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UNIFEI
1a Prova de Equac¸o˜es Diferencias I
Professora:Gisele Leite 29/03/2012
Justifique todas as respostas!
Cada questa˜o vale 25 pontos.
1) Mostre que se a e λ sa˜o constantes positivas e se b e´ um nu´mero real arbitra´rio, enta˜o
toda soluc¸a˜o da equac¸a˜o
y′ + ay = be−λt
tem propriedade de que y → 0 quando t→∞.
2) Sejam r e T constantes positivas dadas e
dy
dt
= f(y) onde
dy
dt
= −r
(
1− y
T
)
y.
Esboce o gra´fico de f(y) em func¸a˜o de y (y ≥ 0), determine os pontos cr´ıticos (de
equil´ıbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente esta´vel ou insta´vel. De-
senhe a reta de fase e esboce diversos gra´ficos de soluc¸o˜es no plano ty.
3) Mostre que, se
Nx −My
M
= Q, onde Q e´ uma func¸a˜o so´ de y, enta˜o a equac¸a˜o diferencial
M +Ny′ = 0
tem um fator integrante da forma
µ(y) = e
∫
Q(y)dy.
4) Encontre um fator integrante e resolva a equac¸a˜o
exdx+ (ex cot y + 2y csc y)dy = 0.