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Universidade Aberta do Brasil Universidade Federal do Ceará Instituto UFC Virtual Atividade de Portfólio 04 Aula 04: Anéis Portfólio da Aula 4, a solução do exercitando do Tópico 1 , do exercitando do Tópico 2, dos exercitando 1 e 2 do Tópico 3, no Texto, e dos exercícios 1, 2, 4, 6, 7 e 9 da lista de exercícios da Aula 4. Tópico 01 Dado um anel (A,+, .), mostre que 1=0 se e semente se A é o anel nulo. Característica de um anel. O menor inteiro positivo m para o qual [m.a = z] para qualquer a A, é denominado de característica do anel. Exemplo: Os conjuntos Z, Q e R têm característica zero, pois 0 é o menor inteiro tal que 0.x = 0. Note que se o anel dor nulo: (A, +, .), temos: m.a = z Adicinando a-1 nos dois membros temos: m.a.a -1 = z.a -1 m(e) = z.a-1 m = z.a-1 ou seja, em um anel nulo existe a igualdade entre os elementos neutro de suas respectivas operações, ou seja: (A, +, .) (A, +, e = 0) e (A, . , e = 1) (A, +, .) anel nulo 0=1 ou 1=0. Tópico 02 Mostre que todo Ideal de (Z,+ , .) é da forma nZ para algum n Z. Seja (A, +,.) anel, I é um ideal se: i) I é subanel de (A, +, . ); ii) Se x I e a A, então ax I e xa J. Seja J ideal: i) Se J = {0} não há o que mostrar. ii) Se J {0}, seja S = { x J; x > 0} com a J menor elemento de S. aZ J e J aZ aZ = J Aqui já vale, pois J é ideal. x J então existe a, d Z tal que x = ad + r onde 0 r < a, logo r = 0 x J x = ad x aZ J aZ aZ = J Tópico 03 Exercitando 2 Se A é um domínio de integridade mostre que dois elementos são associados se e somente se geram o mesmo ideal. Seja A um anel. Diz - se u é uma unidade de A se u|1 [u] = A u tem inverso (multiplicativo) A* = { u A; u|1} Dois elementos a e b A dizem - se associados a|b e b|a, o que é equivalente a se verificar [a] = [b] Obs.: u A* a A, u|a, as unidades são os elementos e um anel que dividem todos os outros. Lista de exercício 1 - Dê exemplo de: a) Um anel comutativo: um anel comutativo é todo anel em que a multiplicação é comutativa. O conjunto de números Z, Q e R são anéis comutativos. b) Um anel com unidade: o anel com unidade é todo anel que tenha o elemento neutro da multiplicação, (indicado por u), isto é a.u = u.a = a. Exemplo: Z, Q e R são anéis com elemento unidade. c) Um anel comutativo com unidade: se Z, Q e R são anéis com elementos unidade e comutativos, logo são comutativos com unidade. d) Um anel com divisores de zero: sejam a e b A. (a e b Z). O elemento a é denominado divisor de zero se a.b = z ou b.a = z para um determinado elemento b de A. Exemplo: Tem para divisores de zero, os elementos [2] e[3], pois: [2].[3] = [3].[2] = 0 e) Um domínio de integridade finito: Z[x] (domínio integral) 2 - Seja A um anel tal que x² = x para todo x A. Mostre que A é comutativo. (A, +, .) = (A = { x² = x}, +, . ) Se é comutativo vale a igualdade x.y = y.x x, y A, pois: 0² = 0.0 0.0 = 0.0 0 = 0 1² = 1.1 1.1 = 1.1 1 = 1 4 - Considere os conjuntos numéricos , { x , x> 0}, P-{0}, 2 , 3 com as operações soma e produto usuais. Verifique quais são anéis ou corpos. São anéis e corpos, , 2 e 3 , pois apresentam as propriedades de anéis: comutatividade, associatividade, simétrico e distributividade, sendo que (K - {0}, +, .) ainda permitem a comutatividade. Já os conjuntos { x , x> 0} e P-{0} são somente corpos, pois não possuem o elemento neutro da adição. 6 - Encontre as unidades e os divisores de zero dos anéis , , , e diga quais deles é domínio de integridade. Todos os conjuntos possuem o elemento neutro da multiplicação 1, portanto, em todos a unidade trata - se do número 1. Não há possibilidade nestes grupos de termos divisores de zero, pois x.y 0 e y.x 0 para todo x 0 ou y 0. Apenas o anel , não é domínio de integridade, pois n = 12 não é primo. 7 - Sejam m e n inteiros relativamente primos. Mostre que a função f: Zmn Zm Zn dada por f(x + mnZ) = (x + mZ,x + nZ) é um isomorfismo de anéis. Para provar o isomorfismo, devemos mostrar que existe uma correspondência biunívoca entre as funções, ou seja: f: Zmn f:Zm Zn Onde todo domínio é imagem e toda imagem é domínio, logo: f(x + mnZ) = f(x + (mn)Z) f(x + Z(mn)) f(x + (Zm + Zn)) f(x+ mnZ) Zm Zn, pois: f(x + (Zm + Zn)) f(x + Zm.x + Zn) 9 - Mostre que um elemento invertível de um anel não é divisor de zero desse anel. Seja (A, +, .) um anel e a A, dizemos que a é divisor de zero se existe b 0, b A, ab = 0 a A a.a' = 1 Supondo que a é divisor de zero temos que a.b = 0 a.b = 0 a.a'.b = 0.a' 1.b = 0 b = 0 => o que é um absurdo.
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