Buscar

pot04_Estruturas_Algebricas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 5 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Universidade Aberta do Brasil 
Universidade Federal do Ceará 
Instituto UFC Virtual 
 
 
 
Atividade de Portfólio 04 
Aula 04: Anéis 
Portfólio da Aula 4, a solução do exercitando do Tópico 1 , do exercitando do Tópico 2, 
dos exercitando 1 e 2 do Tópico 3, no Texto, e dos exercícios 1, 2, 4, 6, 7 e 9 da lista de 
exercícios da Aula 4. 
 
Tópico 01 
Dado um anel (A,+, .), mostre que 1=0 se e semente se A é o anel nulo. 
Característica de um anel. 
O menor inteiro positivo m para o qual [m.a = z] para qualquer a A, é denominado de 
característica do anel. Exemplo: 
Os conjuntos Z, Q e R têm característica zero, pois 0 é o menor inteiro tal que 0.x = 0. 
Note que se o anel dor nulo: (A, +, .), temos: 
m.a = z Adicinando a-1 nos dois membros temos: 
m.a.a
-1
 = z.a
-1
 m(e) = z.a-1 m = z.a-1 
ou seja, em um anel nulo existe a igualdade entre os elementos neutro de suas 
respectivas operações, ou seja: 
(A, +, .) (A, +, e = 0) e (A, . , e = 1) (A, +, .) anel nulo 0=1 ou 1=0. 
Tópico 02 
Mostre que todo Ideal de (Z,+ , .) é da forma nZ para algum n Z. 
Seja (A, +,.) anel, I é um ideal se: 
i) I é subanel de (A, +, . ); 
ii) Se x I e a A, então ax I e xa J. 
Seja J ideal: 
i) Se J = {0} não há o que mostrar. 
ii) Se J {0}, seja S = { x J; x > 0} com a J menor elemento de S. 
aZ J e J aZ aZ = J 
 Aqui já vale, pois J é ideal. 
x J então existe a, d Z tal que x = ad + r 
onde 0 r < a, logo r = 0 
x J x = ad x aZ 
J aZ 
aZ = J 
 
Tópico 03 
Exercitando 2 
Se A é um domínio de integridade mostre que dois elementos são associados se e 
somente se geram o mesmo ideal. 
Seja A um anel. Diz - se u é uma unidade de A se u|1 [u] = A u tem inverso 
(multiplicativo) A* = { u A; u|1} 
Dois elementos a e b A dizem - se associados a|b e b|a, o que é equivalente a se 
verificar [a] = [b] 
Obs.: u A* a A, u|a, as unidades são os elementos e um anel que dividem 
todos os outros. 
 
 
Lista de exercício 
1 - Dê exemplo de: 
a) Um anel comutativo: um anel comutativo é todo anel em que a multiplicação é 
comutativa. O conjunto de números Z, Q e R são anéis comutativos. 
 
b) Um anel com unidade: o anel com unidade é todo anel que tenha o elemento neutro 
da multiplicação, (indicado por u), isto é a.u = u.a = a. Exemplo: 
Z, Q e R são anéis com elemento unidade. 
 
c) Um anel comutativo com unidade: se Z, Q e R são anéis com elementos unidade e 
comutativos, logo são comutativos com unidade. 
 
d) Um anel com divisores de zero: sejam a e b A. (a e b Z). O elemento a é 
denominado divisor de zero se a.b = z ou b.a = z para um determinado elemento b de A. 
Exemplo: 
 
 
 
Tem para divisores de zero, os elementos [2] e[3], pois: 
[2].[3] = [3].[2] = 0 
 
 
 
 
e) Um domínio de integridade finito: Z[x] (domínio integral) 
 
2 - Seja A um anel tal que x² = x para todo x A. Mostre que A é comutativo. 
(A, +, .) = (A = { x² = x}, +, . ) 
Se é comutativo vale a igualdade x.y = y.x x, y A, pois: 
0² = 0.0 0.0 = 0.0 0 = 0 
1² = 1.1 1.1 = 1.1 1 = 1 
 
 
4 - Considere os conjuntos numéricos , { x , x> 0}, P-{0}, 2 , 3 com as 
operações soma e produto usuais. Verifique quais são anéis ou corpos. 
São anéis e corpos, , 2 e 3 , pois apresentam as propriedades de anéis: 
comutatividade, associatividade, simétrico e distributividade, sendo que (K - {0}, +, .) 
ainda permitem a comutatividade. 
Já os conjuntos { x , x> 0} e P-{0} são somente corpos, pois não possuem o 
elemento neutro da adição. 
 
6 - Encontre as unidades e os divisores de zero dos anéis , , , e diga quais 
deles é domínio de integridade. 
Todos os conjuntos possuem o elemento neutro da multiplicação 1, portanto, em todos a 
unidade trata - se do número 1. 
Não há possibilidade nestes grupos de termos divisores de zero, pois x.y 0 e y.x 0 
para todo x 0 ou y 0. 
Apenas o anel , não é domínio de integridade, pois n = 12 não é primo. 
 
 
7 - Sejam m e n inteiros relativamente primos. Mostre que a função f: Zmn Zm Zn 
dada por f(x + mnZ) = (x + mZ,x + nZ) é um isomorfismo de anéis. 
 
Para provar o isomorfismo, devemos mostrar que existe uma correspondência biunívoca 
entre as funções, ou seja: 
f: Zmn f:Zm Zn 
Onde todo domínio é imagem e toda imagem é domínio, logo: 
f(x + mnZ) = f(x + (mn)Z) f(x + Z(mn)) f(x + (Zm + Zn)) 
f(x+ mnZ) Zm Zn, pois: 
f(x + (Zm + Zn)) f(x + Zm.x + Zn) 
 
 
 
9 - Mostre que um elemento invertível de um anel não é divisor de zero desse anel. 
Seja (A, +, .) um anel e a A, dizemos que a é divisor de zero se existe b 0, b A, ab 
= 0 
a A 
a.a' = 1 
Supondo que a é divisor de zero temos que a.b = 0 
a.b = 0 
a.a'.b = 0.a' 
1.b = 0 
b = 0 => o que é um absurdo.

Outros materiais