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ESFORÇOS SOLICITANTES
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
ESFORÇOS SOLICITANTES
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
Esforços solicitantes
Definição:
•Considere uma estrutura sob efeito de 
forças externas aplicadas em vários de seus 
pontos e uma seção S qualquer da mesma.
Trecho I Trecho II
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes
•Supondo que se trata de uma estrutura 
em equilíbrio as forças externas aplicadas 
e as reações são conhecidas.
•Pode-se concluir que as tensões transmitidas 
na seção S, antes do corte, garantem o na seção S, antes do corte, garantem o 
equilíbrio das duas partes.
•Ao cortar a seção as tensões são 
determinadas por sistema de força 
representado por sua resultante R e o 
momento resultante Mr (CG de S).
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes
•Todas as forças da parte analizada é 
deslocada para o CG da seção => 
Resultante das forças R.
•A translação de cada força implica o acréscimo 
de um certo momento para manter equivalente o de um certo momento para manter equivalente o 
sistema de forças => Resultante de momentos Mr.
•Decompõe-se R e Mr em duas componentes:
=>na direção paralela ao eixo da barra passando pelo 
CG de S.
=>na direção normal ao eixo da barra passando pelo 
CG de S.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes
•Da decomposição de R tem-se:
=>Esforço normal (ou axial) N 
=>Esforço cortante V
•Da decomposição de Mr tem-se:
=>Momento torçor Mt
=>Momento fletor M
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes
•O esforço normal N e o Momento torçor Mt 
ficam determinados pela sua intensidade, 
pois sua posição e dada pelo eixo da barra.
•O esforço cortante V e o momento fletor M 
precisam ser decompostos em duas
compomentes para fixar sua posição e 
intensidade.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
=>Esforço cortante Vy e Vz.
Esforços solicitantes
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
=>Momento fletor My e Mz.
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
•No caso plano, não pode haver momento 
torçor Mt , pois todas as cargas ativas e 
reativas estão aplicadas no mesmo plano.
•A esforço cortante V fica também aplicada 
no mesmo plano.
•O momento fletor terá seu vetor 
perpendicular ao plano.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
Convenção de sinais adotada no traçado 
dos diagramas de esforços solicitantes:
=>Esforço normal de tração - positivo
•Esforço Normal ou axial
=>Esforço normal de tração - positivo
N>0
=>Esforço normal de compressão - negativo
N<0
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
•Esforço cortante
=>Quando o esforço cortante 
percorre a seção transversal 
no sentido horário – Positivo.no sentido horário – Positivo.
=>Quando o esforço 
cortante percorre a seção 
transversal no sentido anti -
horário – Negativo.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
•Momento fletor
=>O diagrama de momento fletor não terá 
sinal. Ele será construído em relação ao eixo 
da estrutura, no lado correspondente às da estrutura, no lado correspondente às 
fibras tracionadas.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
•Relações Diferenciais
=>Pode-se obter maior facilidade na 
determinação analítica dos esforços solicitantes 
através do uso das relações diferenciais.através do uso das relações diferenciais.
Exemplo: Imagine uma viga com sistema de 
coordenadas X com origem em A.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
•Toma-se um elemento da viga de 
comprimento dx, cuja carga uniformemente 
distribuída aplicada é p.
=> Sabe-se que a resultante de => Sabe-se que a resultante de 
um carregamento distribuído é 
numericamente igual a sua área.
=> Portanto, como o trecho é pequeno pode-se 
fazer:
R = p . dx
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
•Passando da ordenada x para ordenada x+dx:
=>Os esforços e o momento referentes à x sofrerão 
acréscimo diferenciais dV e dM.
O equilíbrio do elemento é dado por:
ΣMx = 0 => M-(M+dM) + p . dx . dx/2 + (V+dV) . dx = 0 (+ hor.)
M-M-dM + p/2 . dx . dx + V . dx + dV . dx = 0 =>
V=dM/dx 
(desprezando o produto de diferenciais porque são muito pequenos)
ΣFy = 0 => V - (V+dV) - p . dx=0 (+ cima)
p= - dV/dx
Portanto : p=d2M/dx2
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
OBS 1: O fato do esforço cortante ser a 
derivada do momento fletor facilita a 
procura dos valores extremos de M, 
responsáveis pela solicitação máxima da responsáveis pela solicitação máxima da 
viga.
OBS 2: Onde o esforço cortante for nulo 
o momento fletor é máximo.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
Exercício 01
Traçar os diagramas de esforços solicitantes N, V, M.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16
V
H
A
A
VB
2 2
100kN HA = 0
VA = 50 kN
VB = 50 kN
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
Resolução:
H =0A
100
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17
V = 50A V = 50B
Cada nó e cada barra tem que estar em 
equilíbrio...
H =0A 0 0 0 0 0 0
V = 50A V = 50B
100
0 0
50
50 50 50 50 50 50
50
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18
V = 50A V = 50B
•Quando o esforço cortante percorre a seção transversal 
no sentido horário – Positiva.
