exercicios sobre produto interno

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Universidade Federal Fluminense 2012.1-Turma M1 - pasta 17
GGM00162-Geometria Analítica I www.professores.u¤.br/dirceuesu/cursos121.html
Professora: Dirce Uesu Pesco dirce.u¤09@gmail.com
5a Lista de Exercícios
1. Determine o produto interno de �!u por �!v de:
(a) �!u = (2; 4) e �!v = (�3; 5) (b) �!u = (�6;�2) e �!v = (4; 0) (c) �!u = (1;�5) e �!v = (5; 1)
2. Dados �!u = (5;�2), �!v = (1; 6); �!w = (0; 1) e k = �4 calcule:
(a) �!u � �!v (b) �!v � �!u (c) �!u � (�!v +�!w ) (d) �!u � �!v +�!u � �!w (e) k(�!u � �!v )
(f) (k�!u ) � �!v (g) �!u � (k�!v ) (h) �!v � �!v (i) k�!v k2 (j) �!vk�!v k
Identi…que as propriedade de produto interno utilizada.
3. Dados �!u =
�
1p
6
;
�2p
6
�
e �!v =
�
2p
2
;
1p
2
�
(a) Determine o produto interno de �!u por �!v
(b) O que pode conclui sobre o ângulo entre os vetores �!u e �!v ?
4. Dados �!u = (3; 4), �!v = (5;�1) e �!w = (7; 1) calcule:
(a) �!u � (7�!v +�!w ) (b)k(�!u � �!v )�!w k (c) k�!u k (�!v � �!w ) (d) (k�!u k�!v ) � �!w
5. Para cada item do exercício (1), encontre o cosseno do ângulo � entre �!u e �!v ;
6. Determine se �!u e �!v fazem um ângulo agudo, um ângulo obtuso ou são ortogonais:
(a) �!u = (6; 3) e �!v = (2;�4) (b)�!u = (0;�1) e �!v = (1; 1) (c) �!u = (�6; 4) e �!v = (3; 6)
7. Determine as coordenadas de um vetor �!v ; de norma 2, e que faz com �!u = (3; 1) um ângulo de 30�:
8. (a) Dado um vetor �!u = (x; y). Mostre que os vetores �!v = (�y; x) e �!w = (y;�x) são ortogonais a �!u e
que k�!u k = k�!v k = k�!w k ;
(b) Faça em uma …gura a representação dos vetores �!u ;�!v e �!w :
(c) Encontre dois vetores unitários que são ortogonais a (�3; 4).
9. Encontre dois vetores ortogonais a �!v = (2;�3):
10. Escreva o vetor �!u = (7;�1) como soma de dois vetores, um dos quais tem direção paralela e outro
ortogonal ao vetor �!v = (1;�1).
11. Determine um vetor �!u de norma 2p3; ortogonal a �!v = (2; 3):
12. Seja �!u e �!v vetores unitários, k�!w k = 4;�!v � �!w = �7 e �!u � �!w = �3. Além disso se � é o ângulo entre os
vetores �!u e �!v ;tal que � = �
6
radianos calcule:
(a) �!u � (�!v +�!w + 3�!u ) (b)(2�!u ��!v ) � (��!w +�!v )
13. Calcule o ângulo entre os vetores �!a +�!b e �!a ��!b :
14. Sugestão: Utilize o geogebra para visualizar as atividades depois de resolvidas.
Bibliogra…a usada:
- Geometria Analítica: Reis/Silva; Ed. LTC, 2a edição, 1996
- Geometria Analítica: Lehmann, Charles; Ed. Globo, 1942.
- Geometria Analítica: Murdoch, David; Ed. LTC, 1969
- Cálculo Diferencial a Várias Variáveis:Uma Introdução à Teoria de Otimização; H. J. Bortolossi, Ed. PUC-Rio,2002.
- Álgebra Linear com Aplicações; H. Anton e C. Rorres; Ed.Bookman, 8a edição, 2001.
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