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Lista 9 Transformac¸o˜es Lineares 1. Encontre a matriz associada a cada uma das transformac¸o˜es lineares (matriz padra˜o) defi- nidas pelas equac¸o˜es. (a) { w1 = 2x1 − x2 + x4 w2 = 3x1 + 5x2 − x4 (b) w1 = 7x1 + 2x2 − 8x3 w2 = − x2 + 5x3 w3 = 4x1 + 7x2 − x3 (c) w1 = −x1 + x2 w2 = 3x1 − 2x2 w3 = 5x1 − 7x2 (d) w1 = x1 w2 = x1 + x2 w3 = x1 + x2 + x3 w4 = x1 + x2 + x3 + x4 2. Encontre a matriz padra˜o para a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 definida por w1 = 3x1 + 5x2 − x3 w2 = 4x1 − x2 + x3 w3 = 3x1 + 2x2 − x3 e calcule T (−1, 2, 4). 3. Encontre a matriz padra˜o para o operador linear T definido pela fo´rmula. (a) T (x1, x2) = (2x1 − x2, x1 + x2) (b) T (x1, x2) = (x1, x2) (c) T (x1, x2, x3) = (4x1, 7x2,−8x3) (d) T (x1, x2, x3) = (0, 0, 0, 0, 0) (e) T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 + x3, x1 + 5x2, x3) (f) T (x1, x2) = (x2,−x1, x1 + 3x2, x1 − x2) (g) T (x1, x2, x3, x4) = (7x1 + 2x2 − x3 + x4, x2 + x3,−x1) (h) T (x1, x2, x3, x4) = (x4, x1, x3, x2, x1 − x3) 4. Utilize em cada um dos casos a matriz padra˜o [T ], para determinar T (x). (a) [T ] = [ 1 2 3 4 ] ; x = [ 3 −2 ] (b) [T ] = [ −1 2 0 3 1 5 ] ; x = −11 3 (c) [T ] = −2 1 43 5 7 6 0 −1 ; x = x1x2 x3 5. Por multiplicac¸a˜o de matrizes obtenha a reflexa˜o de (2,-5,3) em torno (a) do plano xy (b) do plano xz (c) do plano yz 1 6. Por multiplicac¸a˜o de matrizes obtenha a projec¸a˜o ortogonal de (2,5) (a) no eixo-x (b) no eixo-y 7. Por multiplicac¸a˜o de matrizes obtenha a projec¸a˜o ortogonal de (-2,1,3) (a) no plano xy (b) no plano xz (c) no plano yz 8. Por multiplicac¸a˜o de matrizes obtenha a imagem do vector (-2,1,2) quando rodado. (a) 30o em torno do eixo do x no sentido negativo. (a) 30o em torno do eixo do x no sentido positivo. (b) 45o em torno do eixo do y no sentido negativo. (c) 90o em torno do eixo do z no sentido negativo. 9. Encontre a matriz padra˜o para as seguintes composic¸o˜es de operadores lineares em R2. (a) Uma rotac¸a˜o de 90o no sentido positivo, seguida de uma reflexa˜o em torno da linha y = x. (b) Uma projec¸a˜o ortogonal no eixo-y, seguida de uma contrac¸a˜o com um fator k = 1 2 . (c) Uma rotac¸a˜o de 60o no sentido positivo, seguida de uma projec¸a˜o ortogonal no eixo-x, seguida de uma reflexa˜o em torno da linha y = x. (d) Uma dilatac¸a˜o de um fator k = 2, seguida de uma rotac¸a˜o de 45o, seguida de uma reflexa˜o em torno do eixo-y. (e) Uma rotac¸a˜o no sentido positivo de 15o, seguida de uma rotac¸a˜o no sentido positivo de 105o, seguida de uma rotac¸a˜o no sentido positivo de 60o. 10. Encontre a matriz padra˜o para as seguintes composic¸o˜es de operadores lineares em R3. (a) A reflexa˜o em torno do plano-yz, seguida da projec¸a˜o ortogonal no plano-xz. (b) Uma rotac¸a˜o de 45o no sentido positivo em torno do eixo-y, seguida de uma dilatac¸a˜o com fator k = √ 2. (c) Uma projec¸a˜o ortogonal no plano-xy, seguida de uma reflexa˜o em torno do plano-yz. (d) Uma rotac¸a˜o de 30o no sentido positivo em torno do eixo-x, seguida de uma rotac¸a˜o de 30o em torno do eixo-z, seguida de uma contracc¸a˜o com fator k = 1 4 . (e) Uma rotac¸a˜o no sentido positivo de 270o em torno do eixo-x, seguida de uma rotac¸a˜o no sentido positivo de 90o em torno do eixo-y, seguida de uma rotac¸a˜o de 180o em torno do eixo-z. 11. Considere A = [ −1/√2 −1/√2 1/ √ 2 −1/√2 ] verifique que a matriz A e´ a matriz padra˜o de uma rotac¸a˜o em R2 e determine o aˆngulo dessa rotac¸a˜o. 12. Mostre que a imagem do operador linear definido pelas equac¸o˜es w1 = x1 − 2x2 + x3 w2 = 5x1 − x2 + 3x3 w3 = 4x1 + x2 + 2x3 na˜o e´ R3, e encontre um vector de R3 que na˜o se encontre na imagem do operador. 2 13. Verfique se o operador linear T : R2 → R2 definido pelas equac¸o˜es e´ de um em um (injetor), caso seja, encontre a matriz padra˜o do operador inverso, e encontre T−1(w1, w2). (a) { w1 = x1 + 2x2 w2 = −x1 + x2 (b) { w1 = 4x1 − 6x2 w2 = −2x1 + 3x2 14. Verfique se o operador linear T : R3 → R3 definido pelas equac¸o˜es e´ de um em um (injetor), caso seja, encontre a matriz padra˜o do operador inverso, e encontre T−1(w1, w2, w3). (a) w1 = x1 − 2x2 + 2x3 w2 = 2x1 + x2 + x3 w3 = x1 + x2 (b) w1 = x1 + 2x2 + x3 w2 = −2x1 + x2 + 4x3 w3 = 7x1 + 4x2 − 5x3 15. Determine sem fazer ca´lculos os operadores inversos dos operadores de um em um (injetores) , seguintes. (a) reflexa˜o em torno do eixo-x em R2. (b) rotac¸a˜o de um aˆngulo pi/4 em R2. (c) dilatac¸a˜o de um fator 3 em R2. (d) reflexa˜o em torno do eixo-yz em R3. (e) contrac¸a˜o por um fator 1 6 em R3. 16. Utilize os teoremas estudados na aula teo´rica para verificar se T : R2 → R2 e´ um operador linear. (a) T (x, y) = (2x, y) (b) T (x, y) = (x2, y) (c) T (x, y) = (x, 0) (d) T (x, y) = (2x− y, x− y) (e) T (x, y) = (x+ 1, y) 17. Utilize os teoremas estudados na aula teo´rica para verificar se T : R3 → R2 e´ uma trans- formac¸a˜o linear. (a) T (x, y, z) = (x, x− y − z) (b) T (x, y, z) = (1, 1) (c) T (x, y, z) = (0, 0) (b) T (x, y, z) = (3x− 4y, 2x− 5z) 3
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