Buscar

Pert Probabilistico

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 133 
 
 
 O PERT PROBABILÍSTICO. 8 
 
8.1 – Os tempos no PERT. 
 
 Como comentado anteriormente, a metodologia utilizada no 
estudo das redes tanto no método PERT como no CPM é a 
mesma. A diferença existente entre os dois métodos é quanto à 
abordagem adotada no estabelecimento do atributo tempo de cada 
atividade. 
 
 Sob a abordagem do CPM, admite-se que a estimativa de 
duração de qualquer atividade seja efetuada por experiência. Ou 
seja, de modo determinístico. 
 
 Há o entendimento de que, ao se planejar programas cujas 
atividades apresentem duração bem conhecida ou dominada, a 
estimativa baseada em experiência pode ser adotada, sem causar 
expressivo erro de avaliação quanto à duração total do projeto. 
 
 No método do PERT, admite-se ser difícil estimar, com 
precisão aceitável, a duração de uma atividade, mormente quando 
o projeto é composto por um conjunto de serviços 
tecnologicamente não dominados ou inusitados. 
 
 Visando contornar tal limitação, a metodologia do PERT 
considera que o atributo tempo possa ocorrer sob diversas 
possibilidades de duração. 
 
 Em decorrência desse fato é possível deduzir a 
probabilidade do tempo de ocorrência de cada evento integrante de 
uma rede, a partir da definição da estimativa de duração de cada 
atividade. 
 
Assim sendo, o atributo tempo das atividades de uma rede, 
dos respectivos eventos e a duração total de um programa pode 
ser definido de forma probabilística, fato que permite estimar 
probabilisticamente e definir percentualmente a duração total de 
um programa. 
 
 
8.2 – O Método da função BETA. 
 
A função Beta permite, com facilidade, estimar o atributo 
tempo de qualquer alternativa ao utilizar três estimativas visando a 
determinação do seu tempo de duração. 
 
8.2.1 - As estimativas de tempo. 
 
 O método em questão estabelece a definição de três 
estimativas para a duração de cada atividade, nomeadas de 
duração otimista; mais provável e pessimista, a saber: 
 
a) Estimativa Otimista é definida como o tempo de menor duração, 
considerando uma combinação de recursos de forma favorável. 
Isto é, não ocorrerá falta e em condições favoráveis, dos 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 134 
 
 
recursos de pessoal, mão de obra, insumos e equipamentos. 
No método a ser apresentado, essa alternativa é notada “a”. 
b) Estimativa Mais Provável é definida como o tempo mais 
provável de ocorrer a execução da alternativa, pois baseado em 
condições consideradas normais. No método em pauta essa 
alternativa é notada “m”. 
c) Estimativa Pessimista é definida como a estimativa de tempo de 
maior duração, dado a possível ocorrência de uma conjugação 
de acontecimentos desfavoráveis para a execução da atividade. 
No presente caso essa alternativa é notado b. 
 
O estabelecimento dos tempos acima definidos pode ser 
efetuado por um grupo de especialistas no assunto ou, em 
havendo a disponibilidade de dados relativos a serviços similares, 
empregada a própria experiência acumulada. 
 
 
8.2.2 – Hipóteses. 
 
 Para passar das três alternativas, a; m; b, para a estimativa 
de tempo esperado e a definição da variância, são adotadas duas 
hipóteses: 
 
1ª Hipótese: O desvio padrão, σ, deve ser igual a um sexto (1/6) do 
intervalo da variação da variável aleatória. Isto porque, a partir do 
intervalo de 3σ, a própria Distribuição Normal apresenta distorções. 
 
2ª Hipótese: Para que a distribuição de probabilidade seja uma 
distribuição Beta, deve-se ter: 
 
m = o valor da moda, estatisticamente falando; 
a = limite inferior da distribuição; 
b = limite superior da distribuição. 
te = tempo esperado de cada atividade. 
 
 
8.2.3 – A Função Beta. 
 
Considerando ser o tempo total de um programa definido 
pelo caminho crítico, somente são consideradas no calculo da 
estimativa de duração do mesmo os tempos das atividades dele 
integrantes. Deste modo, são calculadas as variâncias e desvios 
padrão, apenas, das atividades integrantes do caminho crítico, pois 
ocorrendo atraso em qualquer delas, decorre em atraso no evento 
final. 
 
