Lista_7_Espaços vetorias com produto interno

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Lista 7
Espac¸os vetoriais com produto interno
1. Calcule a norma euclideana dos vectores seguintes.
(a) ~v = (−2, 5) (b) ~v = (1, 2,−2) (c) ~v = (3, 4, 0) (d) ~v = (−2, 1,−1)
2. Seja ~u = (4, 1, 2), ~v = (0, 3, 8), ~w = (3, 1, 2). Obtenha as expresso˜es.
(a) ||~u + ~v|| (b) ||~u||+ ||~v|| (c) || − 2~u||+ 2||~u||
(d) ||3~u− 5~v + ~w|| (e) 1
~||w||
~w (f) || 1||~w|| ~w||
3. Seja ~v = (−2, 3, 0). Encontre os valores de k para os quais ||k~v|| = 5.
4. Encontre o produto interno euclideano ~u · ~v.
(a) ~u = (2, 5), ~v = (−4, 3) (b) ~u = (4, 8, 2), ~v = (0, 1, 3)
(c) ~u = (3, 1,−5), ~v = (2, 2,−3)
5. Para cada uma da alineas do exerc´ıcio anterior, encontre o aˆngulo entre ~u e ~v.
6. (a) Encontre os vectores em R2 de norma 1 cujo produto interno com o vector ~v = (3,−1)
e´ zero.
(b) Mostre que existem infinitos vectores em R3 com 1 e cujo produto interno com o vector
(1,−3, 5) e´ zero.
7. Encontre a distaˆncia entre os pontos P e Q.
(a) P = (1,−2), Q = (2, 1) (b) P = (2,−2, 2), Q = (0, 4,−2)
(c) P = (0,−2,−1, 1), Q = (−3, 2, 4, 4)
(d) P = (3,−3,−2, 0,−3), Q = (−4, 1,−1, 5, 0)
8. Verifique se os vectores seguintes sa˜o ortogonais.
(a) ~u = (−1, 3, 2), ~v = (4, 2,−1) (b) ~u = (−2, ,−2,−2), ~v = (1, 1, 1)
(c) ~u = (u1, u2, u3), ~v = (0, 0, 0) (f) ~u = (a, b), ~v = (−b, a)
9. Encontre um vector na˜o-nulo ortogonal a ~u = (5,−2, 3). Consegue indicar outro?
10. Para cada uma das al´ıneas, encontre as projecc¸o˜es ortogonais de ~u em ~a, e de ~u perpendicular
a ~a.
(a) ~u = (6, 2),~a = (3,−9) (b) ~u = (−1,−2),~a = (−2, 3)
(c) ~u = (3, 1, 4),~a = (2, 3, 3) (d) ~u = (3,−2, 6),~a = (1, 2,−7)
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11. Determine o vector unita´rio que e´ ortogonal a ~u = (1, 0, 1) e ~v = (0, 1, 1).
12. Encontre um vector que seja ortogonal a ~u e a ~v.
(a) ~u = (−6, 4, 2), ~v = (3, 1, 5) (b) ~u = (−2, 1, 5), ~v = (3, 0,−3)
13. Sejam ~u e ~v vectores de R3, sendo que ~a = (1,−4, 2), ~b = (2, 4,−2)
(a) Considerando o produto interno euclideano, calcule 〈~a,~b〉
(b) Considerando o produto interno pesado
〈~u,~v〉 = w1u1v1 + w2u2v2 + w3u3v3,
com w1 = 4, w2 =
1
4
, w3 = 1, calcule 〈~a,~b〉.
(c) Os vectores sa˜o ortogonais? Justifique.
14. Considere R4 com o produto interno euclideano, e seja ~u = (−1, 1, 0, 2). Verifique se ~u
e´ ortogonal ao subespac¸o gerado pelos vectores ~w1 = (0, 0, 0, 0), ~w2 = (1,−1, 3, 0), ~w3 =
(4, 0, 9, 2).
15. (a) Seja W um plano de R3 com o produto interno euclideano, de equac¸a˜o x− 2y − 3z = 0.
Encontre as equac¸o˜es parame´tricas para W⊥.
(b) Seja W a linha de R3 com o produto interno euclideano, de equac¸o˜es parame´tricas
x = 2t, y = −5t, z = 4t (−∞ < t <∞)
Encontre as equac¸o˜es parame´tricas para W⊥.
(c) Seja W a intercepc¸a˜o entre os planos de R3 com o produto interno euclideano,
x + y + z = 0 e x− y + z = 0
em R3. Encontre uma equac¸a˜o para W⊥.
16. Considere R3 com o produto interno euclideano. Use o me´todo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-
Schmidt para transformar a base {~u1, ~u2, ~u3} numa base ortonormada.
(a) ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (−1, 1, 0), ~u3 = (1, 2, 1)
(b) ~u1 = (1, 0, 0), ~u2 = (3, 7,−2), ~u3 = (0, 4, 1)
17. Considere R4 com o produto interno euclideano. Use o me´todo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-
Schmidt para transformar a base {~u1, ~u2, ~u3, ~u4} numa base ortonormada.
~u1 = (0, 2, 1, 0), ~u2 = (1,−1, 0, 0), ~u3 = (1, 2, 0,−1), ~u4 = (1, 0, 0, 1)
18. Considere R3 com o produto interno euclideano. Encontre uma base ortonormal para su-
bespac¸o gerado por {(0, 1, 2), (−1, 0, 1), (−1, 1, 3)}.
19. Considere R3 com o produto interno 〈~u,~v〉 = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3. Use o me´todo de orto-
gonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt para transformar a base {~u1, ~u2, ~u3}, com ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 =
(1, 1, 0), ~u3 = (1, 0, 0) numa base ortonormada.
2
20. Encontre a decomposic¸a˜o QR onde e´ poss´ıvel
(a) A =
[
1 −1
2 3
]
(b) A =
 1 20 1
1 4

(c) A =
 1 1−2 1
2 1

(d) A =
 2 0 14 0 −2
0 0 0

(e) A =
 1 0 20 1 1
1 2 0

(f) A =
 1 2 11 1 1
0 3 1

(g) A =

1 0 1
−1 1 1
1 0 1
−1 1 1

21. Encontre a matriz das coordenadas de A relativamente a S = {A1, A2, A3, A4}.
A =
[
2 0
−1 3
]
, A1 =
[ −1 1
0 0
]
, A2 =
[
1 1
0 0
]
, A3 =
[
0 0
1 0
]
, A4 =
[
0 0
0 1
]
22. Considere as bases B = {~u1, ~u2, ~u3} e B′ = {~v1, ~v2, ~v3} onde
~u1 =
 −30
−3
 , ~u2 =
 −32
−1
 , ~u3 =
 16
−1
 , ~v1 =
 −6−6
0
 , ~v2 =
 −2−6
4
 , ~v3 =
 −2−3
7

(a) Encontre a matriz de transic¸a˜o entre B e B’.
(b) Calcule a matriz das coordenadas [~w]B, sabendo que [~w]B′ =
 1−2
3

23. Considere as bases B = {~p1, ~p2} e B′ = {~q1, ~q2} para P1, onde
~p1 = 6 + 3x, ~p2 = 10 + 2x, ~q1 = 2, ~q2 = 3 + 2x
(a) Encontre a matriz de transic¸a˜o entre B′ e B.
(b) Encontre a matriz de transic¸a˜o entre B e B′.
(c) Obtenha a matriz das coordenadas ~pB, sendo que ~p = −4 + x, use o resultado da alinea
anterior para obter ~pB′ .
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