Aula Muros Estabilidade Externa Novo

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Prof. Dsc. Marcos Antonio da Silva
topicosespeciais.ugb@gmail.com
Seção 0
Seção 1
Ea
Eq
H/3
H
H/2Pa
Pq
Cortante de Cálculo
Cálculos Geotécnicos
Cálculos Geotécnicos
 Generalidades
Nos problemas de fundações, a interação das estruturas com o
solo implica na transmissão de forças predominantemente
verticais.
Contudo, são também inúmeros os casos em que as estruturas
interagem com o solo através de forças horizontais. Neste
último caso, as interações dividem-se em duas categorias.
Cálculos Geotécnicos
 Generalidades
A primeira categoria verifica-se quando determinada estrutura é
construída para suportar um maciço de solo. Neste caso, as forças
que o solo exerce sobre as estruturas são de natureza ativa. O
solo “empurra” a estrutura, que reage, tendendo a afastar-se do
maciço.
Cálculos Geotécnicos
 Generalidades
Na segunda categoria, ao contrário, é a estrutura que é
empurrada contra o solo. A força exercida pela estrutura sobre o
solo é de natureza passiva. Um caso típico deste tipo de
interação solo-estrutura é o de fundações que transmitem ao
maciço, forças de elevada componente horizontal, como é o caso
de pontes em arco.
Cálculos Geotécnicos
 Generalidades
Em determinadas obras, a interação solo-estrutura pode
englobar simultaneamente as duas categorias referidas. É o
caso da Figura abaixo, onde se representa um muro-cais
ancorado.
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra
Entende-se por empuxo de terra a ação produzida por um maciço
de solo sobre as obras com ele em contato.
A determinação do valor do empuxo de terra é fundamental para
a análise e o projeto de obras como muros de arrimo, cortinas de
estacas-prancha, construção de subsolos, maciços de solo
reforçado, encontro de pontes, etc.
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra
• Coeficiente de Empuxo no Repouso
O coeficiente de empuxo lateral no repouso é definido como a
relação entre as tensões efetivas horizontal e vertical, sob
condição de deformações horizontais nulas (Bishop, 1958).
onde: ’h = tensão principal horizontal efetiva;
’v = tensão principal vertical efetiva.
v
h
o
'
'
 k



Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra
• Coeficiente de Empuxo no Repouso – Correlações Empíricas
Jaky (1944):
Simplificando:
Fórmula de Jaky adaptada ao OCR:















'sen1
'sen1
.'sen
3
2
1k o
'sen1ko 
'sen
o )OCR)('sen1(k

Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra
• Círculos de Mohr representativos dos estados limites ativo,
passivo e de repouso (Ensaios Triaxiais)
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra
• Coeficiente de Empuxo ativo
'sen1
'sen1
ka



v'
'
k haa



Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra
• Coeficiente de Empuxo passivo
v'
'
k
hp
p



'sen1
'sen1
kp



Cálculos Geotécnicos
(Ensaios Triaxiais)
 Empuxo de Terra
• Trajetórias de tensões efetivas correspondentes à
mobilização dos estados limites ativo e passivo
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra
ALÍVIO
COMPRESSÃO
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra
• Deformações Associadas aos Estados de Equilíbrio Limite
i) São necessárias deformações
muito pequenas, da ordem de 0,5%,
para atingir o estado limite ativo
ii) Deformações horizontais da
ordem de 0,5% são necessárias
para mobilizar metade da resistência
passiva
iii) São necessárias deformações
da ordem de 2%, para atingir o
estado limite passivo
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra
• Deformações Associadas aos Estados de Equilíbrio Limite
De certa forma, é intuitivo concluir que as deformações
necessárias para mobilizar o estado ativo devem ser menores
do que as necessárias para mobilizar o estado passivo. No
estado ativo, o solo sofre uma solicitação de tração. No
estado passivo, ocorre a compressão do solo. Os solos
possuem resistência à compressão, mas não suportam
esforços de tração. Sendo assim, basta um pequeno alívio de
tensões horizontais para que ocorra a ruptura do solo por
tração.
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• HIPÓTESES:
1) Solo isotrópico – Propriedades iguais em todas as direções
2) Solo homogêneo – Propriedades iguais em todos os pontos do maciço
3) Superfície de ruptura plana
4) Superfície do terreno plana
5) A ruptura ocorre em todos os pontos do maciço simultaneamente
6) A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação
7) Muro perfeitamente liso (atrito solo-muro: d = 0)
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra - Rankine
Considere um maciço não coesivo no estado de repouso e com
superfície horizontal. Imagine que uma parte do maciço seja
eliminada e substituída por uma parede imóvel, indeformável e
sem atrito.
Nestas condições, a tensão atuante sobre a parede será
horizontal, crescerá com a profundidade z e valerá:
’ho = ko .g.z
’ho
z
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra - Rankine
Admitindo-se que a parede AB se afaste do terreno, a pressão
horizontal ’h diminuirá até atingir um valor mínimo:
’ha = ka .g.h com:










2
'
º45tan
'1
'1 2 


sen
sen
ka
Se o deslocamento da parede AB 
prosseguir, deixará de haver continuidade 
das deformações e se produzirá o 
deslizamento do solo ao longo da linha BC. 
O valor do empuxo ativo Ea é igual à área 
do triângulo ABD e pode ser obtido pela 
expressão:
2
k.h
dz.z..kE a
2h
o
aa
g
g 
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra - Rankine
Admitindo-se agora, que a parede se desloque contra o terrapleno.
Para que se produza o deslizamento, o empuxo deverá ser maior
do que o peso do terrapleno. Assim, pode-se supor que a tensão
principal maior seja a horizontal. Neste caso, o coeficiente de
empuxo passivo será dado por:





 




2
'
º45tan
'sen1
'sen1
k 2p
O valor do empuxo passivo Ep é igual a 
área do triângulo ABD e pode ser obtido 
pela expressão:
2
k.h
dz.z..kE
p
2h
o
pp
g
g 
Cálculos Geotécnicos
 Empuxo de Terra - Rankine
Pressões sobre a parede a uma profundidade z
K é o coeficiente de empuxo 
(ativo ou passivo, conforme o 
caso)
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Caso Genérico Ativo: C=0
H
b
E
F
b
bg cos..' zv 
v'
'
k haa


 bg cos...' zkaha 
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Maciços Coesivos:
 Empuxo Ativo
aaa KCHk ..2..  g0c
)zH.(k'c2)zH.(.k
2
1
E oa
2
o
2
aa g
a
o
k
c
z
.
.2
g
2. c'.ka
ka.g .H
Ea
(H - zo)/3
 H
Zo*
* Tensões Negativas desconsideradas – Solo não resiste à tração.
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Tabela Coeficiente de Empuxo ativo (Ka)
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Tabela Coeficiente de Empuxo ativo (Ka)

Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Caso Genérico Passivo: C=0
H
b
E
F
b
bg cos..' zv 
bb
bb
bg
22
22
2
p
coscoscos
coscoscos
.cosh
2
1
E
v'
'
k
hp
p


 bb
bb
22
22
coscoscos
coscoscos


pk
bg cos... zk php 
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Maciços Coesivos:
 Empuxo Passivo
ppp KCHk ..2..  g0c HkcHkE ppp .'2..
2
1 2  g
H/3 
 2.c'.kp 
 kp.g .H 
 Ep2 H/2 
 Ep1 
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Tabela Coeficientede Empuxo passivo (Kp)
Cálculos Geotécnicos

