Curso completo de resistencia dos materiais em 18 páginas - desde reações de apoio até torção

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Introdução e Conceitos Básicos 
 
1. Mecânica 
 
Mecânica dos corpos rígidos: 
È subdividida em Estática, Cinemática e Dinâmica. 
A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em 
equilíbrio, independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, 
os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente, os 
resultados obtidos independem das propriedades do material. 
A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem: 
• Movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em 
tempos iguais para quaisquer trechos de trajetória; 
• Movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia 
de valores iguais em tempos iguais. Se houver crescimento da 
velocidade, o movimento será uniformemente acelerado; se houver 
decréscimo, o movimento será uniformemente retardado; 
• Movimentos de rotação. 
A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz 
(força). 
Mecânica dos corpos deformáveis: 
As estruturas e as máquinas nunca são absolutamente rígidas, 
deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. Estas 
deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as 
condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada. 
No entanto, essas deformações terão importância quando houver 
riscos de ruptura do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada 
pela Resistência dos Materiais, Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos 
Sólidos, como também são conhecidas. 
O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da 
resistência mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais. 
Mecânica dos fluídos: 
A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos 
incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante 
subdivisão do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica. 
 
2. Sistema Internacional de Unidades (SI) 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades 
básicas e unidades derivadas. 
As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As 
unidades derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc. 
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que 
imprime a aceleração de 1 m/s² à massa de 1 kg(F=m × a). O peso de um 
corpo também é uma força e é calculado por P=m × g, onde g é a aceleração 
da gravidade (g=9,81m/s²). 
A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a 
pressão exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre 
uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à direção da 
força Pa = N/m². 
 
3. Múltiplos e Submúltiplos 
 
 
4. Trigonometria 
Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais 
da trigonometria. 
Triângulo retângulo 
No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 
90º. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela 
relação: a²=b²+c². 
Relações Trigonométricas: 
 
Razões Trigonométricas Especiais: 
 
Exemplo 1: 
Calcule o valo de c e b da figura abaixo. 
 
 
Triangulo Qualquer 
 
 
ESTÁTICA 
 
1. Forças 
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada 
pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A direção de 
uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a 
força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo. O 
sentido da força é indicado por uma seta (vetor). 
 
2. Equilíbrio de Forças 
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto 
material é nula, este ponto está em equilíbrio. 
Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto 
material, escreve-se: 
 
Onde: 
F = Força 
R = Resultante 
A representação gráfica de todas as forças que 
atuam em um ponto material pode ser representada por um 
diagrama de corpo livre. 
Exemplo 1: 
verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio. 
 
 
3. Resultante de uma força 
Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre 
um ponto material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o 
mesmo efeito sobre esse ponto material. Essa força é chamada de resultante 
de P e Q. Portanto, a resultante de um grupo de forças é a força que, atuando 
sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo grupo ou sistema de forças. 
 
Exemplo 1: 
Determinar a Resultante das duas forças P e Q agem sobre o parafuso 
A. 
 
Exemplo 2: 
Verifique se o ponto A está em equilíbrio. 
 
Exemplo 3: 
Determine a força em cada um dos cabos. 
 
 
4. Momento de uma força 
Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um 
corpo rígido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e 
da distância de F em ao eixo fixo. 
Para o nosso curso, convencionaremos positivo, o momento que 
obedecer ao sentido horário. 
 
Onde: 
M0= momento da força F em relação a um ponto. 
F = Força que gera o momento. 
d= distância perpendicular à linha de ação de F, também chamada de 
braço de alavanca 
 
 
5. Momento de um sistema de forças 
Chama-se Momento de um sistema de forças em relação ao ponto, à 
soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao mesmo ponto. 
 
Exemplo 1: 
Uma força de 450 N é aplicada no ponto A como ilustrado na figura. 
Determinar: 
a) o momento da força em relação a D;(M=88.8 Nm) 
b) a menor força aplicada em B que ocasiona o 
mesmo momento em relação a D; 
 
Exemplo 2: 
Determinar a intensidade da força F para que atue no parafuso o torque 
(momento) de 40 N.m. 
 
 
6. Equilíbrio de corpos rígidos 
Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças e momentos 
externos que atuam sobre ele formam um sistema de forças e momentos 
equivalente a zero. 
 
Exemplo 1: 
A figura abaixo representa uma junta rebitada, composta por dois rebites 
de mesmo diâmetro. Determinar as forças horizontais e verticais atuantes nos 
rebites. 
 
Exemplo 2: 
Um grifo é utilizado para rosquear um tubo de φ 20 mm a uma luva, 
como mostra a figura. Determinar a intensidade da força F exercida pelo grifo 
no tubo, quando a força aplicada no aperto for 40 N. 
 
 
Tensões e Deformações 
 
1. Conceitos 
Considere-se uma barra carregada nas extremidades por forças axiais 
F, que produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Sob ação dessas 
forças originam-se esforços internos no interior da barra. Considere-se um 
corte imaginário na seção m-m, normal a seu eixo. Removendo-se, por 
exemplo, a parte direita do corpo, os esforços internos na seção considerada 
(m-m) transformam-se em esforços externos. 
 
Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser 
equivalentes à resultante, também axial, de intensidade F. 
Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente 
sobre toda a seção transversal, recebem o nome de tensão normal. 
 
O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é 
designado pela letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de 
comprimento, denominado deformação específica, representado pela letra 
grega ε (8psilon), é dado pela seguinte equação: 
 
 
2. Diagrama Tensão-Deformação 
As relações entre tensões e deformações para um determinado material 
são encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos 
os alongamentos δ, correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se 
aplicarem à barra, até a ruptura do corpo-de-prova. 
Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às 
deformações. 0 ponto A é chamado limite de elasticidade, pois, ele geralmente 
marca o fim da região elástica. Daí em diante inicia-se uma curva, começao 
chamado escoamento. 
O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável da 
deformação com pequeno aumento da força de tração. No ponto B inicia-se a 
região plástica. 
 
 
 
3. Tensão Admissível 
Para certificar-se de que a estrutura projetada não corra risco de ruína, 
normalmente emprega-se um coeficiente de segurança (γ). O coeficiente de 
segurança é a relação entre uma tensão calculada (σcalc) e uma tensão 
admissível (σadm). 
 
 
4. Lei de Hooke 
Como visto no Diagrama Tensão-Deformação, quando um corpo é 
carregado o material tende a se deformar e quando é descarregado, a 
deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou 
completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à 
forma original é denominada elasticidade. 
A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por 
Robert HOOKE em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE, definida como: 
 
A lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. Alguns 
valores de E são mostrados na Tabela abaixo. 
 
Solicitações 
 
1. Tipos de Solicitações 
Se analisarmos com atenção a natureza das várias solicitações a que os 
corpos podem ser submetidos, verificamos que os mesmos podem reduzir-se 
basicamente em apenas cinco categorias: 
• Tração; 
• Compressão; 
• Flexão; 
• Cisalhamento (corte); 
• Torção. 
Essas solicitações podem ser divididas em duas classes: 
� Solicitações que tendem a provocar o afastamento e a aproximação 
das partes constituintes dos corpos. 
o Tração; 
o Compressão; 
o Flexão. 
� Solicitações que tendem a provocar o deslizamento das pastes 
constituintes dos corpos, 
o Cisalhamento; 
o Torção. 
 
2. Tração e Compressão 
Podemos afirmar que uma peça está submetida a esforço de tração ou 
compressão, quando uma carga normal F atuar sobre a área da secção 
transversal da peça, na direção do eixo longitudinal. Quando a carga atuar com 
o sentido dirigido para o exterior da peça (“puxada”), a peça estará tracionada. 
Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior da peça, a barra 
estará comprimida (“empurrada”). 
 
A tensão de tração ou compressão é dada por: 
 
Exemplo 1: 
A barra circular representada na figura é de aço, possui d = 20 mm e 
comprimento L = 0,8 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 
10 kN.Pede-se que determine para a barra: 
a) Tensão normal atuante.( ) 
b) O alongamento.( ) 
c) A deformação longitudinal. 
d) A deformação específica. 
Exemplo 2: 
A figura dada representa duas barras de aço soldadas na secção BB. A 
carga de compressão que atua na peça é 4,5 kN. A secção 1 da peça possui 
d1 = 15mm e comprimento L1= 0,6 m, sendo que a secção 2 possui d2 = 
25mm e L2 = 0,9m. O Conjunto possui uma massa de 50Kg. Pede-se que 
determine para as secções 1 e 2. (E=210GPa) 
a) A tensão normal. 
b) O alongamento. 
c) A deformação longitudinal. 
e) O alongamento total da peça. 
Exemplo 3: 
A viga da figura está apoiada no ponto A por meio de um pino com 
d=12,5mm de diâmetro e sustentada no ponto B por meio de um cabo de aço 
com d=4mm de diâmetro. Ao se aplicar 
uma carga P no ponto C, o cabo sofre um 
alongamento de 0,2cm. Determinar a carga 
P submetida no ponto C. Desprezar o peso 
próprio da barra. Dado: E=210GPa. 
Exemplo 4: 
Para a mesma visga do exemplo anterior, considere que a mesma está 
submetida a uma carga de 10KN no ponto C. Determine a deformação máxima 
do cabo. Considere que a barra pesa 10Kg. 
 
3. Flexão 
Considere-se a viga simplesmente apoiada, submetidas a duas forças 
concentradas, como ilustra a Figura abaixo. 
 
Essas forças produzem deslocamentos nos diversos pontos do eixo da 
viga dando origem a tensões internas. As fibras inferiores serão alongadas, 
ficando sujeitas a esforços de tração e as fibras superiores serão encurtadas, 
ficando sujeitas a esforços de compressão. Essas deformações originam 
internamente na viga tensões de tração e de compressão. Observa-se que a 
tensão σx é proporcional à distância da Linha Neutra. As tensões variam 
linearmente com a distância do eixo neutro, como é mostrado na Figura abaixo. 
 
