Lista 2 - Álgebra Linear II

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2◦ Lista de A´lgebra Linear II
29 de abril de 2014
Professor: Aldo Baza´n Universidade Federal Fluminense
1 Espac¸os com produto interno
1. Seja V = Mm×n(C). Prove que a func¸a˜o f : V × V −→ C definida como
f(A,B) := tr(B∗A),
onde B∗ = Bt, e´ um produto interno em V .
2. A func¸a˜o f : R2 × R2 −→ R definida como
f(u, v) :=
1
9
u1v1 − 1
4
u2v2
e´ um produto interno em R2?. Justifique sua resposta.
3. Seja V o espac¸o vetorial das sequeˆncias infinitas de nu´meros reais (a1, a2, ...), satisfazendo
∞∑
i=1
a2i < +∞,
isto e´, a soma dos quadrados converge. Adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar sa˜o definidas componente a
componente:
(a1, a2, ...) + (b1, b2, ...) := (a1 + b1, a2 + b2, ...)
k(a1, a2, ...) := (ka1, ka2, ...)
Prove que, se u, v ∈ V , enta˜o a func¸a˜o f : V × V −→ R definida como
f(u, v) :=
∞∑
i=1
uivi
e´ um produto interno em V .
4. Seja g : P × P −→ R uma func¸a˜o definida como
g(u, v) :=
∫ 1
0
u(x)v(x)dx,
onde P e´ o espac¸o dos polinomios com coeficientes reais. Esta func¸a˜o define um produto interno em
P?
1
5. Sejam u = (u1, u2) e v = (v1, v2) vetores em R2.
a. Prove que
(u, v) :=
1
9
u1v1 +
1
4
u2v2
define um produto interno em R2.
b. Esboce o c´ırculo unita´rio no sistema de coordenadas xy em R2, usando a distaˆncia obtida a partir
do produto interno em a.
c. Esboce o c´ırculo unita´rio no sistema de coordenadas xy em R2, usando a distaˆncia obtida a partir
do produto interno usual.
d. Ha´ alguma diferenc¸a entre os c´ırculo obtidos em a. e em b.?
6. Prove que a norma em um espac¸o com produto interno satisfaz os seguintes axiomas:
a. ||u|| ≥ 0; e ||u|| = 0 se, e somente se, u = θ.
b. ||ku|| = |k|.||u||
c. ||u+ v|| ≤ ||u||+ ||v||
7. Prove que a seguinte identidade vale para quaisquer vetores u e v de um espac¸o com produto interno:
||u+ v||2 + ||u− v||2 = 2||u||2 + 2||v||2.
8. Seja {v1, v2, ..., vn} uma base de um espac¸o com produto interno V . Prove que o vetor nulo de V e´ o
u´nico vetor de V que e´ ortogonal a todos os vetores da base.
9. Seja V um espac¸o com produto interno. Prove que se u e v sa˜o vetores ortogonais de V tais que
||u|| = ||v|| = 1, enta˜o ||u− v|| = √2.
10. Seja {v1, v2, ..., vn} um conjunto ortogonal de vetores de um espac¸o com produto interno. Prove que
||v1 + v2 + ...+ vn||2 = ||v1||2 + ||v2||2 + ...+ ||vn||2.
11. Seja V um espac¸o com produto interno. A distaˆncia entre dois vetores u e v em V e´ definida como
d(u, v) := ||u− v||.
Prove que
a. d(u, v) ≥ 0;
b. d(u, v) = 0 se, e somente se u = v;
c. d(u, v) = d(v, u);
d. d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v).
12. Seja V um espac¸o com produto interno, e sejam u e v vetores em V . Prove que
u = v ⇐⇒ < u,w >=< v,w >, ∀w ∈ V.
13. Seja {e1, e2} a base canoˆnica em R2. Ache um produto interno em R2 tal que < e1, e2 >= 2.
14. Prove que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz se, e somente se, u e v sa˜o linearmente
dependentes.
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15. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar, para quaisquer valores reais de a, b e θ,
(acosθ + bsenθ)2 ≤ a2 + b2.
16. Considere R4 com o produto interno euclidiano. Seja W o subespac¸o de R4 formado por todos os
vetores que sa˜o ortogonais a (1, 0, 1,−1) e (2, 3,−1, 2). Ache uma base para W .
17. Considere o espac¸o C3, com o produto interno usual. Ache uma base ortonormal para o subespac¸o
gerado por (1, 0, i) e (2, 1, 1 + i).
18. Considere R4 com o produto interno usual. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar as
seguintes bases em bases ortonormais
a. v1 = (0, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0, 1), v3 = (2, 0,−1,−1), v4 = (1, 1,−1, 0).
b. v1 = (0, 2, 1, 0), v2 = (1,−1, 2,−2), v3 = (1, 2, 0,−1), v4 = (1, 0, 0, 1).
19. Seja V o subespac¸o de R[x] dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 3. Considerando o produto interno
em V
< f, g >=
∫ 1
0
f(t)g(t)dt,
use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal de V a partir da base
{
1, x, x2, x3
}
.
20. Seja W um subespac¸o de V . Mostre que W ⊂W⊥⊥, e que W = W⊥⊥ quando V tem dimensa˜o finita.
21. Seja V um espac¸o vetorial com um produto interno, e U e W subespac¸os vetoriais de V . Prove que
a. (U +W )⊥ = U⊥ ∩W⊥
b. (U ∩W )⊥ = U⊥ +W⊥
22. Seja V = C([−1, 1];R), com o produto interno definido como
< f, g >=
∫ 1
−1
f(x)g(x)dx.
Se W e´ o subespac¸o de V das func¸o˜es ı´mpares, ache o complemento ortogonal de W .
23. Seja W o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1,−1, 2,−2), v3 = (−1,−5, 1,−7).
Ache a projec¸a˜o ortogonal de v = (1, 2,−3, 4) em W .
2 Operadores Lineares e o produto interno
1. Seja V = C2, definido com o produto interno usual. Se T ∈ L(V ) e´ definido por:
T (e1) = (1,−2);
T (e2) = (i,−1).
Se α = (x1, x2), ache T
∗(α).
2. Prove que T ∗T = θ implica que T = θ.
3
3. Seja V um espac¸o vetorial finito dimensional com produto interno, e T ∈ L(V ). Prove que a imagem
de T ∗ e´ o complemento ortogonal do nu´cleo de T .
4. Seja V um espac¸o vetorial finito dimensional com produto interno, e T ∈ L(V ). Se T e´ invert´ıvel,
prove que T ∗ e´ invert´ıvel, e (T ∗)−1 = (T−1)∗.
5. Prove que o produto de dois operadores autoadjuntos e´ autoadjunto se, e somente se, os dois operadores
comutam.
6. Seja V = Mn×n(C), com o produto interno
< A,B >= tr(AB∗).
Seja P uma matriz invert´ıvel fixa em V , e seja TP o operador linear em V definido por TP (A) = P
−1AP .
Ache o adjunto de TP . .
7. Prove que as seguintes condic¸o˜es sobre um operador P sa˜o equivalentes:
a. P = T 2, para algum operador auotadjunto T .
b. P = S∗S, para algum operador S.
c. P e´ autoadjunto e < P (u), u >≥ 0, para todo u ∈ V .
8. Prove que qualquer operador T e´ a soma de um operador autoadjunto e de um operador antiadjunto.
9. Prove que o produto e a inversa de matrizes unita´rias sa˜o unita´rias.
10. Prove que se uma matriz ortogonal e´ triangular, enta˜o e´ diagonal.
11. Seja V um espac¸o vetorial com produto interno. Prove que as seguintes condic¸o˜es sobre um operador
U sa˜o equivalentes:
a. U∗ = U−1.
b. < U(v), U(w) >=< v,w >, para quaisquer v, w ∈ V .
c. ||U(v)|| = ||v||.
12. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, T ∈ L(V ) e W um subespac¸o invariante de dimensa˜o
k ≤ n. Prove que existe uma representac¸a˜o matricial de T da forma(
A B
0 D
)
.
onde A e´ uma matriz quadrada de ordem k, B e´ uma matriz de ordem k × (n− k), e D e´ uma matriz
de ordem (n− k)× (n− k).
13. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e T ∈ L(V ). Suponhamos que W1 e W2 sa˜o subespac¸os
invariantes de dimensa˜o k e n− k respectivamente, tais que
V = W1 ⊕W2.
Enta˜o, prove que existe uma representac¸a˜o matricial de T da forma(
A 0
0 D
)
.
onde A e´ uma matriz de ordem k e D e´ uma matriz de ordem n− k.
4
14. Seja U um operador unita´rio em V , e W um subespac¸o invariante sob U . Prove que W⊥ e´ tambe´m
invariante sob U .
15. Se A e´ uma matriz, prove que as seguintes condic¸o˜es sa˜o equivalentes
a. A e´ unita´ria.
b. As linhas de A formam um conjunto ortonormal.
c. As colunas de A formam um conjunto ortonormal.
16. Se A e´ uma matriz ortogonal, prove que |A| = ±1.
17. Seja V = Mn×n(C), com o produto interno
< A,B >= tr(AB∗).
Para cada M em V , seja TM o operador linear definido por TM (A) = MA. Prove que TM e´ unita´ria
se, e somente se, M e´ uma matriz unita´ria.
18. Seja V = C o espac¸o vetorial real dos nu´meros complexos.
a. Prove que < α, β >:= Re(αβ) define um produto interno em V .
b. Para cada θ ∈ V , seja Mθ o operador linear em V definido por Mθ(α) := θα. Prove que (Mθ)∗ =
Mθ.
c. Para quais nu´meros complexos θ, Mθ e´ autoadjunto?
d. Para quais nu´meros complexos θ, Mθ e´ unita´rio?
e. Para quais nu´meroa complexos θ, Mθ e´ positivo?
19. Seja P um operador sobre um espac¸o vetorial comproduto interno V . Suponhamos que P e´ positivo
e unita´rio. Prove que P = I.
20. Seja V = C o espac¸o complexo dos nu´meros complexos, com o produto interno usual, e T um operador
autoadjunto em V . Prove que
a. ||α+ iTα|| = ||α− iTα||, para todo α ∈ V .
b. α+ iTα = β + iTβ se, e somente se, α = β.
c. I − iT e´ na˜o singular.
d. Assumindo que V e´ finito-dimensional, prove que
U := (I − iT )(I + iT )−1
e´ um operador unita´rio. (U e´ chamada a transformac¸a˜o de Cayley de T )
21. Seja T um operador sime´trico. Prove que
a. O polinoˆmio caracter´ıstico de T e´ um produto de polinoˆmios lineares sobre R.
b. T tem um autovetor na˜o nulo.
c. Autovetores de T pertencentes a autovalores distintos sa˜o ortogonais.
22. Seja a matriz A ∈ M3×3(R), onde a11 = a22 = a33 = 2 e aij = 1 para i 6= j. Encontre uma matriz
ortogonal real P ∈M3×3(R) tal que P tAP seja uma matriz diagonal.
5
23. Encontre uma matriz ortogonal cuja primeira linha seja
a. (1/
√
5, 2/
√
5).
b. um mu´ltiplo de (1, 1, 1).
24. Encontre uma matriz sime´trica ortogonal cuja primeira linha seja (1/3, 2/3, 2/3).
25. Seja V = C2 um espac¸o complexo com o produto interno usual, e T ∈ L(V ) com a matriz associada a`
base canoˆnica
AT :=
(
1 i
i 1
)
.
Prove que T e´ normal, e ache uma base ortonormal para V , formada pelos vetores caracter´ısticos de
T .
26. Prove que toda matriz positiva e´ o quadrado de uma matriz positiva.
27. Seja T um operador normal, demonstre:
a. T − λI e´ normal.
b. Se T (v) = λv, enta˜o T ∗(v) = λv.
c. Se T (v) = λ1v e T (w) = λ2w, onde λ1 6= λ2, enta˜o < v,w >= 0.
28. Prove que, se T e´ normal, enta˜o T e T ∗ teˆm o mesmo nu´cleo e a mesma imagem.
29. Prove que as seguintes condic¸o˜es sobre um operador P sa˜o equivalentes:
a. P = T 2, para algum operador auotadjunto T .
b. P = S∗S, para algum operador S.
c. P e´ autoadjunto e < P (u), u >≥ 0, para todo u ∈ V .
3 Formas bilineares, coˆnicas e qua´dricas
1. Seja A ∈Mn×n(R). Prove que a seguinte transformac¸a˜o f e´ uma forma bilinear em Rn:
f(x, y) = xTAy.
2. Seja f a forma bilinear em R2 definida por
f((x1, x2); (y1, y2) := 2x1y1 − 3x1y2 + x2y2.
a. Ache a matriz A de f na base [α] {= (1, 0); (1, 1)}.
b. Ache a matriz B de f na base [β] {(2, 1); (1,−1}).
c. Ache a matriz de transic¸a˜o P da base α para a base β, e verifique que B = PTAP .
3. Prove que qualquer forma bilinear f em V e´ a soma de uma forma bilinear sime´trica e de uma forma
bilinear anti-sime´trica.
4. Seja q a forma quadra´tica associada a` forma bilinear sime´trica f . Verifique a seguinte forma polar
alternada de f :
f(u, v) =
1
4
[q(u+ v)− q(u− v)].
6
5. Seja f a forma bilinear sime´trica associada a` forma quadra´tica real q(x, y) = ax2 + bxy + cy2. Prove
que
a. f e´ na˜o-degenerada se, e somente se, b2 − 4ac 6= 0.
b. f e´ definida positiva se, e somente se, a > 0 e b2 − 4ac < 0.
6. Seja A uma matriz complexa na˜o-singular. Prove que H = A∗A e´ hermitiana e definida positiva.
7. Nas equac¸o˜es seguintes, identifique e ache a forma canoˆnica das coˆnicas
a. 11x2 − 24xy + 4y2 − 40x+ 80y + 5 = 0.
b. 9x2 − 4xy + 6y2 − 12x− 4y + 4 = 0.
c. xy = −4
d. x2 − y2 + 2y − 1 = 0.
8. Identifique e ache a forma canoˆnica das seguintes superf´ıcies qua´dricas
a. 3z2 + 2xy + x− 1 = 0.
b. (3/2)y2 + (3/2)z2 + yz + 3x− 5√2y +√2z − 7 = 0.
c. xy + xz + yz = 0.
d. xy + x+ y = 0.
e. x2 + 4y2 + 9z2 + 4xy − 6xz − 12yz = 0.
f. xy + x+ y + 1 = 0.
g. 4x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy + 4xz + 4yz = 0.
h. 2xy − 6x+ 10y + z − 31 = 0.
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