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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENDO DE CIÊNCIA EXATAS E TECNOLÓGICAS
ENGENHARIA QUÍMICA
EXPERIMENTO 4 – – ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS
CAROLINE DA COSTA PAGANI
(201310339)
ISABELLA PORTO OLIVEIRA
(201311197)
JOSÉ JOAQUIM B. A. R. DE OLIVEIRA
(201311000)
ILHÉUS - BA
2014
,
CAROLINE DA COSTA PAGANI (201310339)
ISABELLA PORTO OLVEIRA (201311197)
JOSÉ JOAQUIM BANDEIRA ALMEIDA R. DE OLIVEIRA (201311000)
ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS
Relatório apresentado como parte dos critérios de avaliação da disciplina CET833 – no curso de Engenharia de Produção - Turma P03. Dia de execução do experimento: 09/05/2014.
Professor: Simoni Gehlen
ILHÉUS - BA
2014
RESUMO
O objetivo desse experimento é obter a relação empírica entre o tempo de escoamento de um líquido sob a aceleração da gravidade e a altura de elevação do nível deste líquido, utilizando a técnica de gráficos log-log.A partir do gráfico h x ∆t em log-log calculou-se o coeficiente angular e linear do gráfico, com suas respectivas incertezas, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados. A partir do coeficiente linear obteve-se o valor da gravidade local. Os materiais utilizados foram: proveta plástica de 1000 ml com orifício na base, béquer de 100 ml, azul de metileno, cronômetro (erro instrumental 0,01s) e régua (erro instrumental 0,0005 m).
INTRODUÇÃO
O escoamento de um líquido incompressível sob a ação de um campo gravitacional constante, num regime de fluxo estacionário, pode ser descrito pela equação de Bernoulli (Eq.1) ao longo de uma linha de fluxo.
 (1)
Onde, v, p e h são respectivamente: densidade, velocidade, pressão interna, e ''elevação'' do fluido.
Esta equação é uma consequência do princípio de conservação de energia. Se multiplicarmos a equação acima pelo volume V do fluido, cada um de seus três termos representará uma forma de energia. Pela ordem: trabalho associado à pressão, energia cinética e energia potencial gravitacional. Note que essa equação é válida para situações em que a temperatura e a pressão possuem variações desprezíveis e não há forças dissipativas. Aplicando esta equação ao caso apresentado na figura 1, a secção transversal A0 está aberta e, portanto a pressão nesta área é a pressão atmosférica. A água escoa por uma saída com secção transversal A, posicionada a uma distancia horizontal h (onde h=z0-z) em relação a A0. A pressão na saída é a pressão atmosférica. Temos como resultado:
 (2)
O volume de água por unidade de tempo que sai em A, deve ser igual àquele que desce em A0, ou seja:
 
Desta forma, a Eq.(2) fica:
Figura 1 – Esquema do sistema do experimento
	A equação 5 será utilizada para determinação da altura e tempo, e posteriormente para determinação da aceleração da gravidade.
 
OBJETIVOS
Obter a relação empírica entre o tempo ∆t de escoamento de um líquido sob a ação da aceleração da gravidade e a altura h de elevação do nível deste líquido, utilizando a técnica de gráficos log-log.
Calcular o coeficiente linear e a aceleração da gravidade da curva linearizada.
MATERIAIS E MÉTODOS
A seguir serão apresentados os materiais e os métodos usados neste experimento.
Materiais
Proveta plástica de 1000 ml com orifício na base;
Béquer de 100 ml;
Azul de metileno;
Cronômetro (erro instrumental 0,01s)
Régua (erro instrumental 0,0005 m)
Métodos
Procedimento
Primeiramente, encheu-se a proveta com água, mantendo o orifício menor tampado. Depois, tingiu-se a água com azul de metileno, para tornar melhor a visibilidade. Depois, com o cronômetro, mediu-se o tempo em que o nível da água abaixava a cada 50 ml. Repetiu-se esse processo até que o nível da água chegasse ao orifício menor. Esse processo foi repetido três vezes.
Logo após, mediu-se com um paquímetro o diâmetro dos dois orifícios e a altura equivalente a 50 ml na proveta para poder efetuar os cálculos e apresentar os resultados. 
Medidas diretas: 
A forma mais comum de calcular as variações estatísticas das variáveis medidas, com o intuito de chegar ao valor mais próximo do real é através da média aritmética (equação 6), que consiste no consciente dentre a divisão da soma dos valores encontrados em cada medida e o número total de medidas, onde é a -ésima medida da grandeza , e é o número total de medidas.
Entretanto, a média é uma medida estatística para os valores centrais de uma medida, logo, não informa a variabilidade dos valores medidos. Portanto, além da média, outras medidas estatísticas serão utilizadas para calcular a dispersão dos valores medidos em termos do valor central. 
O cálculo do desvio de um conjunto de medidas é dado pela diferença entre cada valor medido e a média, como mostra a equação (7). Onde -ésima e é o valor da média obtida na equação anterior. 
 
