Lista_de_derivadas_implicitas_

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Ca´lculo 1
Lista de exerc´ıcios
Faculdade de Tecnologia e Cieˆncias Sociais Aplicadas - FATECS
Engenharia Civil
Turma C
QUESTA˜O 1. Nos exerc´ıcios abaixo, encontre
dy
dx
por diferenciac¸a˜o impl´ıcita
a) x2 + y2 = 16
b) 2x3y + 3xy3 = 5
c) x3 + y3 = 8xy
d) x2 = x+2y
x−2y
e)
√
x +
√
y = 4
f) y +
√
xy = 3x3
g) y
x−y = 2 + x
2
h) (x + y)2 − (x− y)2 = x3 + y3
i) x2y2 = x2 + y2
j) (2x + 3)4 = 3cos4(x)
QUESTA˜O 2. Nos exerc´ıcios abaixo, considere y como a varia´vel indepen-
dente e encontre
dx
dy
a) x4 + y4 = 12x2y
b) x3y + 2y4 − x4 = 0
c) y = 2x3 − 5x
d) y
√
x− x√y = 9
QUESTA˜O 3. Se xnym = (x + y)n+m, demonstre que x · dy
dx
= y
QUESTA˜O 4. Se A cm2 e´ a a´rea de um quadrado e s cm e´ o comprimento
do lado do quadrado, encontre a taxa de variac¸a˜o me´dia de A em relac¸a˜o a
s quando s varia de (a) 4 a 4,6; (b) 4 a 4,3; (c) 4 a 4,1; (d) Qual e´ a taxa de
variac¸a˜o instantaˆnea de A em relac¸a˜o a s, quando s e´ 4?
QUESTA˜O 5. Se a a´gua de uma piscina esta´ sendo escoada e V litros e´ o
volume de a´gua na piscina t min apo´s o escoamento ter comec¸ado, sendo
V = 250(40− t)2, encontre (a) a taxa de variac¸a˜o me´dia a que a a´gua escoa
da piscina durante os primeiros 5min, e (b) com que velocidade a a´gua flui
da piscina 5min apo´s o escoamento ter comec¸ado.
QUESTA˜O 6. Em um circuito ele´trico, se E volts e´ a forc¸a eletromotriz,
R ohms e´ a resisteˆncia, e I amperes e´ a corrente, a lei de Ohm afirma que
1
IR = E. Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce a uma
taxa porporcional ao inverso do quadrado de I.
QUESTA˜O 7. Infla-se um bala˜o esfe´rico de tal modo que o seu volume esta´
aumentando a` taxa de 5dm3/min. A que taxa o diaˆmetro do bala˜o cresce
quando o diaˆmetro e´ 12dm
QUESTA˜O 8. Um recipiente cheio de a´gua com a forma de um cone invertido,
esta´ sendo esvaziado a` taxa de 6cm3/min. A altura do cone e´ 24cm e o raio
da base e´ 12cm. Encontre a velocidade com que baixa o n´ıvel da a´gua,
quando esta´ a 10cm do fundo.
QUESTA˜O 9. A lei de Boyle para a dilatac¸o de um ga´s e´ PV = C, em que
P e´ a pressa˜o em N/m2, V e´ o volume em m3 e C e´ uma constante. Num
certo instante, a pressa˜o e´ 3 × 103N/m2, o volume e´ 5m3, e o volume esta´
aumentando a` taxa de 3m3/min. Encontre a taxa de variac¸a˜o da pressa˜o
neste momento.
QUESTA˜O 10. Nos exerc´ıcios abaixo, encontre os extremos relativos da
func¸a˜o dada, utilizando-se do teste da derivada segunda quando poss´ıvel. Se
o teste da derivada segunda na˜o puder ser aplicado, use o teste da derivada
primeira.
a) f(x) = 3x2 − 2x + 1
b) h(x) = 2x3 − 9x2 + 27
c) G(x) = (x− 3)4
d) g(x) = x3 − 5x + 6
e) h(x) = x
√
x + 3
f) f(x) = 4x1/2 + 4x−1/2
QUESTA˜O 11. Nos exerc´ıcios abaixo, determine onde o gra´fico da func¸a˜o
dada e´ coˆncavo para cima, onde e´ coˆncavo para baixo e encontre os pontos
de inflexa˜o, se existirem
a) f(x) = x3 + 9x
b) h(x) = x4 − 8x3 + 24x2
c) G(x) = (x− 2)1/5
d) g(x) =
x
x2 − 1
e) h(x) = x3 + 3x2 − 3x− 3
f) f(x) = sen(x)
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