2. Distribuicoes_amostrais 2

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Prof° Diego dos Santos 
Distribuições amostrais 
 Agora vamos reunir análise exploratória de dados, 
modelos probabilísticos e amostragem, para podermos 
desenvolver uma parte importante dentro da estatística 
– INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
Tirar conclusões sobre 
características da população 
(médias, proporções, variâncias) 
com base no estudo de somente 
uma parte da população, ou seja, 
uma amostra. 
 Amostra é qualquer parte 
(subconjunto) da população. 
 
 Uma estatística é uma 
medida usada para 
descrever uma característica 
da amostra. Nós 
frequentemente usamos 
uma estatística para estimar 
um parâmetro desconhecido. 
 População é um conjunto 
completo (todos os sujeitos 
a serem estudados) de 
indivíduos (pessoas, 
plantas, objetos, animais) 
em que estamos 
interessados. 
 
 Um parâmetro é uma 
medida usada para 
descrever uma 
característica da 
população. Geralmente o 
valor de um parâmetro não 
é conhecido. 
População 
Amostra 
 Estimação: é o processo que consiste em utilizar 
dados amostrais para obter valores de 
parâmetros populacionais desconhecidos. 
 
 Estimador: é uma função dos dados. É toda a 
estatística amostral que tem um correspondente 
parâmetro na população. Por exemplo: 𝑥 (média 
amostral) é um estimador de  (média 
populacional); s (desvio-padrão amostral) é um 
estimador de  (desvio padrão populacional); e 
assim por diante. 
 
Dois tópicos básicos da inferência estatística são: 
 
 Intervalos de confiança 
 Teste de hipóteses 
Raciocínio da inferência estatística 
 Como resultados de amostras aleatórias e 
experimentos comparativos aleatorizados incluem um 
elemento do acaso, não podemos garantir que 
nossas inferências estejam corretas. 
 
 O que podemos fazer é garantir que os métodos 
utilizados forneçam usualmente respostas corretas. 
Raciocínio da inferência estatística 
 O raciocínio da inferência estatística apoia-se na 
pergunta: “Com que frequência esse método 
forneceria uma resposta correta se eu o utilizasse um 
grande número de vezes?” 
 
 Se nossos dados provêm de amostragem aleatória ou 
de experimentos comparativos aleatorizados, as leis 
de probabilidade respondem a esta pergunta: “o que 
aconteceria se fizéssemos isso muitas vezes?” 
 
 Veremos a seguir alguns fatos sobre probabilidade 
que ajudam a responder a essa pergunta. 
A lei dos grandes números 
Lei dos grandes números: A medida que o número de observações 
(n) selecionadas aletatoriamente em uma amostra aumenta, 
a média da amotra ( ) fica cada 
vez mais próxima da média da 
população  
A proporção amostral ( ) fica 
cada vez mais próxima da 
proporção populacional p 
x 
pˆ
O que é uma distribuição amostral? 
A distribuição amostral de uma estatística é a distribuição de todos os 
possíveis valores assumidos pela estatística quando todas as amostras 
possíveis de mesmo tamanho fixo n são tiradas de uma mesma 
população. Isto é uma idéia teórica – na realidade nós não construímos 
essas distribuições. 
 
A distribuição amostral de uma estatística é a distribuição de 
probabilidade dessa estatística. 
 
Nota: Quando uma amostra aleatória é retirada de uma população, 
 A lei dos grandes números descreve o que acontece quando a 
amostra de tamanho n for aumentada gradualmente. 
 A distribuição amostral descreve o que acontece quando nós 
tomamos todas as possíveis amostras aleatórias de tamanho n fixo. 
Distribuição amostral de (a média amostral) 
Ao selecionarmos muitas amostras aleatórias de tamanho 
n da população com média e desvio padrão  .
 
Algumas médias amostrais estarão acima da média 
populacional  e algumas estarão abaixo, fazendo a 
distribuição amostral. 
 
Distribuição amostral da média 
Histograma de 
algumas 
médias 
amostrais 
x
x
Distribuição amostral da média 

/√n
Para qualquer população  e desvio padrão : 
 A média, ou o centro da distribuição amostral de , é igual a média 
populacional . 
 O desvio padrão da distribuição amostral é /√n, onde n é o 
tamanho amostral. 
x
x
 Média da distribuição amostral de : 
Não há uma tendência sistemática de superestimar ou 
subestimar o parâmetro, mesmo se a distribuição dos dados 
brutos for assimétrica. Então, a média da distribuição 
amostral da é um estimador não–viesado da média 
populacional  — está “em média correto” em muitas 
amostras. 
 
 Desvio padrão da distribuição amostral de : 
O desvio padrão da distribuição amostral mede quanto a 
estatística amostral varia de amostra para amostra. Ele é 
menor que o desvio padrão da população por um fator de √n. 
 Médias são menos variáveis do que observações 
individuais. 
x
x
x
x
Para populações com distribuição normal 
Quando uma variável na população é normalmente distribuída, 
então a distribuição amostral da para todas as possíveis 
amostras de tamanho n tem também distribuição normal. 
Se a população é 
N(,), então a 
distribuição das 
médias amostrais é 
N(,/√n). 
População 
Médias amostrais 
x
Pontos de QI: população vs. amostra 
Em uma grande população de adultos, o QI médio é 112 com desvio 
padrão de 20. Suponha que 200 adultos são selecionados aleatoriamente 
para uma pesquisa de mercado. 
 