 Empuxos de Terra – Rankine
• Tabela Coeficiente de Empuxo passivo (Kp)
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Exercício: trace a distribuição de tensões e calcule os empuxos
para o muro abaixo, conforme os seguintes casos:
a) Solo: c=0; g=18KN/m³; =30°
b) Solo: c=10KN/m²; g=18KN/m³; =30°
5m
b10
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Aplicação a Casos de Sobrecargas Uniformes: C=0
’(z) = g.z + q
’h(z) = K. ’v(z) = K.g.z + K.q
E1
E2
H/2
2H/3
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Aplicação a Casos de Sobrecargas Uniformes
A sobrecarga também pode ser 
considerada como altura equivalente 
de aterro (ho).
Neste caso, a tensão horizontal a uma 
profundidade z, será dada por:
’h(z) = K. ’v(z) = K.g.z + K. g.ho
g

q
ho
g
h0 geq=g
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Exercício: trace a distribuição de tensões e calcule os empuxos
para o muro abaixo, conforme o seguinte caso:
a) Solo: c=0; g=18KN/m³; =30°; Ka=0,33
b) Carregamento: q=20KN/m²
5m
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Aplicação a Casos de Maciços Estratificados
É interessante notar que, no ponto de contato entre as duas diferentes
camadas de solo, a tensão horizontal vale K1.g.h1 no ponto
imediatamente acima e K2.g1.h1 no ponto imediatamente abaixo,
gerando a descontinuidade.
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Aplicação a Casos de Maciços Estratificados: Exercício
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Aplicação a Casos de Maciços com Nível Freático
O diagrama (1) é referente ao solo acima do nível freático. A tensão horizontal cresce
com a profundidade até a altura do nível d’água. A partir daí, o diagrama permanece
constante, já que o estrato superior pode ser considerado como uma sobrecarga
uniformemente distribuída de valor g (h-hw).
O diagrama (2) refere-se ao solo abaixo do nível freático.
O diagrama (3) é o das pressões hidrostáticas (poropressão).
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Aplicação a Casos de Maciços com Nível Freático
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra – Rankine
• Aplicação a Casos de Maciços com Nível Freático
NA
6,0m
3,0m
1,5m
3,0m
Areia
c’=0
’=38º
g=18kN/m³
Argila
c’=10 kN/m²
’=28º
g=20kN/m³
q = 50 kPa
1
2
3
4
5
6
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra
• Aplicação a Casos de Cargas Concentradas
Os acréscimos de pressões laterais, usando a Teoria da Elasticidade e com testes 
de Spangler e Wickle (1956), são apresentadas a seguir:
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra
• Exercício: Calcule o diagrama de acréscimo de tensões, devido
a sobrecarga concentrada (V), afastada 1,2m do corte. Faça a
variação do n de 0,2 em 0,2 até z=H.
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra
• Aplicação a Casos de Cargas Lineares
Os acréscimos de pressões laterais, usando a Teoria da Elasticidade e com testes 
de Therzagui (1954), são apresentadas a seguir:
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra
• Exercício: Calcule o diagrama de acréscimo de tensões,
devido a sobrecarga linear (q), afastada 2,0m do corte. Faça
a variação do n de 0,2 em 0,2 até z=H.
 Empuxos de Terra
• Aplicação a Casos de Carga Tipo Sapata Corrida
Os acréscimos de pressões laterais, usando a Teoria da Elasticidade e com testes 
de Therzagui (1943), são apresentadas a seguir: cargas do tipo rodovia, ferrovia e 
aterro sobre a superfície do terreno, paralelos ao muro de contenção.
Cálculos Geotécnicos
Cálculos Geotécnicos
 Empuxos de Terra
• Exercício: Calcule o diagrama de acréscimo de tensões,
devido a sobrecarga Tipo Sapata, conforme geometria
abaixo. Faça a variação do n de 0,2 em 0,2 até z=H.
ESTABILIDADE EXTERNA DE 
MUROS DE ARRIMO
(Fatores de Segurança)
Estabilidade de Muros de Arrimo
Estabilidade de Muros de Arrimo
Norma ABNT NBR 11.682 – Estabilidade de Encostas
Norma ABNT NBR 6.122 – Projeto e execução de fundações
Segurança contra o Deslizamento
Ea
Ep
 W
 S
 B
5,1



