TEOREMA_DE_ROLLE

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TEOREMA DE ROLLE 
Professor André Gustavo 
 
* O Teorema de Rolle foi publicado pela primeira vez em 1691 pelo matemático francês 
Michel Rolle. 
O Teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua f que satisfaz as hipóteses: 
1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 
2. f é diferenciável no intervalo aberto (a, b). 
3. f (a) = f (b) 
Então existe um número c em (a; b) tal que f’ (c) = 0. 
Para uma idéia mais ilustrativa do que foi dito, vamos apresentar alguns gráficos de funções 
que satisfaçam as três hipóteses. 
 
 
 
 
Demonstração: Inicialmente, vamos separar a demonstração em três casos: 
CASO 1: f (x) = k, uma constante 
Então f’ (x) = 0, assim, o número c pode ser tomado como qualquer número em (a; b). 
CASO 2: f (x) > f(a) para algum x em (a, b) 
Pelo Teorema do Valor Extremo1, f tem um valor máximo em algum ponto de [a, b]. Uma 
vez que f (a) = f (b) ela deve assumir esse valor máximo em um número c no intervalo aberto (a, b). 
Então f tem um máximo local em c e, pela hipótese 2, f é diferenciável em c. Portanto, f’(c) = 0 pelo 
Teorema de Fermat. 
 
 
1 Teorema do Valor Extremo: Se f for contínua em um intervalo [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e 
um valor mínimo absoluto f(d) em algum número c e d em [a, b]. Este Teorema pode ser aplicado no caso 2 devido à 
primeira hipótese do Teorema de Rolle. 
 
 2
CASO 3: f (x) < f(a) para algum x em (a, b) 
Pelo Teorema do Valor Extremo f tem um valor mínimo em algum ponto de 
 [a, b]. Como f (a) = f (b) ela deve assumir esse valor mínimo em um número c no intervalo 
aberto (a, b). Assim, f’(c) = 0 pelo Teorema de Fermat. 
Aplicações: Verifique se o Teorema de Rolle se aplica as funções 
2
4
)(
2
−
−
=
x
xx
xf e 
2
4
)(
2
+
−
=
x
xx
xg . 
Solução: Consideremos
2
4
)(
2
−
−
=
x
xx
xf . Observemos que para x = 0 ou x = 4, f(x) = 0. 
Observemos também que f(x) é descontínua em x = 2, que é um ponto do intervalo 40 ≤≤ x , logo, 
não se pode aplicar o Teorema de Rolle. 
Consideremos agora 
2
4
)(
2
+
−
=
x
xx
xg , nesse caso a função é descontínua em 
x = - 2 que não pertence ao intervalo 40 ≤≤ x . Derivando g(x), temos: 
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
)2(
842
)('
)2(
842
)2(
48442
)2(
)4(1)2).(42(
)2(
)4)'.(2()2)'.(4(
)('
+
−+
=∴
+
−+
=
+
+−−−+
=
=
+
−−+−
=
+
−+−+−
=
x
xx
xg
x
xx
x
xxxxx
x
xxxx
x
xxxxxx
xg
 
Podemos concluir que
2
2
)2(
842
)('
+
−+
=
x
xx
xg está definida em todos os pontos do 
intervalo, exceto x = - 2. Portanto, pode-se aplicar o Teorema de Rolle. 
 
Considerando o Teorema de Rolle como lema preliminar a outro teorema muito famoso da 
matemática, vamos inserir nesse contexto, um grande matemático ítalo-francês chamado Joseph – 
Louis Lagrange, que provou no século XVIII um teorema que ficou conhecido como Teorema do 
Valor Médio de Lagrange. 
O Teorema do Valor Médio possui um conteúdo geométrico muito sugestivo, que merece 
ser analisado antes mesmo de enunciá-lo. 
 Para isso vamos considerar a função f e dois pontos sobre o seu gráfico: 
 
A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)) 
 3
 
 Figura 1 
O declive da secante AB é dado por 
ab
afbf
−
− )()(
. Observemos que a figura sugere que 
entre A e B deve haver algum ponto C = (c, f(c)) sobre o gráfico, onde a reta tangente à curva seja 
paralela a secante AB. Mas então os declives dessas duas retas serão iguais. Como o declive da 
tangente em C é f(c), teremos )('
)()(
cf
ab
afbf
=
−
−
 ou ainda ))((')()( abcfafbf −=− . 
Observemos que o valor c entre a e b, satisfazendo a equação ))((')()( abcfafbf −=− 
pode não ser único. A figura abaixo ilustra uma situação em que há dois pontos C e D entre A e B, 
onde as tangentes são paralelas à secante AB. 
 
