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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – UNESP – IBILCE
1a Lista de Exerc´ıcios – Pr. Dr. Jaime Rezende de Moraes
Ca´lculo II – 2014
1. Esboce a curva usando as equac¸o˜es parame´tricas para marcar os pontos. Indique com uma seta
a direc¸a˜o na qual a curva e´ trac¸ada quanto t aumenta. Elimine o paraˆmetro para encontrar uma
equac¸a˜o cartesiana da curva.
a) x = 3− 4t, y = 2− 3t.
b) x = 1− 2t, y = 1
2
t− 1, −2 ≤ t ≤ 4.
c) x = 1− t2, y = t− 2, −2 ≤ t ≤ 4.
d) x =
√
t, y = 1− t.
2. Elimine o paraˆmetro para encontrar uma equac¸a˜o cartesiana da curva. Esboce a curva e indique
com uma seta a direc¸a˜o na qual a curva e´ trac¸ada quando o paraˆmetro aumenta.
a) x = sin θ
2
, y = cos θ
2
, −pi ≤ θ ≤ pi.
b) x = et − 1, y = e2t.
c) x = e2t, y = t+ 1.
d) x = cos2 t, y = 1− sin2 t, 0 ≤ t ≤ pi/2.
3. Encontre uma equac¸a˜o da tangente a` curva no ponto correspondente ao valor do paraˆmetro dado.
a) x = t4 + 1, y = t3 + t, t = −1.
b) x = t sin t, y = t cos t, t = pi/2.
4. Em cada caso diga para quais valores de t a curva e´ coˆncava para cima (sugesta˜o: encontre d2y/dx2).
a) x = t2 + 1, y = t2 + t.
b) x = 2 sin t, y = 3 cos t, 0 < t < 2pi.
c) x = et, y = te−t.
5. Encontre os pontos na curva onde a tangente e´ horizontal ou vertical.
a) x = t3 − 3t, y = t2 − 3.
b) x = cos θ, y = cos 3θ.
6. Mostre que a curva x = cos t, y = sin t cos t tem duas tangentes em (0, 0) e encontre suas equac¸o˜es.
Esboce a curva.
7. Use as equac¸o˜es parame´tricas de uma elipse, x = a cos θ, y = b sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi, para calcular a
a´rea delimitada por essas curvas.
1
8. Calcule o comprimento da curva.
a) x = 1 + 3t2, y = 4 + 2t3, 0 ≤ t ≤ 1.
b) x = 3 cos t− cos 3t, y = 3 sin t− sin 3t, 0 ≤ t ≤ pi.
9. Encontre a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva dada em torno do eixo x.
a) x = t3, y = t2, 0 ≤ t ≤ 1.
b) x = a cos3 θ, y = a sin3 θ, 0 ≤ θ ≤ pi/2.
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