SOLIC
RES
DESLIZ
F
F
FS
onde: Fres = somatório dos esforços resistentes; 
Fsolic = somatório dos esforços solicitantes; e
FSdesliz = fator de segurança contra o deslizamento. 
O deslizamento pela base é, em grande parte dos 
casos, o fator condicionante para a estabilidade da 
contenção. 
Ea
Ep
 W
 S
 B
Segurança contra o Deslizamento
SOLIC
RES
DESLIZ
F
F
FS



onde: Ep = empuxo passivo; 
Ea = empuxo ativo; e
S = esforço cisalhante na base do muro.
Segurança contra o Deslizamento
O valor de S pode ser calculado por:
a) Materiais de permeabilidade alta
análise a longo prazo: S = B [ c’w + (W/B – u). tan d]
b) Materiais de permeabilidade baixa
análise a curto prazo: S = B.Su
onde: B = largura da base do muro
c’w = adesão solo-muro
W = somatório das forças verticais
u = poropressão
d = m = atrito...neste caso atrito solo-muro.
Valores Típicos de d:
Solo Seco - 0,50 a 0,55
Solo Saturado – 0,30
Ângulo de atrito solo muro (d) = 2/3 
Adesão (C’w) = 2c/3 a 3c/4 
Segurança contra o Deslizamento
C’= 0,5c a 0,67c  adesão Solo muro
d= 0,67tg a tg  atrito Solo muro 
Pc  peso do muro de concreto
Ps  peso do solo em (abcd)
Ea  empuxo ativo
Ep  empuxo passivo
b
Ps
1 0 2
es
Ev
ev
EhPc
ec
H
Ep
Hp
B
B/2 B/2
.
2'..
2
1
HkE aa g
H’
a
b c
d
Solo: , c, g
2
..
2
1
ppp HkE g
Ev=Ea . sen b  empuxo vertical
Eh=Ea . cos b  empuxo horizontal
Segurança contra o Deslizamento
Forças Atuantes: Eh
Forças Resistentes: Fr = (Ps + Pc + Ev) . d + c’ . B + Ep
Considerando que o solo na frente do muro seja
removido (erosão), recomenda-se não contar com a
parcela do Empuxo passivo, então:
Fr = (Ps + Pc + Ev) . d + c’ . B




Coesivos Solos 2,0
Coesivos não Solos 1,5
Atuantes Forças
sResistente Forças
h
r
sd
E
F
F
Medidas para Aumentar a Segurança 
contra o Deslizamento
1. Construção da base do muro
com uma dada inclinação, de
modo a reduzir a grandeza da
projeção do empuxo sobre o
plano de deslizamento.
2. Prolongamento do muro:
“dente”.
Medidas para Aumentar a Segurança 
contra o Deslizamento
Segurança contra o Tombamento
5,1
SOLIC
RES
TOMB
M
M
FS
21 0
Ep
b
Ps
es
Ev
ev
EhPc
ec
H
Hp
B
B/2 B/2
.
2'..
2
1
HkE aa g
H’
a
b c
d
Solo: , c, g
Momentos Atuantes: Ma = M1 = Eh . (H’/3)
Momentos Resistentes:
Mr1=Ps.es+Pc.ec+Ev.ev
Segurança contra o Tombamento




Coesivos Solos 2,0
Coesivos não Solos 1,5
Atuantes Momentos
sResistente Momentos 1
a
r
st
M
M
F
Capacidade de Carga da Fundação
• Consiste na verificação da segurança contra a ruptura e
deformações excessivas do terreno de fundação
• A análise geralmente considera o muro rígido e a distribuição
de tensões linear ao longo da base
• 2 condições de análise:
1. Resultante localizada no núcleo central
2. Resultante localizada fora do núcleo central
Se a resultante das forças atuantes no muro localizar-se no
núcleo central da base do muro, o diagrama de pressões no
solo será aproximadamente trapezoidal. O terreno estará
submetido apenas a tensões de compressão
Capacidade de Carga da Fundação
A posição da resultante é determinada pela divisão da soma
algébrica dos momentos de todas as forças em torno de
qualquer ponto da base pelo valor da componentevertical
Capacidade de Carga da Fundação
V
M
e


