próximo do real é através da média aritmética (equação 6), que consiste no consciente dentre a divisão da soma dos valores encontrados em cada medida e o número total de medidas, onde é a -ésima medida da grandeza , e é o número total de medidas. Entretanto, a média é uma medida estatística para os valores centrais de uma medida, logo, não informa a variabilidade dos valores medidos. Portanto, além da média, outras medidas estatísticas serão utilizadas para calcular a dispersão dos valores medidos em termos do valor central. O cálculo do desvio de um conjunto de medidas é dado pela diferença entre cada valor medido e a média, como mostra a equação (7). Onde -ésima e é o valor da média obtida na equação anterior. Assim então, calculamos o desvio padrão, que é a média dos valores dos desvios, mostrados pela equação (8). Onde é a -ésima medida da grandeza , é o número total de medidas e é a média da grandeza . Para calcular o desvio padrão do valor médio, que será utilizado para expressar a incerteza no final do mensurado do experimento usa-se a equação (9). Onde é o desvio padrão amostral obtido na equação anterior e é o número de medidas. E por fim calcularemos a incerteza da média, que é uma estimativa para os erros sistemáticos, pela equação (10). Onde é a incerteza média, o é o desvio padrão do valor médio e é a incerteza sistemática residual do instrumento. Medidas Indiretas Quando se calcula grandezas derivadas, ou seja, grandezas que não podem ser medidas diretamente através dos instrumentos disponíveis, é preciso calcular a sua propagação. Medidas indiretas são todas aquelas relacionadas com as medidas diretas por meio de definições, leis e suas consequências. Neste tipo de medidas o valor numérico assim como a dimensão e a unidade correspondentes, são encontradas através de expressões matemáticas que ligam as medidas diretas envolvidas. Para o cálculo de incerteza de g é necessário utilizar os recursos da propagação de incertezas pelo motivo dito anteriormente e é utilizada a equação. Condicionando a incerteza propagada para o coeficiente angular e linear sabendo que a equação da reta é dada por: y = x + (12) Incerteza do coeficiente angular: Incerteza do coeficiente linear: Condicionando a incerteza propagada para g, temos: Em alguns casos, geralmente o erro relativo é mais útil para determinar a relação dentre diversos valores. O erro relativo deve ser calculado empregando a seguinteequação: RESULTADOS E DISCUSSÕES Na tabela 1 são apresentados os resultados obtidos experimentalmente que serão necessários para os cálculos dos nossos objetivos. Utilizando a régua mediu-se a altura de cada 50 ml, os diâmetros dos orifícios e a distância entre o furo de escoamento até a marca de 900 ml. Altura de 50 ml da proveta = (18,0 m Diâmetro interno da proveta = (70,0 x m Diâmetro do orifício por onde a água escoa = (3,0 0,5) x m Distância entre o orifício e a marca de 900ml = (270 0,5) x m Segue em forma de tabela os dados anotados: Tabela 1 – Dados do tempo de cada variação do volume, médias e altura(m) N0 h (m) Vazão (mL) Intervalo de tempo para cada vazão (s) Média (s) Incerteza Medida 1 Medida 2 Medida3 1 0,270 900-850 5,94 5,69 6,40 6,01 0,29 2 0,252 850-800 5,96 6,18 6,19 6,11 0,10 3 0,234 800-750 6,84 6,28 7,00 6,70 0,30 4 0,216 750-700 5,66 6,72 6,68 6,39 0,49 5 0,198 700-650 6,50 7,16 7,59 7,08 0,44 6 0,180 650-600 7,16 7,59 7,21 7,3 0,19 7 0,162 600-550 8,31 7,84 8,18 8,44 0,19 8 0,144 550-500 7,87 8,47 8,81 8,38 0,38 9 0,126 500-450 9,18 9,19 8,22 8,86 0,45 10 0,108 450-400 10,03 9,41 10,85 10,09 0,58 11 0,090 400-350 10,78 11,28 9,94 10,66 0,55 12 0,072 350-300 12,66 11,56 11,81 12,01 0,47 13 0,054 300-250 14,06 13,97 14,22 14,06 0,10 14 0,036 250-200 17,34 17,91 17,50 17,58 0,24 15 0,018 200-150 24,65 24,47 24,00 24,37 0,27 Os valores de h e encontrados foram lançados em um gráfico pelo Excel (gráfico 1). Segue em anexo o gráfico feito em papel milimetrado. Figura 1 – Gráfio do nível de água (h(m)) x tempo (t(s)). A partir da figura 1, que mostra um gráfico, observa-se que o escoamento não obedece à uma relação linear, uma vez que a figura apresentada não foi uma reta. Procura-se então a relação entre o tempo de escoamento e o nível de água. Em seguida, foi feito um gráfico h x t com os valores da tabela 1 em papel log-log que segue em anexo. Segundo a equação de Bernoulli, (equação 1), tem-se que a relação para o escoamento de um líquido é: Então para dois momentos distintos, t0 e t se encontram: Como a densidade do líquido, a aceleração da gravidade e a pressão se mantêm constantes, então se obtêm: Se a elevação do líquido h for dada por : A equação passa a ter o formato: Por relação de vazão, o volume de líquido que desce na área delimitada pelo orifício maior deve ser igual ao que desce pelo orifício menor: Onde A0 é a área do orifício maior e A é a área do orifício menor. Então por sua vez encontra-se: Se a velocidade v0 é dada pela relação: E as áreas possuem a seguinte relação: Então, substituindo: Para encontrar a equação de relação mais facilmente, aplicou-se a técnica de linearização por logaritmos. Assim, aplica-se o logaritmo dos dois lados da equação, e aplicando as propriedades encontra-se: Separando e simplificando em função de Δt, sendo : Sendo considerada a equação encontrada como uma reta , com a sendo o coeficiente angular e b o coeficiente linear, têm-se que o é o y e o é o x da equação, com -2 como coeficiente angular, ou seja, a relação é decrescente. Desta forma, os dados da Tabela 1 foram linearizados calculando-se os seus respectivos logaritmos pelas eq. (M) e (N) onde: E suas incertezas, calculadas através do método dos mínimos quadrados, são dadas pelas equações (P) e (R) : Correspondendo à incerteza de x. E: Correspondendo à incerteza de y. A Tabela 2 a seguir apresenta os dados calculados: Tabela 2 – Tabela de valores log(h) e log(∆t) Log(h(m)) Log(∆t) 1 -0,56 0,77 2 -0,59 0,78 3 -0,63 0,82 4 -0,66 0,80 5 -0,70 0,85 6 -0,74 0,86 7 -0,79 0,92 8 -0,84 0,92 9 -0,89 0,94 10 -0,96 1,00 11 -1,04 1,02 12 -1,14 1,07 13 -1,26 1,14 14 -1,44 1,24 15 -1,74 1,38 Estes valores foram lançados em gráfico, resultando no gráfico 2 a seguir: Figura 2 - Gráfico log do valor do nível de água x log do valor do tempo médio, para o escoamento da água da proveta. Onde é confirmada a relação linear decrescente entre os valores em logaritmo. Tendo-se que a relação entre os valores foram linearizados, calcularam-se os seus coeficientes lineares, com base nos dados obtidos, para a construção do gráfico. Os coeficientes e suas incertezas foram calculadas a partir da técnica de Regressão linear pelo Método dos Mínimos Quadrados, onde: O coeficiente angular é dado por a e sua incerteza por σa e calculados pelas eq.(S) e (14): O coeficiente linear é dado por b e sua incerteza por σb e calculados pelas eq.(T) e (14): (T) (14) Os valores de e foram obtidos com o auxílio de um programa em linguagem C++, para facilitar os cálculos, criado pelos autores deste relatório, cujo script segue em anexo. Ao executar o programa, obtêm-se o valor de M, N e P, cujas equações são dadas por meio das equações a seguir: 14626,60 Ao executar o programa por meio de um compilador, obtêm-se: M = 7528,35 N = 1942,87 P = 154,04 Logo: Desta forma, os valores encontrados para foram de: Tabela 3 - Coeficientes angular e linear, calculados de acordo com os dados obtidos. Coeficiente Valor encontrado A (-1,90) B (0,91) Com os dados obtidos, a aceleração da gravidade fora calculada pôde ser obtida a partir da eq, (W) onde: Aplicando exponencial: A equação de propagação de incerteza da gravidade a partir da equação dada fora: Desta forma, o valor encontrado para a aceleração da gravidade é apresentado na Tabela 7. Valor de aceleração de gravidade encontrado experimentalmente. Grandeza Valor Aceleração da gravidade (9,28 ± 1,85) m/s² O erro relativo e entre a aceleração da gravidade teórica e experimental foi calculado se utilizando equação (16): (16) Onde VT corresponde ao valor teórico, e VE é o valor encontrado experimentalmente. Por definição, o erro relativo deve ser menor ou igual à 15% para que o valor seja confiável. O valor teórico de aceleração de gravidade teórico adotado fora de (9,81±0,05) m/s², assim fora encontrado um erro relativo de 15,67% para o valor encontrado experimentalmente. Este valor de erro encontrado saiu da faixa de confiabilidade. Este fato já estava sendo esperado pelo fato de que o valor teórico da aceleração da gravidade não estar nem ao menos dentro da faixa de incerteza encontrada. CONCLUSÃO - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Guia de relatório, fornecido pela professora Simoni Gehlen; SERWAY, 2011, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros, volume 2; oscilações, ondas e termodinâmica. HALLIDAY & RESNICK, 2006, Fundamentos da Física v.2, cap. 15; YOUNG, 2008, Hugh D. Física II: Termodinâmica e Ondas / Young e Freedman; [colaborador A Lewis Ford]; 12 ed. – São Paulo; Addison Wesley. ANEXOS Script do programa em C++ para as incertezas do coeficiente angular e linear. #include<iostream> #include<conio.h> #include<math.h> using namespace std; main(){ int i; float m=0, n=0, p=0, a=-1.905, b=0.9107; float x[15] = {6.01, 6.11, 6.7, 6.39, 7.08, 7.3, 8.44, 8.38, 8.86, 10.09, 10.66, 12.01, 14.06, 17.58, 24.37}; float y[15] = {0.27, 0.252, 0.234, 0.216, 0.198, 0.18, 0.162, 0.144, 0.126, 0.108, 0.09, 0.072, 0.054, 0.036, 0.018}; for(i=0; i<15; i++){ m+= pow(y[i] - b + (a*x[i]),2); n+= pow(x[i],2); p+= x[i];} cout<<"M = "<<m<<"\nN = "<<n<<"\nP = "<<p; getch(); }
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