Para o calculo da tensão de normal ao longo do corpo do sólido teremos 
que utilizar a seguinte equação: 
 
Onde: 
M = Momento fletor 
I = Momento de Inercia 
y = é a distância da LN até o ponto que se quer calcular a tensão. 
O momento de inércia mede a distribuição da massa de um corpo em 
torno de um eixo de rotação.Quanto maior for o momento de inércia de um 
corpo, mais difícil será fazê-lo girar. Contribui mais para a elevação do 
momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro. 
Do estudo das características geométricas de seções planas, define-se 
Módulo Resistente (W) por: 
 
Então, temos que a tensão normal fica: 
 
Quando a viga tiver seção retangular, com largura b e altura h, o 
Momento de Inércia e o Módulo Resistente, são respectivamente: 
 
Para uma barra circular de diâmetro d, tem-se: 
 
Exemplo 1: 
Para a viga mostra abaixo. Sabendo-se que a tensão admissível do 
material utilizado na viga é σ = 5 KN/cm² e que se trata de um perfil retangular 
com b=5cm (largura), determinar: 
a) A Altura h do perfil. 
b) A tensão Normal nas secções S1 S2 e no ponto C. 
 
Exemplo 2 
Para o mesmo arranjo do exemplo anterior, mas para uma barra circular 
com um diâmetro d, determine: 
a) O diâmetro da barra. 
b) A tensão Normal nas secções S1, Se e no ponto C. 
 
 
4. Cisalhamento 
Um elemento de construção submete-se a esforço de cisalhamento, 
quando sofre a ação de uma força cortante. 
 
 
 Tensão de cisalhamento 
A ação da carga cortante sobre a área da secção transversal da peça 
causa nesta uma tensão de cisalhamento, que é definida através da relação 
entre a intensidade da carga aplicada e a área da secção transversal da peça 
sujeita a cisalhamento. 
 
Para o caso de mais de um elemento estar submetido a cisalhamento, 
utiliza-se o somatório das áreas das secções transversais para o 
dimensionamento. Se os elementos possuem a mesma área de secção 
transversal, basta multiplicar a área de secção transversal pelo número de 
elementos (n). Tem-se então: 
 
 
 
 Pressão de Contato 
No dimensionamento das juntas rebitadas, parafusadas, pinos, 
chavetas, etc., torna-se necessária a verificação da pressão de contato entre o 
elemento e a parede do furo na chapa (nas juntas). 
 
A carga Q atuando na junta, tende a cisalhar a secção AA (ver figura 
acima). Ao mesmo tempo, cria um esforço de compressão entre o elemento 
(parafuso ou rebite) e a parede do furo (região AB ou AC). A pressão de 
contato, que pode acarretar esmagamento do elemento e da parede do furo, é 
definida através da relação entre a carga de compressão atuante e a área da 
secção longitudinal do elemento, que é projetada na parede do furo. 
Tem-se então que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão Admissível e Pressão Média de Contato ABNT NB14 
Aço ABNT 1020 
 
REBITE 
 
PARAFUSO 
 
PINOS 
 
 Exemplo 1 
 
Exemplo 2: 
A Figura abaixo representa uma junta rebitada, composta por dois 
rebites de mesmo diâmetro. Determinar as forças horizontais e verticais 
atuantes nos rebites. Calculo a tensão em cada rebite e sabendo que são de 
aço 1020, diga se vai ocorrer a falha ou não. 
 
 
 
5. Torção 
Uma peça submete-se a esforço de torção, quando atua um torque em 
uma das suas extremidades e um contratorque na extremidade oposta. 
O torque atuante na peça representada na figura é definido através do 
produto entre a intensidade da carga aplicada e a distância entre o ponto de 
aplicação da carga e o centro da secção transversal 
O torque atuante na peça provoca na secção transversal desta,o 
deslocamento do ponto A da periferia para uma posição A'. 
 
 Tensão de Torção 
A tensão de cisalhamento atuante na secção transversal da peça é 
definida através da expressão: 
 
Pela definição de módulo de resistência polar, sabe-se que: 
 
Então temos que a tensão de torção fica: 
 
Para o eixo maciço, tem-se; 
 
Para dimensionar árvores vazadas, utiliza-se: 
 
Exercício 1 
Calcular a tensão máxima aplicada à eixo do esquema abaixo, sabendo-
se que o sistema está em equilíbrio e o eixo é mássico. 
 
Exercício 2 
Calcule a tensão máxima na árvore do esquema abaixo. O diâmetro 
externo da árvore é de 45 mm e o interno é de 30 mm. O diâmetro do volante é 
de 800 mm. 
 
Exercício 3 
Calcular o diâmetro de uma árvore mássica que trabalhe com segurança 
em um esquema como apresentado abaixo a força atua na periferia do volante 
é de 15KN, o material da árvore deve ter tensão de ruptura ao cisalhamento 
valendo 800 N/mm² e queremos utilizar coeficiente de segurança 4. O diâmetro 
da roda é de 1200 mm.