Assim então, calculamos o desvio padrão, que é a média dos valores dos desvios, mostrados pela equação (8). Onde é a -ésima medida da grandeza , é o número total de medidas e é a média da grandeza .
Para calcular o desvio padrão do valor médio, que será utilizado para expressar a incerteza no final do mensurado do experimento usa-se a equação (9). Onde é o desvio padrão amostral obtido na equação anterior e é o número de medidas.
E por fim calcularemos a incerteza da média, que é uma estimativa para os erros sistemáticos, pela equação (10). Onde é a incerteza média, o é o desvio padrão do valor médio e é a incerteza sistemática residual do instrumento.
Medidas Indiretas
Quando se calcula grandezas derivadas, ou seja, grandezas que não podem ser medidas diretamente através dos instrumentos disponíveis, é preciso calcular a sua propagação. Medidas indiretas são todas aquelas relacionadas com as medidas diretas por meio de definições, leis e suas consequências. Neste tipo de medidas o valor numérico assim como a dimensão e a unidade correspondentes, são encontradas através de expressões matemáticas que ligam as medidas diretas envolvidas.
Para o cálculo de incerteza de g é necessário utilizar os recursos da propagação de incertezas pelo motivo dito anteriormente e é utilizada a equação.
Condicionando a incerteza propagada para o coeficiente angular e linear sabendo que a equação da reta é dada por:
 y = x + (12)
Incerteza do coeficiente angular:
Incerteza do coeficiente linear:
Condicionando a incerteza propagada para g, temos:
Em alguns casos, geralmente o erro relativo é mais útil para determinar a relação dentre diversos valores. O erro relativo deve ser calculado empregando a seguinteequação:
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Na tabela 1 são apresentados os resultados obtidos experimentalmente que serão necessários para os cálculos dos nossos objetivos.
Utilizando a régua mediu-se a altura de cada 50 ml, os diâmetros dos orifícios e a distância entre o furo de escoamento até a marca de 900 ml.
Altura de 50 ml da proveta = (18,0 m
Diâmetro interno da proveta = (70,0 x m
Diâmetro do orifício por onde a água escoa = (3,0 0,5) x m
Distância entre o orifício e a marca de 900ml = (270 0,5) x m
Segue em forma de tabela os dados anotados:
Tabela 1 – Dados do tempo de cada variação do volume, médias e altura(m)
	N0
	h (m)
	Vazão
(mL)
	Intervalo de tempo para cada vazão (s)
	Média
(s)
	Incerteza
	
	
	
	Medida 1
	Medida 2
	Medida3
	
	
	1
	0,270
	900-850
	5,94
	5,69
	6,40
	6,01
	0,29
	2
	0,252
	850-800
	5,96
	6,18
	6,19
	6,11
	0,10
	3
	0,234
	800-750
	6,84
	6,28
	7,00
	6,70
	0,30
	4
	0,216
	750-700
	5,66
	6,72
	6,68
	6,39
	0,49
	5
	0,198
	700-650
	6,50
	7,16
	7,59
	7,08
	0,44
	6
	0,180
	650-600
	7,16
	7,59
	7,21
	7,3
	0,19
	7
	0,162
	600-550
	8,31
	7,84
	8,18
	8,44
	0,19
	8
	0,144
	550-500
	7,87
	8,47
	8,81
	8,38
	0,38
	9
	0,126
	500-450
	9,18
	9,19
	8,22
	8,86
	0,45
	10
	0,108
	450-400
	10,03
	9,41
	10,85
	10,09
	0,58
	11
	0,090
	400-350
	10,78
	11,28
	9,94
	10,66
	0,55
	12
	0,072
	350-300
	12,66
	11,56
	11,81
	12,01
	0,47
	13
	0,054
	300-250
	14,06
	13,97
	14,22
	14,06
	0,10
	14
	0,036
	250-200
	17,34
	17,91
	17,50
	17,58
	0,24
	15
	0,018
	200-150
	24,65
	24,47
	24,00
	24,37
	0,27
Os valores de h e encontrados foram lançados em um gráfico pelo Excel (gráfico 1). Segue em anexo o gráfico feito em papel milimetrado.
Figura 1 – Gráfio do nível de água (h(m)) x tempo (t(s)).
A partir da figura 1, que mostra um gráfico, observa-se que o escoamento não obedece à uma relação linear, uma vez que a figura apresentada não foi uma reta. Procura-se então a relação entre o tempo de escoamento e o nível de água.
Em seguida, foi feito um gráfico h x t com os valores da tabela 1 em papel log-log que segue em anexo.
Segundo a equação de Bernoulli, (equação 1), tem-se que a relação para o escoamento de um líquido é:
Então para dois momentos distintos, t0 e t se encontram:
Como a densidade do líquido, a aceleração da gravidade e a pressão se mantêm constantes, então se obtêm:
Se a elevação do líquido h for dada por : 
A equação passa a ter o formato:
Por relação de vazão, o volume de líquido que desce na área delimitada pelo orifício maior deve ser igual ao que desce pelo orifício menor:
Onde A0 é a área do orifício maior e A é a área do orifício menor.
Então por sua vez encontra-se:
Se a velocidade v0 é dada pela relação:
E as áreas possuem a seguinte relação:
Então, substituindo:
Para encontrar a equação de relação mais facilmente, aplicou-se a técnica de linearização por logaritmos. Assim, aplica-se o logaritmo dos dois lados da equação, e aplicando as propriedades encontra-se:
Separando e simplificando em função de Δt, sendo :
Sendo considerada a equação encontrada como uma reta , com a sendo o coeficiente angular e b o coeficiente linear, têm-se que o é o y e o é o x da equação, com -2 como coeficiente angular, ou seja, a relação é decrescente.
Desta forma, os dados da Tabela 1 foram linearizados calculando-se os seus respectivos logaritmos pelas eq. (M) e (N) onde:
 