 A distribuição do QI médio é: 
 A) exatamente normal, média 112, desvio padrão 20. 
 B) aproximadamente normal, média 112, desvio padrão 20. 
 C) aproximadamente normal, média 112, desvio padrão 1,414. 
 D) aproximadamente normal, média 112, desvio padrão 0,1. 
C) aproximadamente normal, média 112, desvio padrão 1,414. 
 
Distribuição populacional: N ( = 112;  = 20) 
Distribuição amostral para n = 200 é N ( = 112;  /√n = 1,414) 
Aplique seu conhecimento 
 João faz uma medição em um laboratório de química e 
registra o resultado em seu relatório. O desvio padrão das 
medições de laboratório dos alunos é  =10 miligramas. 
João repete a medição 3 vezes e registra a média de 
suas 3 medições. 
 
a) Qual o desvio padrão do resultado médio de João? (ou seja, 
se João continuasse fazendo 3 medições e tirando suas 
médias, qual seria o desvio padrão de todas as suas ? 
 
b) Quantas vezes João precisa repetir a medição para reduzir 
a 5 o desvio padrão de ? 
x
x
x
 
 Nem todas as variáveis têm distribuição Normal. 
 Renda é tipicamente assimétrica a direita por exemplo. 
 Nesses casos então, a ainda é um bom estimador da ? 

x 
O teorema central do limite 
Teorema central do limite: extraia um amostra aleatória simples 
de tamanho n de qualquer população com média  e desvio 
padrão , quando n é grande o suficiente, a distribuição amostral 
da média amostral é aproximadamente Normal: N(,/√n). 
 
População 
com 
distribuição 
fortemente 
assimétrica 
Distribuição 
amostral de 
para n =2 
observações 
Distribuição 
amostral de 
para n =10 
observações 

x 

x 

x 
x
Distribuição 
amostral de 
para n =30 
observações 
Distribuição da renda 
Vamos considerar o grande banco de dados de rendimentos individuais do Bureau 
of Labor Statistics como a nossa população. A distribuição de renda é fortemente 
assimétrica para direita. 
 Selecionamos 1000 amostras aleatórias simples de n=100 rendimentos, 
calculamos a média de cada amostra, e fazemos um histograma dessas 
1000 médias. 
 Nós também selecionamos1000 amostras aleatórias simples de n=30, 
calculamos a média para cada amostra e fazemos um histograma dessas 
1000 médias. 
Qual histograma 
corresponde a 
amostras de 
tamanho 100? 30? 
Qual tamanho deve ter a amostra? 
Depende da distribuição da população. Tamanhos de amostras 
maiores são necessários se a população se distancia muito da 
normal. 
 
 Uma amostra de tamanho de 30 é geralmente suficiente para 
obter uma distribuição amostral aproximadamente Normal. 
 Uma amostra de tamanho 40 é geralmente boa o suficiente para 
superar assimetria extrema e pontos discrepantes (outliers); 
Em muitos casos, n = 30 não é uma grande 
amostra. Mesmo assim para as distribuições de 
populações estranhas, podemos supor como 
Normal uma distribuição amostral da média e 
trabalhar com isto para resolver problemas. 
Distribuição amostral 
Tamanhos de cerejas (em cm3) 
– amostra de 28 cerejas; 
 
 
 
 
 Descreva o histograma. 
O que você assume para a 
 distribuição populacional? 
 
 Qual seria o formato da distribuição amostral da média: 
 Para amostras de tamanho 5? 
 Para amostras de tamanho 15? 
 Para amostras de tamanho 50? 
0
2
4
6
8
10
12
14
1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 More
Acorn sizes
Fr
eq
ue
nc
y
Aplique seu conhecimento 
 Pontuação em concurso. A pontuação em um concurso público em 
2010 apresentaram média =21 e desvio padrão =4,7. A 
distribuição da pontuação é apenas aproximadamente Normal. 
 
A) Qual a probabilidade aproximada de que um único candidato 
escolhido ao acaso, entre todos os que fizeram o teste, obtenha 
pontuação de 23 ou superior? 
B) Extraia, em seguida, uma amostra aleatória simples de 50 
candidatos que fizeram o concurso. Quais são a média e o desvio 
padrão da pontuação média amostral desses 50 candidatos? 
Qual é a probabilidade aproximada de que a pontuação média 
desses alunos seja 23 ou superior? 
C) Qual de seus dois cálculos de probabilidade Normal em (a) ou (b) 
é mais preciso? Por quê? 

x 
Exercício 
 Suponha que o rendimento de milho, em kg/ha, no 
oeste catarinense, é uma variável normalmente 
distribuída, com média de 7069 kg/ha e desvio 
padrão de 593,15 kg/ha. 
a) Que valores espera-se encontrar para a média e o 
desvio padrão da distribuição amostral das 
médias, na hipótese de se utilizarem amostras de 
tamanho n =36? 
b) Qual é a probabilidade da média de uma amostra 
desse tamanho se encontrar entre 6809 e 7395 
kg/ha. 
Referências 
 ANDRADE, D. F.; OGLIARI, P J. Estatística para 
ciências agrárias e biológicas: com noções de 
experimentação. 2. Ed. Ver. e ampl. Florianópolis: 
ed. Da UFSC, 2010. 470p. 
 
 MOORE, D. A estatística e sua prática. Rio de 
Janeiro: LTC, 2005. 
 
 TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 10. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.