produto interno

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS
PROFESSOR: Paulo Gala˜o
3a LISTA DE EXERCI´CIOS DE A´LGEBRA LINEAR
1. Verifique se as func¸o˜es definidas abaixo definem um produto interno.
(a) 〈u, v〉 = 2x1x2+x1y2+x2y1+ y1y2, onde u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3) ∈ R
3.
(b) 〈u, v〉 = 3x1y1 + 5x2y2 onde u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ R
2.
(c) 〈u, v〉 = 4x1y1 + x2y1x1y2 + 4x2y2, onde u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ R
2.
(d) 〈u, v〉 = |x1 − y1|+ |x2 − y2|, onde u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ R
2.
(e) 〈u, v〉 = x1y1 + x2y2 − x3y3, onde v1 = (x1, x2, x3), v2 = (y1, y2, y3) ∈ R
3.
2. Nos itens abaixo utilize o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schimidt para obter
uma base ortonormal dos respectivos espac¸os em relac¸a˜o ao produto interno usual
a partir da base dada.
(a) β = {(1, 2), (2, 1)} ⊂ R2
(b) β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} ⊂ R3
(c) β = {(−1, 1), (1, 1)} ⊂ R2
3. Seja P2(R) o espac¸o das func¸o˜es polinomiais reais de grau ate´ dois. Definimos em
P2(R)
〈f, g〉 =
∫
1
−1
f(t)g(t)dt
Considere W o subespac¸o de P2(R) gerado por p(t) = 1, q(t) = 1− t
(a) Prove que 〈, 〉 e´ um produto interno.
(b) Obtenha uma base ortonormal de W .
4. Sejam A,B ∈M2. Define-se 〈A,B〉 = tr(B
t.A).
(a) Prove que 〈A,B〉 e´ um produto interno.
1
5. Suponha que u, v e w sejam vetores tais que
〈u, v〉 = 2 〈u, w〉 = −3 〈v, w〉 = 5 ||u|| = 1 ||v|| = 2 ||w|| = 1
Calcule o valor de cada uma das seguintes expresso˜es:
(a) 〈u+ v, v + w〉
(b) 〈2v + w, 2u− v〉
(c) ||u+ v + w||
6. Mostre que a seguinte identidade vale para quaisquer vetores u e v de um espac¸o
com produto interno:
||u+ v||2 + ||u− v||2 = 2(||u||2 + ||v||2).
7. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar, para quaisquer valores reais
de a, b e θ, que
(a cos θ + b sin θ)2 ≤ a2 + b2
Sugesta˜o: Escolha os vetores apropriados e utilize o produto interno
canoˆnico.
8. Sejam R4 com o produto interno usual e W = [(1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0)] um subespac¸o
de R4. Determine W⊥.
9. Sejam V = R3 com produto interno usual e W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] um subespac¸o
de V. Determine W⊥.
10. Verifique se as aplicac¸o˜es abaixo sa˜o bilineares.
(a) B : R2 ×R2 −→ R definida por B((x1, y1), (x2, y2)) = x1 + y2.
(b) B : V × V −→ R definida por B(u, v) = 〈u, v〉.
2
11. Qual e´ a matrizM ∈M2 associada a` forma bilinear R
2×R2 −→ R que da´ o produto
interno usual de R2.
12. Seja A((x, y), (x′, y′)) = 3xx′−yy′. Ache a forma quadra´tica Q : R2 −→ R associada
a A.
13. Seja Q(x, y) = x2 + 4xy − y2. Ache a matriz da forma bilinear associada.
14. Verifique se f : R2 × R2 → R definida por f((x, y), (a, b)) = x + b e´ uma forma
bilinear.
15. Se M =

 −1 2
3 2

, ache a forma bilinear f : R2×R2 → R associada a` matriz M .
Esta forma bilinear e´ sime´trica?
16. Seja f : R3 × R3 → R definida por f((x, y, z), (a, b, c)) = xb + xc − ya − zb + zc.
Ache a matriz de f em relac¸a˜o a`s bases:
(a) C = canoˆnica;
(b) B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 0)}.
17. Seja f : R2 × R2 → R definida por f((x, y), (a, b)) = 3xa − yb. Ache a forma
quadra´tica Q : R2 → R associada a f .
18. Seja Q : R2 → R definida por Q(x, y) = 2x2 + 4xy − y2. Ache a matriz da forma
bilinear associada.
19. Se f e´ uma forma bilinear sime´trica e Q a forma quadra´tica associada a ela, mostre
que
f(u, v) =
1
4
Q(u+ v)−
1
4
Q(u− v).
20. Seja f : U × V → R uma forma bilinear. Provar que
(a) f(0u, v) = f(u, 0v) = 0
(b) f(−u, v) = f(u,−v) = −f(u, v)
3
21. Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores gene´ricos do R
2. Quais das seguintes
func¸o˜es sa˜o formas bilineares:
(a) f(u, v) = x1y1
(b) f(u, v) = x1y2
(c) f(u, v) = x1(y1 + y2)
(d) f(u, v) = 0
(e) f(u, v) = 1
(f) f(u, v) = x2
1
+ x2y1
(g) f(u, v) = x1y1 + x2y2 + 1
(h) f(u, v) = x1y2 − x2y1
22. Seja a forma bilinear do R2 , f(u, v) = x1y1 + 2x1y2− x2y1 + x2y2. Calcule [f ]B em
cada caso:
(a) B={(1,1), (1,-1)}
(b) B={(2,1), (1,2) }
(c) B={(2,3), (4,1) }
23. Seja a forma bilinear f(u, v) = ax1y1+ bx2y1+ cx1y2+ dx2y2. Que condic¸o˜es devem
satisfazer a, b, c e d para que:
(a) f(u, v) = f(v, u) para todo u, v ∈ R2
(b) f(u, v) = −f(v, u) para todo u, v ∈ R2
24. Qual a forma bilinear sime´trica que da´ origem a` forma quadra´tica do R3
(a) q(x1, x2, x3) = x1
2 + x2
2 + x3
2 − 2x1x2 + 4x1x3 − x2x3
(b) q(x1, x2, x3) = x1
2 − x2
2 + 4x2x3
(c) q(x1, x2, x3) = 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
4
25. Determine a matriz sime´trica pertencente a cada um dos seguintes polinoˆmios
quadra´ticos:
(a) q(x, y, z) = 2x2 − 8xy + y2 − 16xz + 14yz + 5z2
(b) q(x, y, z) = x2 − xz + y2
(c) q(x, y, z) = xy + y2 + 4xz + z2
(d) q(x, y, z) = xy + yz
5