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ESFORÇOS SOLICITANTES UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS ESFORÇOS SOLICITANTES Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Esforços solicitantes Definição: •Considere uma estrutura sob efeito de forças externas aplicadas em vários de seus pontos e uma seção S qualquer da mesma. Trecho I Trecho II Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes •Supondo que se trata de uma estrutura em equilíbrio as forças externas aplicadas e as reações são conhecidas. •Pode-se concluir que as tensões transmitidas na seção S, antes do corte, garantem o na seção S, antes do corte, garantem o equilíbrio das duas partes. •Ao cortar a seção as tensões são determinadas por sistema de força representado por sua resultante R e o momento resultante Mr (CG de S). Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes •Todas as forças da parte analizada é deslocada para o CG da seção => Resultante das forças R. •A translação de cada força implica o acréscimo de um certo momento para manter equivalente o de um certo momento para manter equivalente o sistema de forças => Resultante de momentos Mr. •Decompõe-se R e Mr em duas componentes: =>na direção paralela ao eixo da barra passando pelo CG de S. =>na direção normal ao eixo da barra passando pelo CG de S. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes •Da decomposição de R tem-se: =>Esforço normal (ou axial) N =>Esforço cortante V •Da decomposição de Mr tem-se: =>Momento torçor Mt =>Momento fletor M Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes •O esforço normal N e o Momento torçor Mt ficam determinados pela sua intensidade, pois sua posição e dada pelo eixo da barra. •O esforço cortante V e o momento fletor M precisam ser decompostos em duas compomentes para fixar sua posição e intensidade. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira =>Esforço cortante Vy e Vz. Esforços solicitantes Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7 =>Momento fletor My e Mz. Esforços solicitantes em estruturas planas •No caso plano, não pode haver momento torçor Mt , pois todas as cargas ativas e reativas estão aplicadas no mesmo plano. •A esforço cortante V fica também aplicada no mesmo plano. •O momento fletor terá seu vetor perpendicular ao plano. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes em estruturas planas Convenção de sinais adotada no traçado dos diagramas de esforços solicitantes: =>Esforço normal de tração - positivo •Esforço Normal ou axial =>Esforço normal de tração - positivo N>0 =>Esforço normal de compressão - negativo N<0 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes em estruturas planas •Esforço cortante =>Quando o esforço cortante percorre a seção transversal no sentido horário – Positivo.no sentido horário – Positivo. =>Quando o esforço cortante percorre a seção transversal no sentido anti - horário – Negativo. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes em estruturas planas •Momento fletor =>O diagrama de momento fletor não terá sinal. Ele será construído em relação ao eixo da estrutura, no lado correspondente às da estrutura, no lado correspondente às fibras tracionadas. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes em estruturas planas •Relações Diferenciais =>Pode-se obter maior facilidade na determinação analítica dos esforços solicitantes através do uso das relações diferenciais.através do uso das relações diferenciais. Exemplo: Imagine uma viga com sistema de coordenadas X com origem em A. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes em estruturas planas •Toma-se um elemento da viga de comprimento dx, cuja carga uniformemente distribuída aplicada é p. => Sabe-se que a resultante de => Sabe-se que a resultante de um carregamento distribuído é numericamente igual a sua área. => Portanto, como o trecho é pequeno pode-se fazer: R = p . dx Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes em estruturas planas •Passando da ordenada x para ordenada x+dx: =>Os esforços e o momento referentes à x sofrerão acréscimo diferenciais dV e dM. O equilíbrio do elemento é dado por: ΣMx = 0 => M-(M+dM) + p . dx . dx/2 + (V+dV) . dx = 0 (+ hor.) M-M-dM + p/2 . dx . dx + V . dx + dV . dx = 0 => V=dM/dx (desprezando o produto de diferenciais porque são muito pequenos) ΣFy = 0 => V - (V+dV) - p . dx=0 (+ cima) p= - dV/dx Portanto : p=d2M/dx2 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes em estruturas planas OBS 1: O fato do esforço cortante ser a derivada do momento fletor facilita a procura dos valores extremos de M, responsáveis pela solicitação máxima da responsáveis pela solicitação máxima da viga. OBS 2: Onde o esforço cortante for nulo o momento fletor é máximo. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes em estruturas planas Exercício 01 Traçar os diagramas de esforços solicitantes N, V, M. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16 V H A A VB 2 2 100kN HA = 0 VA = 50 kN VB = 50 kN Esforços solicitantes em estruturas planas Resolução: H =0A 100 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17 V = 50A V = 50B Cada nó e cada barra tem que estar em equilíbrio... H =0A 0 0 0 0 0 0 V = 50A V = 50B 100 0 0 50 50 50 50 50 50 50 50 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18 V = 50A V = 50B •Quando o esforço cortante percorre a seção transversal no sentido horário – Positiva. •O esforço normal é nulo em toda a viga. V = 50B 100 0 0 50 50 50 50 50 50 50 50+ + --H =0A 0 0 0 0 0 0 V = 50A 0 N Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19 N + - +50 -50 V V HA V 2 2 100kN M (meio vão) = VA . 2 Ou M (meio vão) = VB . 2 M (meio vão) = 50 . 2 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20 VA VB M (meio vão) = 100 kM . m M (meio vão) = 50 . 2 •O diagrama de momento fletor não terá sinal. Ele será construído em relação ao eixo da estrutura, no lado correspondente às fibras tracionadas. 100 M Cálculo do momento máximo pela derivada: …o esforço cortante é a derivada do momento fletor… Onde o esforço cortante for nulo o momento fletor é máximo x50Mx ⋅⋅⋅⋅==== 0 100Equação da reta Para 0<x<2 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 21 x 50x150 dx dMV 11x ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅======== −−−− 50 0 2 2 x 50 Equação da reta Constante + + - +50 -50 100 V M Para 2<x<4 )2x.(100x50Mx −−−−−−−−⋅⋅⋅⋅==== 50x150 dx dMV 11x −−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−======== −−−− Equação da reta Constante - 200x.50200x.100x50Mx ++++−−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅==== 50 0 2 2 x 100 50 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22 x Mx 2 100 4 0 50x150 dx V −−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−======== Constante - + - +50 -50 100 V M Exercício 02 Traçar os diagramas de esforços solicitantes N, V, M Resolução: HA L/2 L/2 p Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23 ΣFx = 0 =>HA = 0 (para direita +) VA VB L/2 L/2 ΣMz (A) = 0 =>VB . L – R . L/2 = 0 (anti-hor. +) V H A A VB L/2 L/2 R = p . L Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 24 ΣMz (A) = 0 =>VB . L – R . L/2 = 0 (anti-hor. +) VA=p . L – (p . L)/2= (p . L)/2 VB . L = p . L . L/2 = (p . L2)/2 VB=(p . L)/2 ΣFy = 0 => VA + VB – R = 0 (para cima +) VA + (p . L)/2 – p . L=0 H =0A p . L 2 p . L 2 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25 V = p . LA B 2 V = p . L 2 Cada nó e cada barra tem que estar em equilíbrio... H =0A 0 0 0 0 0 0 V = p . L 0 0 0 0 0 0 + - V = p . Lp . L 2 p . L 2 p . L 2 p . L 2 p . L 2 p . L 2 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26 V = p . LA B 2 V = p . L 2 2 2 + - 0 N V p . L 2 p . L 2 + - Esforços solicitantes em estruturas planas V H A A VB L/2 L/2 p x Para o momento fletor: •Isola-se uma parte da viga de 0 a x. •Acha-se a resultante desta parte. x V H A A VB L/2 L/2 x R = p . x Equação do 2º grau - Parábola 2 xRxVM Ax ⋅−⋅= 2 x xpx 2 LpMx ⋅⋅−⋅ ⋅ = 2 xpx 2 LpM 2 x ⋅−⋅ ⋅ = Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Esforços solicitantes em estruturas planas Para x = L/2: 2 xpx 2 LpM 2 x ⋅−⋅ ⋅ = 8 Lp 8 LpLp2 8 Lp 4 Lp 2 L 2 p 2 L 2 LpM 222222 x ⋅ = ⋅−⋅⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅−⋅ ⋅ = 88842222 M p . L2 8 Parábola do 2 grau Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira Cálculo do momento máximo pela derivada: …o esforço cortante é a derivada do momento fletor… Onde o esforço cortante for nulo o momento fletor é máximo 2 xpx 2 LpM 2 x ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== Equação do 2º grau - Parábola Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 29 22 2 x2px1 2 Lp dx dMV 12 11x −−−− −−−− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ======== 0xp 2 Lp dx dMV x ====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅======== 2 L xxp 2 Lp =====>=>=>=>⋅⋅⋅⋅==== ⋅⋅⋅⋅ 8 LpM 2 x ⋅⋅⋅⋅ ====Portanto: Equação da reta x Mx Vx 0 0 L/2 0 8 Lp 2⋅⋅⋅⋅ 2 Lp ⋅⋅⋅⋅ 2 xpx 2 LpM 2 x ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== Equação para momento fletor Equação para a Cortante xp 2 Lp dx dMV x ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅======== Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 30 L 0 + - V M p . L 2 p . L 2 + - p . L2 8 Parábola do 2 grau 2 Lp ⋅⋅⋅⋅ −−−− Carregamento V M Concentrado Constante Reta Resumindo Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 31 Distribuído Reta Parábola Triangular Parábola Eq. de 3º. grau
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