Lista 1 - algebra linear 2

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Lista de A´lgebra Linear II
27 de fevereiro de 2014
Professor: Aldo Baza´n Universidade Federal Fluminense
1 Corpos. Os nu´meros complexos.
1. Seja F o corpo formado pelos nu´meros 0, 1 e 2, junto com as operac¸o˜es ⊕ e � definidas da forma
seguinte
⊕ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
� 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
Mostre que F na˜o e´ um campo ordenado.
2. Seja F um campo e 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo, respectivamente. Se 1+ 1 = 0,
mostre que a+ a = 0, para todo a ∈ F .
3. Escreva os nu´meros seguintes na forma a+ bi
a. (2 + 3i)(3− 4i)i
b. i−8 + i4
c. (1 + i)(1 + i−8)
4. Ache todos os valores reais de x e y que satisfazem as seguintes relac¸o˜es
a. (x+ yi)2 = (x− yi)2
b. (x− yi) = |x+ yi|
c.
∑100
k=1 i
k = x+ yi
5. Escreva os nu´meros seguintes na forma a+ bi
a. i+ e2pii
b. −e−pii
c. (1− epii/2)/(1 + epii/2)
1
6. Ache as soluc¸o˜es das seguintes equac¸o˜es
a. x2 + ix+ 1 = 0
b. x4 + x2 + 1 = 0
c. x3 − x2 − x− 2 = 0
7. Ache as soluc¸o˜es da equac¸a˜o z4 = i em C.
2 Determinantes
1. Sejam σ = 24513 e τ = 41352 permutac¸o˜es em S5.
a. A permutac¸a˜o σ ◦ τ .
c. A permutac¸a˜o τ ◦ σ.
b. A permutac¸a˜o σ−1.
2. Determine a paridade de σ = 542163.
3. Seja x ∈ C e A ∈M3×3(C) definida como  x 0 00 0 x
x x x

Se definimos uma func¸a˜o f : C −→ C como f(x) = 2det(A), achar f(−1).
4. Determine os valores de k para os quais o determinante da matriz k k 14 2k 7
1 −k 1

e´ zero.
5. Seja a ∈ R. Mostre que o determinante da seguinte matriz
1 1 1 1 1
1 a a2 a3 a4
1 a2 a3 a4 a5
1 a3 a4 a5 a6
1 a4 a5 a6 a7

e´ zero.
6. Seja a matriz A definida como 
4x+ 3 2 1 1
x 3 4 2
2x− 1 1 0 3
−x 0 3 −1

Ache o valor de x tal que det(A) = 0.
7. Ache a forma geral das matrizes A ∈M2×2(C) tais que A = adj(A).
2
8. Mostre que se a matriz A ∈Mn×n(C) possui uma linha nula, enta˜o det(A) = 0.
9. Como e´ afetada a matriz inversa A−1 se
a. permutarmos em A a i-e´sima com a j-e´sima linha?
b. a i-e´sima linha de A e´ multiplicada por uma constante k na˜o nula?
c. a i-e´sima linha de A e´ somada a` k vezes a j-e´sima linha?
10. Ache os valores de t para os quais o determinante da matriz t+ 2 0 1t+ 2 t− 2 1
0 t− 2 t+ 4