Associando a cada uma das durações das atividades uma 
função de variável aleatória estatisticamente independente, cujas 
somas sigam uma distribuição normal de probabilidade, é possível 
caracterizar uma função de probabilidade denominada de função 
BETA. 
 
 Então, associando a cada tek → VE ( tek ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 teA teB ............... tek 
Fig. 9.1 – Tempos Esperados = te(k) 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 135 
 
 
Da teoria da probabilidade sabe-se que: 
 
a) O Valor Esperado, VE, de uma soma de variáveis aleatórias 
estatisticamente independentes é igual à soma dos Valores 
Esperados das variáveis. 
 
VE ( teA+ teB + L+ tek ) = VE( teA ) + VE( teB ) + L + VE ( tek ) 
 
b) A Variância de uma soma de variáveis aleatórias 
estatisticamente independentes é igual à soma das variâncias 
dessas variáveis. 
 
2222
kBA)kBA( σ++σ+σ=σ +++ LL 
 
 A função Beta permite definir o Tempo Médio Estimado de 
cada atividade, a variância e o desvio padrão segundo o modelo: 
 
c) Tempo Médio Estimado: 
6
bm4a)k(te ++= 
d) A Variância – S 
2
2
6
ab)k(s





 −
=σ= 
e) O Desvio Padrão - σ 
 





 −
==σ
6
ab)k(sK 
 
f) Probabilidade da Ocorrência de um Evento. 
 
 Considerando uma distribuição normal de probabilidade, a 
probabilidade de um evento ocorrer dentro de um Tempo Esperado 
é obtida utilizando a área sob a curva de distribuição normal. 
 
 Do desenho abaixo, te corresponde ao tempo médio 
estimado de ocorrência de um evento. Isto é, o tempo calculado 
conforme o item “c”, acima. 
 
 O objetivo, então, é conhecer a probabilidade de ocorrência 
de um evento a ocorrer dentro do tempo Ts. 
 
 Para tanto, é utilizada uma tabela que forneça a área sob a 
curva normal, área esta que expressa a probabilidade desejada. 
 
 Considerando o desenho, a área a ser determinada e que 
expressa porcentagem é aquela definida como “S1”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exprimindo a distância (Ts-te) em relação ao desvio padrão, 
obté-se a variável z, denominada de variável padronizada. 
 z 
 te=0 Ts 
0,5 
Tempo(z) 
S1 
Fig.9.2 – Área sob a curva normal. 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 136 
 
 
 Então: 
σ
−
=
eTTsz 
 
 Calculado o valor de z e disponível uma tabela que 
apresenta a área sob a curva normal, obtém-se o valor de 
probabilidade, representado graficamente pela área S1. Ver na 
ultima página desate Capítulo a Tab.5.4 – Área sob a Curva 
Normal (%). 
 
 A probabilidade de ocorrer um evento dentro do tempo Ts é 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
8.3 - Comentários sobre a Função Beta. 
 
 A adequação da função Beta para o calculo das 
probabilidades considerando a adoção de três possíveis 
alternativas para o atributo tempo é justificada dado as suas 
seguintes características: 
 
 
8.3.1 – Forma da Curva. 
 
1º - Sendo os extremos perfeitamente definidos e, 
conseqüentemente, não sendo assintótica ao eixo das abscissas 
ou dos tempos, fica perfeitamente caracterizado o intervalo de 
variação da função; 
 
2º - É possível que a curva seja assimétrica para ambos o lado da 
média, situação comum em projetos de engenharia quando se 
efetuam varias estimativas de tempo;8.3.2 – Precisão das Informações. 
 
O parâmetro estatístico que define a precisão da informação sobre 
o atributo tempo é dado pela variância da variável aleatória - s. 
 
Assim: 
 
1º - Quanto maior for a variância, maior a dispersão dos 
dados e, conseqüentemente, menor a precisão das 
informações; 
 
2º - Quanto menor for a variância, menor é a dispersão dos 
dados, em decorrência de haverá maior a precisão das 
informações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P ( z ≤ Ts ) = 0,5 + S1 
 a te b a te b 
MODA 
 
MODA 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 137 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variância - s Segurança 
Quanto Maior Maior Dispersão dos Dados; Menor precisão nas informações. 
Quanto Menor Menor Dispersão dos Dados; Maior precisão nas informações. 
 
