Treliça3_Resolvido

Prévia do material em texto

Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
 
Campus Swift – Campinas, SP 
Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Teoria das Estruturas 
Profa. Responsável: Dra. Rosilene de Fátima Vieira 
Exercício Treliça - Resolução 
 
Exercício) Determinar as reações de apoio e os esforços de todas as barras das treliças 
isostáticas abaixo. Identifique se os elementos estão sob tração ou compressão. Resolver 
pelo Equilíbrio de Nós. 
 
Respostas: 
a) Grau de hiperestaticidade 
Seja: b = 8 (no. de barra + reações) 
 n =4 (no. de nó) 
b = 2n 
8=8 → Treliça isostática. 
b) Numeram-se os nós, nomeiam os ângulos e representam-se as reações de apoio 
incógnitas (Adota-se um sentido inicial para as reações incógnitas): 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 2 
 
c) Calculam-se as reações de apoio através das equações de equilíbrio: 
• Faz-se o somatório de forças na vertical igual à zero, pois desta forma já se obtém o 
valor de RA (Adota-se o sentido para cima positivo) 
+↑� Fy=0 
RA - 70 = 0 
RA= 70 kN (O sinal positivo indica que o sentido inicialmente adotado está correto). 
 
• Faz-se o somatório de momento em um ponto qualquer igual à zero, o ponto 
escolhido será o ponto A (Adota-se o sentido horário positivo). 
+↻ � MA=0 
70 · 4,8 + HC · 5,6 - 50·5,6 = 0 
HC = - 10 kN (O sinal negativo indica que o sentido inicialmente adotado esta ao contrário). 
 
• Faz-se o somatório de forças na horizontal igual à zero (Adota-se o sentido para 
direita positivo). 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 3 
+ →� Fx=0 
HA + HC - 50 = 0 
HA = 60 kN (O sinal positivo indica que o sentido inicialmente adotado está correto). 
 
Reações de apoio com os sentidos corretos. 
• Define-se os ângulos: 
tan α= cateto oposto
cateto adjacente =
2,4
2,4 =1 ∴ α=45
o
 
Sejam R e S as hipotenusas: 
R = �2,42+ 3,22 = 4 
 
S = �2,42+ 5,62 = �37,12 
 
cos β = Cateto adjacenteHipotenusa_R =
2,4
4 =0,6 → sin β=
Cateto oposto
hipotenusa_R =
3,2
4 =0,8 
 
cos γ = Cateto adjacenteHipotenusa_S =
2,4
�37,12 → sin γ=
Cateto oposto
hipotenusa_S =
5,6
�37,12 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 4 
d) Escolhe-se um nó para começar a fazer o equilíbrio. Esse nó não deve ter mais que 
duas forças incógnitas. Escolhendo o nó D. Faz-se o equilíbrio do Nó D. Colocam-se os 
esforços normais incógnitos tracionando o nó. Pela 3ª. Lei de Newton: princípio da ação e 
reação, tração no nó representa tração na barra, portanto, sinal positivo. Caso o sinal do 
esforço dê valor negativo sabe-se que a barra sofre compressão. Faz se equilíbrio de 
forças na horizontal (x) e na vertical (y) para o nó D. 
 
• NÓ D 
 
+↑� Fy=0 
- NDB· sin α - 70 = 0 
NDB = - 
70
sin 45o
 = - 98,9949493661 kN → Barra Comprimida 
NDB = NBD = - 98,9949493661 kN → Barra Comprimida 
+ →� Fx=0 
- NDC - NDB· cos α - 50 = 0 
NDC = - 50 - ( - 98,9949493661)· cos 45o = +20kN → Barra tracionada 
NDC = NCD= +20kN → Barra tracionada 
 
• NÓ B 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 5 
 
Faz se equilíbrio de forças na horizontal (x) e na vertical (y) para o nó B. 
 
+ →� Fx=0 
NBD· cos α - NBA· cos β = 0 
NBA=
NBD· cos α
cos β = - 116,666666667 kN → Barra comprimida 
NBA=NAB= - 116,666666667 kN → Barra comprimida 
+↑� Fy=0 
NBC + NBD· sin α - NBA· sin β = 0 
NBC = NBA· sin β - NBD· sin α=-23,3333333336 kN → Barra comprimida 
NBC = NCB = - 23,3333333336 kN → Barra comprimida 
 
• NÓ C 
 
Faz se equilíbrio de forças na vertical (y) para o nó C para determinação de NCA. 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 6 
+↑� Fy=0 
- NCB - NCA · sin γ = 0 
 NCA = - 
NCB
sin γ = +25,3859103532 kN → Barra tracionada 
NCA = NAC= +25,3859103532kN → Barra tracionada 
Não é necessário fazer a somatória de forças em x, pois todos os esforços já foram 
determinados. 
 
e) NÓ DE VERIFICAÇÃO - Verificar se o nó A esta em equilíbrio para os esforços 
encontrados anteriormente. 
 
+ →� Fx=0 
60+NAC· cos γ +NAB· cos β =0 
0 = 0 → OK! 
 
+↑� Fy=0 
70+NAC· sin γ +NAB· sin β =0 
0=0 → OK! 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 7 
f) Diagrama de esforços finais: