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UNIFEI
1a Prova de Equac¸o˜es Diferencias I
Professora:Gisele Leite 31/08/2011
Justifique todas as respostas!
1) Considere a equac¸a˜o (2xy − 4x) + dy
dx
= 0.
a) Ache a soluc¸a˜o geral dessa equac¸a˜o.
b) Para uma soluc¸a˜o qualquer y(x), qual o limite de y(x) quando x→∞?
2) Em um modelo simplifcado de queimada, a a´rea A(t) de uma regia˜o incendiada cresce
proporcionalmente ao seu per´ımetro e satisfaz (aproximadamente) a equac¸a˜o diferencial
A′ = λA1/2, para alguma constante de proporcionalidade λ > 0. Se em um instante t0
temos A(t0) = A0, determine o intervalo de tempo, em func¸a˜o de A0 e λ, necessa´rio para
que a a´rea quadruplique de tamanho.
3) Ache a soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o
dy
dx
=
x2 + y2
xy
, com condic¸a˜o inicial y(1) = 2
e determine o maior intervalo de definic¸a˜o, da forma ]α, β[, −∞ ≤ α < β ≤ ∞, dessa
soluc¸a˜o.
4) Considere a EDO
dx
dt
= x − x2 e seja f(x) = dx
dt
. Esboce o gra´fico de f(x) em
func¸a˜o de y, determine os pontos cr´ıticos (de equil´ıbrio) e classifique cada um como sendo
assintoticamente esta´vel ou insta´vel. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gra´ficos de
soluc¸o˜es no plano xy.