 
 
8.4 – Exemplo de Cálculo de Probabilidade. 
 
 Dado o evento final de um programa cujo tempo mais cedo 
de fim foi calculado em 500 dias, estabelecer qual a probabilidade 
de que ele ocorra antes de 515 dias? 
 
É conhecida a variância do evento s = 256. 
 
940
16
15
256
500515
,
TTs
z e ==
−
=
σ
−
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo, z = 0,94, da tabela tem-se: K1 = 0,3264 
 
P ( t = 515 ) = 0,5 + K1 ∴ P ( t = 515 ) = 0,5 + 0,3264 ∴ 
 
P( t = 515 ) = 0,8264 ou, P( t = 515 ) = 82,64% 
 
 
 
8.5 – O Método do PERT. 
 
 A aplicação do método PERT segue a seguinte marcha: 
 
1º Passo – Estimar os três possíveis tempos de execução para 
cada atividades. 
 
� a = tempo otimista ou de menor duração; 
� b = tempo pessimista ou de maior duração; 
� m = tempo mais provável de ocorrer ou moda. 
 
σ 
 te= 500 Ts=515 
0,5 K1 
dias 
 a te b a te b 
MODA MODA 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 138 
 
 
2º Passo - Calcular o Tempo Médio Esperado e a Variância de 
cada Atividade. 
 
 O estabelecimento da probabilidade de conclusão de um 
projeto dentro de espaço de tempo pré-determinado, é função da 
variância conexa ao tempo total do programa. 
 
 Para tanto, calcula-se a variância de cada nó (evento) 
integrante do Caminho Critico, após ter sido obtida a variância das 
atividades dele integrantes. Deste modo, a variância 
correlacionada ao tempo total de duração de um projeto é 
equivalente à soma das variâncias das atividades componentes do 
caminho crítico. 
 
hocriticomincakREDE ss →Σ= 
 
 
6
bm4a)k(te ++= 
 
2
2
6
ab)k(s





 −
=σ=
 
 
3º Passo - Determinação do Caminho Crítico. 
 
Nesta etapa, definir os TCI e TTI de cada evento da rede, 
considerando os tempos estimados das atividades, te(k). 
 
4º Passo - Calcular a Variância dos Nós e da Rede. 
 
hocriticomincakREDE ss →Σ= 
 
Volta-se a ressaltar que o calculo da variância da rede deve 
ser efetuada utilizando as variâncias das atividades integrantes do 
caminho crítico, pois ocorrendo atraso em qualquer delas, decorre 
em atraso no evento final. 
 
5º Passo – Calcular a Probabilidade de Ocorrência do Evento 
Final. 
 
σ
−
=
eTTsz 
 
 Tendo “z” e dispondo de uma tabela que forneça a área sob 
a Curva Normal, obtêm-se k1, coeficiente que estabelece a 
probabilidade de ocorrência ou de cumprimento do projeto dentro 
do tempo desejado, Ts . 
 
 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 133 
 
 
 
8.6 – Exemplo de Aplicação. 
 
 Dado o projeto abaixo, representado pelo conjunto de suas 
atividades, calcular a probabilidade dos serviços serem executados 
num prazo inferior a 100 dias. 
 Para tanto, preencher e indicar os valores dos tempos e da 
variância correlacionados a cada nó da figura indicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Passo – Cálculo do Tempo Esperado 
 
 
Estimativas Atividade Evento 
a m b te s 
A 0-1 8 10 14 10,33 1 
B 0-2 14 20 26 20 4 
A’ 1-2 0 0 0 0 0 
C 2-3 16 20 22 19,67 1 
D 2-4 24 30 36 30 4 
E 3-4 28 36 46 36,33 9 
F 4-5 18,5 20 21,5 20 0,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo – Calcular a Média e a Variância das Atividades. 
dias,)A(te 33106
141048
=
+×+
= 
1)
6
6()
6
814()
6
ab()A(s 222 ==−=−= 
 
 
3º Passo - Determinação do Caminho Crítico. 
 