 Figura 2 
Portanto, nesse caso há duas abscissas c e d tais que 
))(('))((')()( abdfabcfafbf −=−=− . 
Pode acontecer também, que não haja ponto algum nas condições citadas, como em 
||)( xxf = . Isso mostra que para validade geral da equação ))((')()( abcfafbf −=− , é 
imprescindível que a função f seja derivável no intervalo (a, b). 
No caso particular em que f (a) = f (b), a equação ))((')()( abcfafbf −=− se reduz a 
f’(c) = 0. Esse fato é conhecido como o Teorema de Rolle, que já demonstramos acima. 
 
 
 4
 
Vamos enunciar então o Teorema do Valor Médio de Lagrange. 
Seja f: [a, b] → IR uma função que satisfaz as seguintes condições: 
1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 
2. f é derivável no intervalo aberto (a, b). 
Então, existe um número c em (a, b) tal que 
 
ab
afbf
cf
−
−
=
)()(
)(' 
 
Demonstração do Teorema do Valor Médio: 
A demonstração desse teorema consiste em síntese em duas etapas; 
1o) Definir uma função F(x) no intervalo [a, b] que satisfaça as hipóteses do Teorema de 
Rolle. 
2o) Aplicar a F(x) o Teorema de Rolle. 
Prova 
Vamos considerar a função F(x) igual à diferença entre as ordenadas f(x) da curva e Y da 
reta secante AB, ou seja, F(x) = f(x) – Y, para um mesmo valor x da abscissa. A secante AB• é a reta 
pelo ponto (a, f(a)) com declive
ab
afbf
−
− )()(
; Logo sua equação é dada por 
)(
)()(
)( ax
ab
afbf
afY −
−
−
=− ou )(
)()(
)( ax
ab
afbf
afY −
−
−
+= 
Portanto a Função F(x) = f(x) – Y será dada por: 
)(
)()(
)()()( ax
ab
afbf
afxfxF −
−
−
−−= 
Daí podemos observar facilmente que F(a) = F(b) = 0, além do que F é derivável nos pontos 
internos ao intervalo [a, b]. Logo o Teorema de Rolle é aplicável a essa função: existe um ponto c, 
entre a e b, tal que F’(c) = 0. Mas 
ab
afbf
xfxF
−
−
−=
)()(
)(')(' de sorte que F’(c) = 0 significa 
ab
afbf
cf
−
−
=
)()(
)(' 
Ou ainda ))((')()( abcfafbf −=− . Isso completa a demonstração do Teorema. 
Agora, vamos ver como utilizar o Teorema do Valor Médio para elucidar o seguinte 
problema. 
 
 
 
 
• Observe a Figura 1 
 5
 
Dois corredores iniciaram uma corrida num mesmo instante e terminaram a corrida empatados. 
Prove que em algum instante durante a corrida eles têm a mesma velocidade. 
 
Solução: Consideremos inicialmente que tais corredores gastaram um tempo T para terminar a 
corrida, daí sejam S1 e S2 definidas no intervalo [0, T] 
 
 
 
É bastante razoável, do ponto de vista físico, que tais funções serão deriváveis satisfazendo 
S1(0) = S2(0), (pois os corredores partem da mesma posição inicial) e S1(T) = S2(T) (pois os mesmos 
terminam a corrida empatados). 
Com base em tais informações, consideremos a função F: [0, T] → IR definida por: 
F(t) = S1(T) - S2(T) 
Notemos também que a função F também é derivável, pois é a diferença entre duas funções 
deriváveis, e a mesma satisfaz que F(0) = F(T) = 0. Utilizando o Teorema do Valor Médio de 
Lagrange, observemos então que deve existir um tempo t ∈ (0, t) satisfazendo 
0
0
)0()(
)(' =
−
−
=
T
FTF
tF 
Usando a definição de F temos que S’1(T) – S’2(T) = 0 e lembrando-se que a derivada da 
posição é a velocidade, segue que no tempo t vale 
V1(t) - V2(t) 
Onde V1 e V2 são as respectivas velocidades, concluindo assim nossa demonstração. 
 
 
 
 
 
 
 
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