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DisciplinaEstruturas Algébricas369 materiais2.457 seguidores
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Disciplina 
Estruturas AlgébricasEstruturas AlgébricasEstruturas AlgébricasEstruturas Algébricas 
 
 
Coordenador da Disciplina 
Prof. José Valter Lopes NunesProf. José Valter Lopes NunesProf. José Valter Lopes NunesProf. José Valter Lopes Nunes 
 
 
1ª Edição
 
Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, 
transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autores. 
 
Créditos desta disciplina 
 
Coordenação 
Coordenador UAB 
Prof. Mauro Pequeno 
Coordenador Adjunto UAB 
Prof. Henrique Pequeno 
Coordenador do Curso 
Prof. Marcos Ferreira de Melo 
Coordenador de Tutoria 
Prof. Celso Antônio Silva Barbosa 
Coordenador da Disciplina 
Prof. José Valter Lopes Nunes 
 
Conteúdo 
Autor da Disciplina 
Prof. José Othon Dantas Lopes 
 
Setor TecnologiasDigitais - STD 
Coordenador do Setor 
Prof. Henrique Sergio Lima Pequeno 
 
Centro de Produção I - (Material Didático) 
Gerente: Nídia Maria Barone 
Subgerente: Paulo André Lima / José André Loureiro 
Transição Didática 
 Dayse Martins Pereira 
 Elen Cristina S. Bezerra 
 Enoe Cristina Amorim 
 Fátima Silva e Souza 
 Hellen Paula Pereira 
 José Adriano de Oliveira 
 Karla Colares 
Viviane Sá de lima 
 
Formatação 
Camilo Cavalcante 
Elilia Rocha 
Emerson Mendes Oliveira 
Francisco Ribeiro 
Givanildo Pereira 
Sued de Deus 
 
Programação 
Andrei Bosco 
Damis Iuri Garcia 
 
Publicação 
João Ciro Saraiva 
Design, Impressão e 3D 
André Lima Vieira 
Eduardo Ferreira 
Iranilson Pereira 
Luiz Fernando Soares 
Marllon Lima 
 
 
 
Gerentes 
Audiovisual: Andréa Pinheiro 
Desenvolvimento: Wellington Wagner Sarmento 
Suporte: Paulo de Tarso Cavalcante 
 
 
 
 
 
 
SumárioSumárioSumárioSumário 
 
Aula 01: Relações de equivalência e Operações Binárias ...................................................................... 01 
 Tópico 01: Relações de equivalência ..................................................................................................... 01 
 Tópico 02: Operações Binárias .............................................................................................................. 04 
 
Aula 02: Os Inteiros .................................................................................................................................. 06 
 Tópico 01: Indução e o Algoritmo da Divisão ....................................................................................... 06 
 Tópico 02: A Aritmética dos Inteiros: Divisibilidade, Números Primos e o Teorema da Aritmética ... 10 
 
Aula 03: Grupos ........................................................................................................................................ 14 
 Tópico 01: Teoria Básica dos Grupos .................................................................................................... 14 
 Tópico 02: Subgrupos, Grupos Cíclicos e Grupos Quociente ............................................................... 19 
 Tópico 02: Homomorfismo de Grupos .................................................................................................. 25 
 
Aula 04: Anéis ........................................................................................................................................... 28 
 Tópico 01: Anéis .................................................................................................................................... 28 
 Tópico 02: Subanéis, Ideais e Anel quociente ....................................................................................... 31 
 Tópico 02: Homorfismo de Anéis, Domínio de Integridade Domínio de Fatoração Única .................. 35 
 
Aula 05: Corpos ......................................................................................................................................... 40 
 Tópico 01: Teoria Básica dos corpos. Subcorpos .................................................................................. 40 
 Tópico 02: Corpo de Frações e Homomorfismo de Corpo .................................................................... 42 
 
Aula 06: Polinômio .................................................................................................................................... 45 
 Tópico 01: Polinômios sobre um anel. Polinômios sobre um corpo. Algorítmo da Divisão ................. 45 
 Tópico 02: MDC, Fatoração e Critérios de irredutibilidade .................................................................. 47 
 
 
 
 
TÓPICO 01: RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
MULTIMÍDIA
Ligue o som do seu computador!
Obs.: Alguns recursos de multimídia utilizados em nossas aulas, 
como vídeos legendados e animações, requerem a instalação da versão 
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PALAVRAS DO COORDENADOR DA DISCIPLINA
VERSÃO TEXTUAL
Olá! Seja vindo a disciplina Álgebra Abstrata. Meu nome é José 
Valter, sou professor do departamento de Matemática da Universidade 
Federal do Ceará e responsável por esta disciplina. Nosso objetivo aqui 
é desenvolver o raciocínio e a habilidade no trato com certas questões 
fundamentais em matemática a partir do estudo das estruturas 
algébricas. Começaremos com relação de equivalência em seguida 
mostraremos como as operações usuais nos conjuntos dos números 
inteiros nos dão uma estrutura. Estudaremos grupos, anéis, corpos e 
finalmente veremos o anel dos polinômios. 
Você que já tem a experiência dos semestres anteriores sabe que 
para garantir o sucesso é importante o estudo diário com a tentativa de 
resolver os exercícios propostos no texto. È fundamental que você leve 
suas duvidas ao fórum, lá você encontrará os seus colegas e o 
professor-tutor para discutir e ajuda-lo a esclarecer dúvidas. Quero 
chamar atenção sobre sua participação no fórum e a entrega das 
tarefas, no portfólio. Além de serem parte na avaliação elas também 
contam presença. 
Finalmente que ressaltar que nossos tutores e eu estaremos 
sempre ao seu dispor para lhe ajudar a alcançar o seu objetivo. Bom 
trabalho! 
Considere dois conjuntos não vazios A e B. Uma relação de A em B é 
uma correspondência qualquer entre elementos de A e elementos de B. 
Como a correspondência é qualquer pode ocorrer que um elemento de A não 
se relacione com nenhum elemento de B. Pode ocorrer também que um 
elemento de A se relacione com um ou mais elementos de B. Se uma relação 
de A em B for representada pela letra R representamos o fato de um 
elemento a A estar relacionado com um elemento b A por aRb ou 
simplesmente por (a,b) R. Esta última notação sugere uma identificação da 
relação R com um subconjunto não vazio do produto cartesiano AxB. Muitos 
autores preferem definir uma relação de A em B como sendo um 
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 01: RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E OPERAÇÕES BINÁRIAS
1
subconjunto não vazio do produto cartesiano AxB. Uma relação de A em A é 
chamada simplesmente de relação em A. Muitas vezes, ao invés de letras, 
usamos símbolos, como por exemplo \u201c~\u201d, para representar uma relação.
Estudaremos um tipo de relação especial em um conjunto não vazio A 
chamada de relação de equivalência em A.
Definição
Dado um conjunto não vazio A e uma relação R em A, dizemos que R é 
uma relação de equivalência se satisfaz às seguintes propriedades:
1) xRx, x A
2) xRy yRx 
3) xRy e yRz xRz
A propriedade (1) é chamada de propriedade reflexiva.
A propriedade (2) é chamada de propriedade simétrica.
A