e´ igual a zero.
11. Ache o volume do paralelep´ıpedo gerado pelos vetores v1 = (1,−5, 2, 4), v2 = (1,−1, 3,−3) e v3 =
(0, 2,−3, 1)
12. Resolva pela regra de Cramer os seguintes sistemas lineares
2x+ y + 3z = 0
4x+ 2y + 2z = 0
2x+ 5y + 3z = 0
;
−2x− y + 2w = 1
3x+ y + 2z − 2w = 0
−4x− y + 2z + 3w = 2
3x+ y − z − 2w = −1
3 Espac¸os Vetoriais. Autovalores e autovetores.
1. Mostre que:
a. Os vetores (1 + i, 2i) e (1, 1 + i) em C2 sa˜o linearmente dependentes sobre o corpo complexo C,
mas sa˜o linearmente independentes sobre o corpo real R.
b. Os vetores (3 +
√
2) e (7, 1 + 2
√
2) em R2 sa˜o linearmente dependentes sobre o corpo real R mas
sa˜o linearmente independentes sobre o corpo racional Q.
2. Determine se cada um dos seguintes conjuntos formam uma base de R3
a. (2, 4,−3), (0, 1, 1), (0, 1,−1).
b. (1, 3,−4), (1, 4,−3), (2, 3,−11).
3. Encontre uma base e a dimensa˜o dos subespac¸os W de R4 gerados por
a. (1, 4,−1, 3), (2, 1,−3,−1), (0, 2, 1,−5).
b. (1,−4,−2, 1), (1,−3,−1, 2), (3,−8,−2, 7).
4. Determine os autovalores, os autovetores e os autoespac¸os das seguintes matrizes
 1 0 0−1 0 −2
1 1 3
 ;

4 0 2 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 −1 0 0

3
5. Encontre uma matriz 3 × 3 com autovalores c = 0, 1 e −1, e autovetores associados v1 = (0, 1,−1),
v2 = (1,−1, 1) e v3 = (0, 1, 1), respectivamente.
6. Considere as matrizes (
2 −1
1 4
)
;
(
3 −1
13 −3
)
sobre o corpo dos nu´meros reais. Ache todos os autovalores e todos os autovetores linearmente inde-
pendentes.
7. Considere as duas matrizes do problema anterior como matrizes sobre o corpo complexo. Ache todos
os autovalores e todos os autovetores linearmente independentes.
8. Prove que as matrizes A e At, em M3×3(C), tem os mesmos autovalores. Estas duas matrizes tem o
mesmo autoespac¸o?
9. Prove que uma matriz quadrada A e´ invert´ıvel se, e somente se, c = 0 na˜o e´ raiz do polinoˆmio
caracter´ıstico de A.
10. Prove que matrizes semelhantes teˆm os mesmos polinoˆmios caracter´ısticos.
11. Considere a seguinte matriz 
a 1 0 0 0 0
0 a 1 0 0 0
0 0 a 1 0 0
0 0 0 a 1 0
0 0 0 0 a 1
0 0 0 0 0 a
 .
Mostre que p(t) = (t− a)6 e´ o polinoˆmio caracter´ıstico e o polinoˆmio minimal de A.
12. Sejam as matrizes
A =
 1 1 00 2 0
0 0 1
 ; B =
 2 0 00 2 2
0 0 1
 .
Mostre que A e B tem polinoˆmios caracter´ısticos diferentes, pore´m teˆm o mesmo polinoˆmio minimal.
13. Se o operador A e´ diagonaliza´vel e λ1, λ2, ..., λk sa˜o seus autovalores distintos dois a dois, prove que o
polinoˆmio mı´nimo de A e´
p(λ) = (λ− λ1)(λ− λ2)...(λ− λk).
14. Sejam as matrizes
A =
(
2 −3
7 −4
)
; B =
 1 4 −30 3 1
0 2 −1
 .
Para cada matriz ache um polinoˆmio tal que a matriz seja a sua ra´ız.
15. Seja A uma matriz triangular na˜o-diagonal. Se todos os elementos da diagonal de A forem iguais, A
na˜o e´ diagonaliza´vel? Justifique sua resposta.
16. Mostre que a matriz (
1 1
0 1
)
na˜o e´ diagonaliza´vel.
4
17. Seja a matriz A definida como  1 −2 80 −1 0
0 0 −1
 .
Calcule A100, A1321 e A−100.
18. Para quais valores de c as matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis?(
1 1
0 c
)
;
(
1 c
0 1
)
.
19. Se A e´ diagonaliza´vel e A e´ invert´ıvel, enta˜o A−1 e´ diagonaliza´vel? Justifique sua resposta.
20. Seja A uma matriz sime´trica e c1 e c2 autovalores distintos de A. Se v1 e v2 sa˜o autovetores associados
a c1 e c2, respectivamente, prove que v1 e v2 sa˜o ortogonais.
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