•O esforço normal é nulo em toda a viga.
V = 50B
100
0 0
50
50 50 50 50 50 50
50+ +
--H =0A 0 0 0 0 0 0
V = 50A
0
N
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19
N
+
-
+50
-50
V
V
HA
V
2 2
100kN
M (meio vão) = VA . 2
Ou
M (meio vão) = VB . 2
M (meio vão) = 50 . 2
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20
VA VB
M (meio vão) = 100 kM . m
M (meio vão) = 50 . 2
•O diagrama de momento fletor não terá sinal. Ele 
será construído em relação ao eixo da estrutura, no 
lado correspondente às fibras tracionadas.
100
M
Cálculo do momento máximo pela derivada:
…o esforço cortante é a derivada do momento fletor… Onde o 
esforço cortante for nulo o momento fletor é máximo
x50Mx ⋅⋅⋅⋅====
0
100Equação da reta
Para 0<x<2
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 21
x
50x150
dx
dMV 11x ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅======== −−−−
50
0
2 2
x
50
Equação da reta
Constante +
+
-
+50
-50
100
V
M
Para 2<x<4
)2x.(100x50Mx −−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====
50x150
dx
dMV 11x −−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−======== −−−−
Equação da reta
Constante -
200x.50200x.100x50Mx ++++−−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====
50
0
2 2
x
100
50
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22
x Mx
2 100
4 0
50x150
dx
V −−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−======== Constante -
+
-
+50
-50
100
V
M
Exercício 02
Traçar os diagramas de esforços solicitantes N, V, M
Resolução: HA
L/2 L/2
p
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23
ΣFx = 0 =>HA = 0 (para direita +)
VA VB
L/2 L/2
ΣMz (A) = 0 =>VB . L – R . L/2 = 0 (anti-hor. +)
V
H
A
A
VB
L/2 L/2
R = p . L
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 24
ΣMz (A) = 0 =>VB . L – R . L/2 = 0 (anti-hor. +)
VA=p . L – (p . L)/2= (p . L)/2
VB . L = p . L . L/2 = (p . L2)/2
VB=(p . L)/2
ΣFy = 0 => VA + VB – R = 0 (para cima +)
VA + (p . L)/2 – p . L=0
H =0A
 p . L
2
 p . L
2
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25
V = p . LA B
2
V = p . L
2
Cada nó e cada barra tem que estar em 
equilíbrio...
H =0A 0 0 0 0 0 0
V = p . L
0 0
0
0 0
0
+ -
V = p . Lp . L
2
 p . L
2
 p . L
2
 p . L
2
 p . L
2
 p . L
2
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26
V = p . LA B
2
V = p . L
2
2 2
+
-
0
N
V
 p . L
2
 p . L
2
+
-
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
V
H
A
A
VB
L/2 L/2
p
x
Para o momento fletor:
•Isola-se uma parte da viga de 0 a x.
•Acha-se a resultante desta parte.
x
V
H
A
A
VB
L/2 L/2
x
R = p . x
Equação do 2º grau - Parábola
2
xRxVM Ax ⋅−⋅=
2
x
xpx
2
LpMx ⋅⋅−⋅
⋅
=
2
xpx
2
LpM
2
x ⋅−⋅
⋅
=
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Esforços solicitantes 
em estruturas planas
Para x = L/2:
2
xpx
2
LpM
2
x ⋅−⋅
⋅
=
8
Lp
8
LpLp2
8
Lp
4
Lp
2
L
2
p
2
L
2
LpM
222222
x
⋅
=
⋅−⋅⋅
=
⋅
−
⋅
=





⋅−⋅
⋅
=
88842222 
M
 p . L2
8
Parábola do 2 grau
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Cálculo do momento máximo pela derivada:
…o esforço cortante é a derivada do momento fletor… 
Onde o esforço cortante for nulo o momento fletor é 
máximo
2
xpx
2
LpM
2
x ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
==== Equação do 2º grau - Parábola
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 29
22
2
x2px1
2
Lp
dx
dMV
12
11x
−−−−
−−−−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
========
0xp
2
Lp
dx
dMV x ====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========
2
L
xxp
2
Lp
=====>=>=>=>⋅⋅⋅⋅====
⋅⋅⋅⋅
8
LpM
2
x
⋅⋅⋅⋅
====Portanto:
Equação da reta
x Mx Vx
0 0
L/2 0
8
Lp 2⋅⋅⋅⋅
2
Lp ⋅⋅⋅⋅
2
xpx
2
LpM
2
x ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
Equação para momento fletor
Equação para a Cortante
xp
2
Lp
dx
dMV x ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 30
L 0
+
- V
M
 p . L
2
 p . L
2
+
-
 p . L2
8
Parábola do 2 grau
2
Lp ⋅⋅⋅⋅
−−−−
Carregamento V M
Concentrado Constante Reta
Resumindo
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 31
Distribuído Reta Parábola
Triangular Parábola Eq. de 3º. grau

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