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Professor(a): Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Universidade federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Química Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Programação em Mathcad Definição de Variáveis em Mathcad O mathcad é caso sensitivo, faz distinção entre letras maiuscúlas e minúsculas. Declaração das variáveis x e y Ex: x := 2 y := 4 := Símbolo de definição Definição de Unidades S0 := 3km, v:= 60 kph, t:= 2hr Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Definição de uma função matemática Ex: Sf(t) = S0 + vt Ex: 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 Ex: 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 + cos(2𝑥) Ex: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 Ex: 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝜋 ∙ 𝑅2 Formatando os resultados Clique duas vezes com o botão esquerdo do mouse sobre o valor a ser formatado. Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Criando vetores e Matrizes Definindo o vetor Mudando a posição do vetor Programação em Mathcad v 1 1:= v 2 2:= v 3 3:= v 0 1 2 3 = Repare que a primeira posição do vetor é zero isto ocorre porque a primeira posição do vetor no mathcad tem início zero. ORIGIN 1:= v 1 1:= v 2 2:= v 3 3:= v 1 2 3 = Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Programação em Mathcad Criando vetores e Matrizes Definindo a matriz M 1 1, 1:= M 1 2, 2:= M 2 1, 3:= M 2 2, 4:= M 0 0 0 0 1 3 0 2 4 = Repare que as posições da primeira linha e da primeira coluna são iguais a zero isto ocorre porque os índices da matriz no mathcad tem início na posição zero. ORIGIN 1:= M 1 1, 1:= M 1 2, 2:= M 2 1, 3:= M 2 2, 4:= M 1 3 2 4 = Mudando a posição da matriz Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Operações com Vetores e Matrizes Defina as matrizes A e B e o vetor C Soma de Matrizes: 𝐴 + 𝐵 Subtração de Matrizes: 𝐵 − 𝐴 Multiplicação por escalar: 2 ∙ 𝐴 , 1 2 ∙ 𝐴 + 3 ∙ 𝐵 Multiplicação de matrizes: 𝐴 ∙ 𝐵, 𝐴 ∙ 𝐶 Cálculo de determinantes: |A|, |B| Programação em Mathcad A 1 3 2 6 5 4 7 8 5 := B 1 6 3 8 2 7 3 4 5 := C 3 8 1 := Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Operações com Vetores e Matrizes Obtendo a inversa de uma matriz: 𝐴−1, 𝐵−1 Criando gráficos Gráficos 2D : Insert Graph X-Y plot - Defina: 𝑓1 𝑥1 ≔ 𝑥1 2 , 𝑓2 𝑥2 = 1 2 ∙ 𝑥2 + 2 e 𝑓3 𝑥3 = 3 ∙ 𝑥3 2 + 1 - Crie um gráfico 2D para as duas funções - Agora vamos definir o intervalo da variável x 𝑥1 ≔ −10,−9. . 10 𝑥2 ≔ −10,−9. . 10 Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Criando gráficos Gráficos 3D : Insert Surface plot Defina: 𝐻1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 Crie um gráfico 3D para a função Criar uma curva de nível: -Clicar duas vezes no gráfico * Contour plot * Apperance-Fill options - Select fill contours Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Encontrando raízes de um polinômio Defina a função a seguir: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 10𝑥 + 2 Definindo a tolerância: TOL ≔ 1 × 10−8 Podemos usar o comando: root(f x , x, −4, −2) onde o intervalo de busca será entre -4 e -2. Podemos usar o comando: polyroots(coef) onde coef é um vetor dos coeficientes do polinômio. O vetor coef contém os valores dos coeficientes do polinômio em ordem crescente. Ache as raízes do polinômio: 𝑥2 − 2𝑥 + 1 Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Cálculo de derivadas e integrais Defina 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 10𝑥 + 2 Defina 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 Calcular a derivada 𝑓′ 𝑥 𝑒𝑔′(𝑥) Calcular as integrais 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Calcular as integrais 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 2 0 e 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 2 0 Ache as derivadas e as integrais simbólicas das funções a seguir 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + cos 2𝑥 𝑔 𝑥 = ln 𝑥 + 2𝑥 Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Comandos de repetição For e while Defina Programação em Mathcad 1 ( , ) n i f x n x i = = Somatório f1 x n, ( ) 1 n i x i( ) = := f1 5 3, ( ) 21= Somatorio x n, ( ) soma 0 soma x i( ) soma i 1 n..for soma := Somatorio 5 3, ( ) 21= Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Exercício 1: Utilize a estrutura de repetição for para calcular o produto de 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑖 por ela mesma a medida que i varia. Ex: calcular 𝑥 + 1 𝑥 + 2 𝑥 + 3 … Exercício 2: Use a função polyroots para achar todas raízes dos polinômios abaixo. a) 4𝑥3 − 12.3𝑥2 − 𝑥 + 16.2 b) 𝑥3 − 0.39𝑥2 − 10.5𝑥 + 11 c) 𝑥4 − 7𝑥3 + 12𝑥2 + 4𝑥 − 16 d) 𝑥5 − 8𝑥4 + 17𝑥3 − 8𝑥2 − 14𝑥 + 20 Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Manipulação de expressões Função expand: Expandi a função Função factor: Fatoriza a expressão Função substitute: Substitui uma variável específica por outra Programação em Mathcad x 3-( ) 3 expand x 3 9 x 2 - 27 x 27- x 3 9 x 2 - 27 x 27- factor x 3-( ) 3 x 3-( ) 3 substitute x 1-=, 64- x 3-( ) 3 substitute x y=, y 3-( ) 3 Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Manipulação de expressões Função simplify: Simplifica uma expressão Função coeffs: Coleta os coeficientes do polinômio - Defina a função 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 - Utilize o comando coeffs para coletar os coeficientes - Ache as raízes do polinômio Programação em Mathcad e 2 ln x( ) simplifyx 2 x 2 2x 1- coeffs 1- 2 1 Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento “Solve Block” no Mathcad Given: utilizado para definir a equação ou sistema de equações a ser resolvida. Define uma região matemática Find ou Minner: utilizado para determinar qual variável deve ser resolvida. Defina a função 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥4 − 5𝑥3 + 4𝑥 − 20 = 0. Utilizando os comandos Given e Find ache os valores de x. Refaça o exercício 2 utilizando os comandos Given e Find. Programação em Mathcad Given x 2 2x 1- 0= Find x( ) 2 1- 2- 1-( ) Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Regressão linear A Regressão Linear consiste em determinar a equação da reta que melhor representa uma séria de valores conhecidos. Queremos determinar a e b da expressão abaixo: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Regressão linear A determinação dos coeficientes a e b da reta consiste de quatro etapas, conforme a seguir: Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontos conhecidos) e 2 colunas, tendo na primeira coluna os valores de X (variável independente) e na segunda coluna os valores de Y (variável dependente), conforme figura ao lado. Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. 𝐗 ≔ 𝐌𝐀𝐓<𝟎>; 𝐘 ≔ 𝐌𝐀𝐓<𝟏> Executar as funções conforme abaixo: Slope(X,Y) ............ para determinar o coeficiente angular a Intercept(X,Y)...... para determinar a Intercessão com o eixo das abscissas b a:=Slope(X,Y) b:= Intercept(X,Y) Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Determinar os valores de a e b, digitando conforme abaixo: a = b = Determine a equação da reta que melhor representa os pontos abaixo: Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Determinar os valores de a e b, digitando conforme abaixo: a = b = Exemplo : Determine a equação da reta que melhor representa os pontos abaixo: Exercício 3: Determine a equação da reta que melhor define os pontos a seguir: Programação em Mathcad X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 34,5 Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Regressão polinomial A Regressão Polinomial consiste em determinar o polinômio que melhor representa uma série de valores conhecidos. Esta determinação consiste de quatro etapas, conforme: Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontos conhecidos) e 2 colunas, tendo na primeira coluna os valores de X (variável independente) e na segunda coluna os valores de Y (variável dependente). Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. Isto é feito da através do botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix: 𝐗 ≔ 𝐌𝐀𝐓<𝟎>; 𝐘 ≔ 𝐌𝐀𝐓<𝟏> Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é feito da seguinte forma: Ex: 𝐾 ≔ 3. Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n). 𝑾≔ 𝒓𝒆𝒈𝒓𝒆𝒔𝒔(𝑿, 𝒀,𝑲) Criar o polinômio através da função interp(W, X,Y,S). 𝒇 𝒛 ≔ 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑 𝑾,𝑿, 𝒀, 𝒁 Exemplo: Determine o polinômio de 6ª ordem que melhor representa os valores abaixo e calcule seu valor nos pontos x = 2,75 e x = 11,47. Programação em Mathcad Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento Introdução a computação para Engenharia Química/Alimentos Profª Msc. Ruthinéia Jéssica Alves do Nascimento x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 8 26.5 417 3555,5 17626 62560,5 178139 434249,5 943308 Exercício 4: Determine o polinômio de 6ª ordem que melhor representa os valores abaixo e calcule seu valor nos pontos x = 2,5 e x = 9,5.
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