Vetor_definido_por_dois_pontos

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Ângulo de Dois Vetores 
O ângulo entre os vetores não – nulos u e v é o ângulo θ formado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O, onde u = e v = e 0 ≤ θ ≤ 
Se u // v e u e v têm o mesmo sentido, então θ = 0. Se u // v e u e v têm sentidos contrários então θ = .
Vetor Definido por Dois Pontos
Consideremos o vetor v = de origem no ponto A = (x1, y1, z1) e extremidade e B = (x2, y2, z2). As componentes de v são dadas por (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1), isto é, v = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1). Por exemplo, se v = , com A = (3, -2, 3) e B = (5, -6, 8), então v = B – A = (2, -4, 5).
Paralelismo de Dois Vetores
Os vetores u =(x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) são paralelos quando existe um número real k tal que u = kv, isto é, (x1, y1, z1) = k(x2, y2, z2), ou seja, (x1, y1, z1) = (kx2, ky2, kz2). Por exemplo, u = (6, 8, 2) e v = (-3, -4, -1) são paralelos, pois u = (-2)v.
Produto Escalar
Denomina-se produto escalar de dois vetores u =(x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), e se representa por u . v, ao número real
u . v = x1x2 + y1y2 + z1z2
Exemplos
Se u = (6, 8, 2) e v = (-3, -4, -1), tem-se
u . v = 6(-3) +8(-4) + 2(-1) = -52
Dados os vetores u = (-3, 7, 3/2), v = (8, -2, 2), determinar
a)(u + v) . u b)u . u + v . u
Propriedades do Produto Escalar
Para quaisquer vetores u, v e w e o número real λ, verifica-se que
u . v = v . u
u . (v + w) = u . v + u . w
λ(u . v) = (λu) . v = u . (λv)
u . u > 0 e u . u = 0, se u = (0, 0, 0)
u . u = |u|2 
| u + v|2 = |u|2 + 2u . v + |v|2
| u - v|2 = |u|2 - 2u . v + |v|2
(Interpretação Geométrica do Produto Escalar). Se u e v são não – nulos e θ é o ângulo entre eles, então
 u . v = | u | |v| cos θ
|u . v| ≤ |u| |v| (Desigualdade de Schwarz)
|u + v| ≤ |u| + |v| (Desigualdade Triangular)
Dois vetores são ortogonais se, e somente se, u . v = 0 (condição de ortogonalidade
Lei dos Cossenos
 
a2 = b2 + c2 - 2bc . cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac . cos B 
c2 = a2 + b2 - 2ab . cos C
 LEI DOS SENOS
a/senA = b/senB = c/senC