E suas incertezas, calculadas através do método dos mínimos quadrados, são dadas pelas equações (P) e (R) :
Correspondendo à incerteza de x. E:
Correspondendo à incerteza de y.
A Tabela 2 a seguir apresenta os dados calculados:
Tabela 2 – Tabela de valores log(h) e log(∆t)
	
	Log(h(m))
	Log(∆t)
	1
	-0,56
	0,77
	2
	-0,59
	0,78
	3
	-0,63
	0,82
	4
	-0,66
	0,80
	5
	-0,70
	0,85
	6
	-0,74
	0,86
	7
	-0,79
	0,92
	8
	-0,84
	0,92
	9
	-0,89
	0,94
	10
	-0,96
	1,00
	11
	-1,04
	1,02
	12
	-1,14
	1,07
	13
	-1,26
	1,14
	14
	-1,44
	1,24
	15
	-1,74
	1,38
Estes valores foram lançados em gráfico, resultando no gráfico 2 a seguir:
Figura 2 - Gráfico log do valor do nível de água x log do valor do tempo médio, para o escoamento da água da proveta.
Onde é confirmada a relação linear decrescente entre os valores em logaritmo.
Tendo-se que a relação entre os valores foram linearizados, calcularam-se os seus coeficientes lineares, com base nos dados obtidos, para a construção do gráfico. Os coeficientes e suas incertezas foram calculadas a partir da técnica de Regressão linear pelo Método dos Mínimos Quadrados, onde:
O coeficiente angular é dado por a e sua incerteza por σa e calculados pelas eq.(S) e (14):
O coeficiente linear é dado por b e sua incerteza por σb e calculados pelas eq.(T) e (14):
 (T)
 (14)
Os valores de e foram obtidos com o auxílio de um programa em linguagem C++, para facilitar os cálculos, criado pelos autores deste relatório, cujo script segue em anexo. Ao executar o programa, obtêm-se o valor de M, N e P, cujas equações são dadas por meio das equações a seguir:
14626,60
Ao executar o programa por meio de um compilador, obtêm-se:
	M = 7528,35
	N = 1942,87
	P = 154,04
Logo:
Desta forma, os valores encontrados para foram de:
Tabela 3 - Coeficientes angular e linear, calculados de acordo com os dados obtidos.
	Coeficiente
	Valor encontrado
	A
	(-1,90)
	B
	(0,91)
 
Com os dados obtidos, a aceleração da gravidade fora calculada pôde ser obtida a partir da eq, (W) onde:
Aplicando exponencial:
A equação de propagação de incerteza da gravidade a partir da equação dada fora:
Desta forma, o valor encontrado para a aceleração da gravidade é apresentado na 
Tabela 7. Valor de aceleração de gravidade encontrado experimentalmente.
	Grandeza
	Valor
	Aceleração da gravidade
	(9,28 ± 1,85) m/s²
 O erro relativo e entre a aceleração da gravidade teórica e experimental foi calculado se utilizando equação (16):
 					(16)
Onde VT corresponde ao valor teórico, e VE é o valor encontrado experimentalmente. Por definição, o erro relativo deve ser menor ou igual à 15% para que o valor seja confiável.
O valor teórico de aceleração de gravidade teórico adotado fora de (9,81±0,05) m/s², assim fora encontrado um erro relativo de 15,67% para o valor encontrado experimentalmente. Este valor de erro encontrado saiu da faixa de confiabilidade. Este fato já estava sendo esperado pelo fato de que o valor teórico da aceleração da gravidade não estar nem ao menos dentro da faixa de incerteza encontrada.
CONCLUSÃO
-
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Guia de relatório, fornecido pela professora Simoni Gehlen;
SERWAY, 2011, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros, volume 2; oscilações, ondas e termodinâmica.
HALLIDAY & RESNICK, 2006, Fundamentos da Física v.2, cap. 15;
YOUNG, 2008, Hugh D. Física II: Termodinâmica e Ondas / Young e Freedman; [colaborador A Lewis Ford]; 12 ed. – São Paulo; Addison Wesley.
ANEXOS
Script do programa em C++ para as incertezas do coeficiente angular e linear.
#include<iostream>
#include<conio.h>
#include<math.h>
using namespace std;
main(){
 int i;
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