Provas anteriores 5

Prévia do material em texto

UNIFEI
1a Prova de Equac¸o˜es Diferenciais I
Professora:Gisele Leite 11/09/2013
Justifique todas as respostas!
1) Considere a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
− 1
x+ 1
y = (x+ 1)2.
a) Indique se a equac¸a˜o e´ separa´vel, exata, linear, autoˆnoma ou nenhum desses tipos.
b) Resolva a EDO.
c) Para que valores de x as soluc¸o˜es esta˜o definidas?
2) A meia-vida de um material radiotativo e´ o tempo necessa´rio para que uma quantidade
desse material decaia a` metade de sua quantidade original. Mostre que para qualquer
material radioativo que decaia de acordo com a equac¸a˜o Q′ = −rQ a meia-vida τ e a taxa
de decaimento r esta˜o relacionadas pela equac¸a˜o rτ = ln 2.
3) Uma substaˆncia to´xica esta´ sendo liberada no meio-ambiente por uma indu´stria a uma
raza˜o a = 54ppm/s(partes por milha˜o por segundo). A indu´stria analisa duas estac¸o˜es de
tratamento que usam processos qu´ımicos diferentes. A primeira combina cada mole´cula
da substaˆncia com um dado reagente de tal forma que a concentrac¸a˜o x(t) da substaˆncia
varia com o tempo t de acordo com a equac¸a˜o diferencial
dx
dt
= a− βx,
onde β = 27s−1. A segunda combina um outro reagentte com cada treˆs mole´culas da
substaˆncia de tal forma que
dx
dt
= a− γx3,
com γ = 2(ppm)−2s−1. Qual das duas estac¸o˜es e´ mais potente no sentido de reduzir mais
a concentrac¸a˜o final da substaˆncia?
4) Encontre a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
dy
dx
= −ax+ by
bx+ cy
.