Fina Calc 2 ( Gil Fidelix)

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II - MTM123-64
1o. Semestre de 2010 – 3a Avaliac¸a˜o
Questa˜o 1: Resolva os itens abaixo:
a) Calcule a derivada direcional de f(x, y, z) = xy + xz + yz no ponto P0 = (−1,−1, 2) e na
direc¸a˜o do vetor ~u = (−3, 6, 2). Qual e´ a direc¸a˜o de maior crescimento da func¸a˜o no ponto P0?
b) Classifique os pontos cr´ıticos de W (t, x) = t3 − x3 − 18tx.
Questa˜o 2: Sendo u(x, y, z) =
1√
x2 + y2 + z2
, verifique que u e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace
em R3 \ {(0, 0, 0)}, isto e´
∆u =
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0
Questa˜o 3: Resolva os itens abaixo:
(a) Considere f(x, y) = 9x2 − 3y. Esboce a curva de n´ıvel 9 da func¸a˜o f .
(b) Seja S a superf´ıcie definida pela expressa˜o x
2
3 + y
2
3 + z
2
3 = 14. Determine a equac¸a˜o do plano
tangente a` S no ponto P = (8, 1, 27)
Questa˜o 4: Treˆs alelos (verso˜es alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de
sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg estabelece que a
proporc¸a˜o de indiv´ıduos em uma populac¸a˜o que carregam dois alelos diferentes e´
P = 2pq + 2pr + 2rq
sendo p, q e r proporc¸o˜es de A, B e O na populac¸a˜o. Use o fato de que p+ q + r = 1 para mostrar
que P e´ no ma´ximo 23
Questa˜o EXTRA: Dadas as curvas y =
√
3
3 x, y =
√
3x e x2 + y2 = 2y, determine:
a) as equac¸o˜es polares de cada uma dessas curvas;
b) a a´rea interna da regia˜o do plano delimitada por essas treˆs curvas.