 
 
B D F 
 A A’ C E 
o 
1 
2 
3 
4 5 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 134 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nó Tempo Mais Cedo Tempo Mais Tarde 
0 0 0 
1 10,33 20 
2 20 20 
3 39,67 39,67 
4 76 76 
5 96 96 
 
 
 
4º Passo – Calcular a Variância dos Nós e da Rede. 
 
 Neste caso, adota-se o tempo mais cedo das atividades 
integrantes do Caminho Crítico. 
 
2222
FBA)FBA( σ++σ+σ=σ +++ LL 
 
 
Nó te(k) s (k) 
0 0 0 
1 10,33 1 
2 20 4 =0+4 
3 39,67 5 =4+1 
4 76 14 =9+5 
5 96 14,25 =14+0,25 
Obs: é mais crítica a tarefa que apresentar a maior 
variância. 
 
 
 
 
 
 
5º Passo – Calculo da Probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
061
773
4
2514
96100
2
,
,,
tTs
z
REDE
e
==
−
=
σ
−
= 
 
 te= 96 Ts=100 
O
,3554
 
0,5 
dias 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 135 
 
 
Sendo, z = 1,06, da tabela obtém-se K1 = 0,3554, que corresponde 
a área da curva de probabilidade entre os valores 96 e 100 dias. 
Então: 
P (z < 100) = 0,5 + 0,3554 = 0,8554 ou, 
 P (z < 100) = 85,54% 
 
8.7 – Exercício. 
 
a) Probabilidade de Ocorrência. 
 
 Partindo do problema anterior, item 7.5, determinar o tempo 
total de execução para que ele ocorra com uma probabilidade de 
cumprimento de 90%. 
 
P(rede) = 90% → P ( 0,50 + 0,40 ) 
 
Considerando que K1 = 0,40, da tabela obtém-se: z = 1,28. 
Sendo: 
σ
−
=
eTTsz 
Então, 
773
96281
,
Ts
,
−
= ∴ Ts ≅ 100 dias 
 
Logo, o tempo estimado para executar o referido projeto 
considerando uma probabilidade de êxito de 90% é de 100 dias. 
 
 
b) Dado o projeto representado pelo seu rol de atividades, definir: 
- Projeto da rede; 
- Caminho Critico; 
- A duração total do programa; 
- A probabilidade de o programa ser executado com 90% 
de certeza. 
 
 
 
 
Atividade Dependência Previsão Otimista 
Previsão Mais 
Provável 
Previsão 
Pessimista 
A --- 12 15 20 
B --- 16 18 19 
C A 3 5 7 
D B 7 10 12 
E A 5 6 8 
F B 5 8 12 
G C,D 8 12 14 
 
 
Atividade TCI Variância Desvio 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
Variância da Rede 
Para o calculo da variância da rede só considerar atividades 
integrantes do caminho critico. 
 
 
 
 
 
 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 136 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avila & Jungles Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 137 
 
 
c) Dado o projeto representado por suas atividades,informar: 
 
� O tempo de execução para ser realizado com uma 
confiabilidade de 90%; 
� A probabilidade de que seja realizado em 47 tempos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila, MSc. Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 138 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade Dependência Tempo 
 Otimista 
Tempo 
Médio 
Tempo 
 Pessimista 
Tempo 
Estimado s²(k) s(k) 
A - 3 4 5 
B - 3 3 6 
C - 2 4 6 
D A 5 6 7 
E B 7 8 9 
F C 6 7 8 
G D;B 1 3 3 
H E 3 4 5 
I I 1 3 5 
J F;B 5 5 5 
K G;H 8 10 11 
L E 8 10 12 
M I;J 9 10 11 
N K 6 8 10 
P M 7 7 10 
R N;P;L 8 9 10 
 
Obs: para o calculo da variância da rede, somente considerar atividades integrantes do caminho critico. 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila, MSc. Planejamento 
PlnjArq~aula8~PRBLT 
 
 
 139 
 
 
 
 
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 
Tab.5.4 – Área sob a Curva Normal (%)

Outros materiais

Outros materiais