•  Fv = 0:
•  Mo = 0:
V
2
b
).( 21 
e.Vb.
6
b
)( 21 
)
b
e.6
1.(
b
V
1 
)
b
e.6
1.(
b
V
2 
1 < qadm
2 > 0
Capacidade de Carga da Fundação
Caso: 2 < 0
'.3
.2
1
e
V

1 < qadm
Capacidade de Carga da Fundação
Segurança contra a Ruptura Global
FSG =  Mro
 MSo
O Método das Fatias baseia-se na hipótese de que uma
massa de solos instável pode ser imaginariamente dividida em
diversas fatias verticais e que as tensões que atuam na base de
cada fatia dependem principalmente do peso próprio da fatia.
Segurança contra a Ruptura Global
 Método das Fatias
Em relação à fatia n, as forças a considerar são: o peso (Pn), a
sobrecarga (Q), as reações normal e tangencial Nn e Tn ao
longo da superfície de ruptura e as componentes normais
(Hn-1 e Hn+1) e verticais (Vn-1 e Vn+1) das reações (Rn-1 e
Rn+1) das fatias vizinhas.
Como o sistema é indeterminado, para resolvê-lo deve-se
fazer algumas hipóteses quanto às grandezas e pontos de
aplicação de H eV.
 Método das Fatias
Segurança contra a Ruptura Global
O método de Fellenius consiste em admitir que as reações Rn-1 e
Rn+1 são iguais, da mesma direção e sentidos opostos. Com isso
despreza-se a ação mútua entre as fatias. De imediato, escrevem-se as
seguintes equações:
 Método das Fatias: Fellenius
Segurança contra a Ruptura Global
A resistência ao cisalhamento ao longo da base da fatia será:
Considerando todo o arco:
 Método das Fatias: Fellenius
Segurança contra a Ruptura Global
Tipos de Muro 
e 
Pré-Dimensionamento
Muros de Arrimo
Estruturas corridas de contenção de parede vertical,
ou quase vertical, apoiadas em uma fundação rasa
ou profunda
Muros de Arrimo por Gravidade
 Construção em Alvenaria de Pedra ou Concreto
Ciclópico
Muros de Arrimo por Gravidade
 Pré-Dimensionamento
 Perfil Retangular - Econômico somente para
pequenas alturas
 Alvenaria de Tijolos: b=0,40h
 Alvenaria de pedras ou Concreto Ciclópico: b=0,30h
b
h
Muros de Arrimo por Gravidade
 Pré-Dimensionamento
 Perfil Trapezoidal
B
bo: 30 cm ou (8% a 15%) H
B: (40% a 70%) H
b0
b0
B
H H
Muros de Arrimo por Gravidade
 Pré-Dimensionamento
 Perfil Trapezoidal
bo: 30 cm ou (8% a 15%) H
B: (40% a 70%) H
D: (12% a 15%) H
T: (50% a 100%) D
D>T
B
b0
H
D
T
(1:10 a 1:15)
D
T
Muros de Arrimo de Flexão
 Pré-Dimensionamento
 Concreto Armado
bo: 20 cm (mín)
b1: (8% a 10%) H
B: (40% a 70%) H
D: 20 cm (mín) ou (8% a 10%) H
P: (10% a 12%) H
E: 30 cm (mín)
B
b0
H
E b1
D
P
.
Muros de Arrimo de Flexão
 Pré-Dimensionamento
 Concreto Armado
bo: 15 a 20 cm (mín)
b1: (8% a 10%) H
h1: (8% a 10%) H
B: (40% a 70%) H
D: 20 cm (mín)
P: (10% a 12%) H
E: 20 cm (mín)
h1>D
B
b0
H
E
b1
D
P
.
h1
Muros de Arrimo com Contraforte
 Pré-Dimensionamento
 Concreto Armado
h1
b1
B
H
bo
Co
C
bo: 15 a 20 cm (mín.)
b1: (6% a 9%) H
h1: (6% a 9%) H
B: (40% a 70%) H
C: (30% a 60%) H
Co: 15 a 20 cm (mín.)
P: (10% a 12%) H
1
30
(mín.)