pot06_Estruturas_Algebricas

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Atividade de Portfólio 06 
Aula 06: Anéis 
Portfólio da Aula 6, a demonstração dos teoremas 1, 2 e 3 do Tópico 1 , no Texto, e a 
solução dos exercícios 1, 3, 5, 7, 8 e 9 da lista de exercícios da Aula 6. 
 
Tópico 01: Polinômios sobre um anel. Polinômios sobre um corpo. Algoritmo da 
Divisão. 
Teorema 1: Com as operações definidas acima R[x] é um anel. Se R é um anel com 
unidade então R[x] também é um anel com unidade. Se R é um domínio de integridade 
então R[x] também é um domínio de integridade. Particularmente, se K é um corpo 
então K[x] é domínio de integridade. 
 
 
Teorema 2: Seja A um anel com unidade. Se f(x),g(x) ∈A[x] , com g(x) mônico, então 
existem q(x),r(x) ∈A[x] tais que f(x)=q(x)g(x)+r(x) com r(x) = 0 ou gr r < gr g. 
 
 
 
Teorema 3: (algorítmo da divisão)Seja K é um corpo. Se f(x),g(x) ∈K[x] então existem 
q(x),r(x) ∈K[x], unicamente determinados, tais que f(x)=q(x)g(x)+r(x) com r(x) = 0 ou 
gr r < gr g 
 
 
 
 
 
 
Lista de exercícios 
1 - Encontre todos os polinômios irredutíveis de grau 3 sobre . 
Vamos determinar todos os polinômios irredutíveis de grau 3 em [x]. Estes 
polinômios são da forma 
x³ + ax² + bx + x² com a, b, c ∈ . 
Como só tem dois elementos, podemos escrever todos estes polinômios: 
x³, x³ + x², x³ + x, x³ + , x³ + x² + x, x³ + x² + , x³ + x + , e x³ + x² + x + . 
Isto é, existem 8 polinômios de grau 3 em [x]. Destes, os únicos que não possuem 
raiz em são x³ + x² + e x³ + x + . Assim, x³ + x² + e x³ + x + são os únicos 
polinômios irredutíveis de grau 3 em [x]. 
 
3 - Verifique se o polinômio f(x) = x
4
 + 3x² + 2 é irredutível sobre . 
Pelo critério de Eisenstein, dado um polinômio: 
 ∈ 
 
 
 
 ∈ 
 
Para o polinômio ser irredutível em Q, deve um P(primo) tal que p divide todo 
coeficiente menos o de e p² não divide . Logo f(x) = x4 + 3x² + 2 é redutível em Q. 
 
5 - Verifique se o Polinômio f(x) = x
4
 + 2x² + 2 é irredutível sobre . 
Sendo a3 = 1, a2 = 2, a1 = 1 e a0 = 2 
f(x) = x
4
 + 2x³ + x + 2 é redutível, pois pode ser formado de um produto de polinômios 
de grau 4. Logo reduzimos temos: 
(x + 2)( x³ +1) x4 + x + 2x³ + 2 = x4 + 2x³ + x + 2 
 
7 - Encontre o MDC entre os polinômios x
4
 + x³ + 2x² + 3x + 1 e x
4
 + x³ - 2x² - x + 1 e 
x
4
 + x³ - 2x - x + 1 sobre os radicais. 
mdc [(x
4
 + x³ + 2x² + 3x + 1), (x
4
 + x³ - 2x² - x + 1)] 
Notemos que em ambos os polinômios são semelhantes logo: 
2x² + 3x + 1 = (x + 2)(2x - 2) + x + 5 
-2x² + x + 1 = (2x - 2)(-x) - x + 1 
Logo o mdc[(x
4
 + x³ + 2x² + 3x + 1), (x
4
 + x³ - 2x² - x + 1)] = 
mdc[(x + 2), (2x - 2)] = mdc[(2x - 2), (1)] = 1 
 
 
 
8 - Fatore o polinômio x
4
 + 3x³ + 2x + 4 em . 
p(x) = x4 + 3x³ + 2x + 4 
 
 
 
Note que 
 
 
 
 
9 - Verifique se o polinômio x
7
 + 5x³ - 15x + 35 é irredutível sobre . 
Pelo critério de Eisenstein, p = 5 divide até . 
5² não divide 35, logo f(x) = x
7
 + 5x³ - 15x + 35 é irredutível sobre .