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UNIFEI
Exame de Equac¸o˜es Diferenciais I
Professora:Gisele Leite 18/12/2012
Justifique todas as respostas!
[2.5] 1) Considere uma populac¸a˜o p de ratos do campo que crescem a uma taxa propor-
cional a` populac¸a˜o atual, de modo que
dp
dt
= rp. Encontre a taxa de crescimento r se a
populac¸a˜o dobra em 30 dias.
[3.0] 2) Em muitos problemas f´ısicos, o termo na˜o homogeˆneo pode ser especificado por
fo´rmulas diferentes em per´ıodos diferentes de tempo. Como por exemplo, determine a
soluc¸a˜o y = φ(t) de
y′′ + y =
t, 0 ≤ t ≤ pi,piepi−t, t > pi,
que satisfaz as condic¸o˜es iniciais y(0) = 0, y′(0) = 1. Suponha que y e y′ sa˜o cont´ınuas
em t = pi.
Sugesta˜o: Resolva primeiro o problema de valor inicial para t ≤ pi, depois resolva para
t > pi determinando as constantes nesta u´ltima soluc¸a˜o das condic¸o˜es de continuidade em
t = pi.
3) O sistema massa-mola amortecido e´ descrito pela equac¸a˜o de segunda ordem
m
d2x
dt2
= −kx− αdx
dt
,
onde m, k e α sa˜o constantes positivas.
[1.5] a) Transforme a equac¸a˜o acima em um sistema de equac¸o˜es de primeira ordem fazendo
x1 = x, x2 =
dx
dt
. Encontre o sistema de equac¸o˜es x′ = Ax satisfeito por x =
(
x1
x2
)
.
[1.5] b) Encontre os autovalores da matriz de coeficientes A do item (a).
[2.5] c) Desenhe os retratos de fases para os valores correspondentes dos autovalores.