Apostila de Cálculo II (Integrais)

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APOSTILA DE CÁLCULO 2 
 
 
 
 
 
Professor : Gustavo 
 
 
 
 2 
Cálculo 2 
 
 
A integral representa um dos conceitos mais importantes da Matemática. Ela segue duas linhas com 
interpretações distintas: tem um procedimento inverso à diferenciação e é um método eficaz no cálculo 
de áreas sob uma curva. Devemos destacar que o cálculo de áreas de figuras planas, cujos contornos 
são segmentos de reta, para nós, é bastante familiar. A integração surgiu historicamente da necessidade 
de se calcular áreas de figuras cujos contornos são não retilíneos. Porém, vale realçar que o cálculo 
integral, não se restringe apenas à determinação dessas áreas. São inúmeras as aplicações da Integral. 
Como operação, a integração é a inversa da diferenciação. Neste contexto, devemos considerar que a 
integral é um processo para se achar uma função a partir do conhecimento de sua derivada. 
 
Primitiva de uma função 
Dada a função f, definida num intervalo real, chamamos de primitiva de f à função g, tal que g’(x) = f(x). 
Assim, se f(x) = 2x então as funções: 
 g(x) = x²; g(x) = 2x + 4; g(x) = 2x – 10, são algumas das primitivas de f. Devemos considerar 
que as diversas primitivas de uma função f, diferenciam-se por uma constante real. Assim, podemos 
estabelecer a família de primitivas de f como sendo g(x) = x² + c, onde c é um número real. 
Exemplo 
Calcule a primitiva das funções abaixo: 
 a) f(x) = 3x² ⇒ g(x) = x³ + c 
 b) f(x) = senx ⇒ g(x ) = cosx + c 
 c) f(x) = 
x
1
 ⇒ g(x) = nl x + c 
Integral Indefinida 
 
 O processo pelo qual se determina a primitiva de uma função dada denominamos de Integral, assim, 
dada à primitiva f(x) + c de uma função F(x) a relação entre f e F é expressa por: 
∫ += CxfdxxF )()( , que se lê na parte esquerda, integral de F(x) com relação à x, igual a integral 
definida que é f(x) + C. 
Fórmulas de Integração; 
As principais funções têm suas integrais diretamente obtidas por meio das regras de derivação. 
Assim: 
1. ∫ duu
m
 = 
1
1
+
+
m
um
 + C 
2. ∫ uducos = senx + C 
 3 
3. ∫ xdxsen = - cosx + C 
4. ∫ u
du
 = nl u + C 
5. ∫ dua
u
 = 
na
au
l
 + C 
 
Exemplos: 
Questão 1. ∫ dxx
3
 = 
13
13
+
+x
 = 
4
4x
 + C 
Questão 2. ∫ xdcos = senx + c 
Questão 3. ∫ dx
x2 = 
2
2
n
x
l
 + C 
 
Propriedades da integral definida 
 
 Se f e g são funções contínuas e K um número real então: 
 
1. ∫ dxxfk )(. = K. ∫ dxxf )( 
 
2. ∫ + dxxgf ))(( = ∫ ∫+ dxxgdxxf )()( 
 
3. ∫ ∫ − dxxgf ))(( = ∫ ∫− dxxgdxxf )()( 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. ∫ +− dxxx )13( 2 = ∫ ∫ ∫+− dxxdxdxx 232 = Cx
xx
++− 2
2
3
3
23
 
 
Questão 2. ∫
+− dx
x
xx
2
23 35
 = ∫
−+− )35( 2xx = C
x
x
x
+−−
35
2
2
 
 
Questão 3. ∫ − dxx
x )45( = ∫ ∫− x
dxdxx 45 = Cnx
n
x
+− l
l
4
5
5
 
 
Questão 4. ∫ + dxxe
x )cos35( = 5 ∫ ∫+ xdxdxex cos3 = 5e x + 3 senx + C 
 
Questão 5. ∫ − dxxx )( 2 = ∫ dxx2 - ∫ dxx 2
1
 = Cxx +−
3
2
3
2
3
3
 
 4 
 
Questão 6. ∫ dxn
x )5.3( l = ∫ dxn x35l = 3 x . Cn +5l 
 
Questão 7. ∫ + dxx
2)43( = ∫ ++ dxxx )16249( 2 = 3x³ + 12x² + 16x + C 
 
Questão 8. ∫
+ dx
x
x 2)1(
 = ∫
++ dx
x
xx
2
1
221
 = ∫ ++
−
dxxxx )2( 232121 = 
 = 2x 2
1
+ 2
3
3
4
x + Cx +2
5
5
2
 
 
O método de substituição no cálculo da integral 
Em alguns casos para se encontrar a integral do tipo ∫ dxxf )( , torna-se conveniente, fazer uma 
substituição de variável. Por exemplo: seja calcular 
∫ + .)1(2 42 dxxx Fazendo u = (x² + 1), teremos xdx
du 2= , onde du = 2xdx e. 
dx =
x
du
2
 , substituindo-se na integral acima: ∫ x
du
ux
2
..2 4 = ∫ duu
4
 = 
5
5u
 , fazendo a volta temos: 
∫ =+ dxxx )1(2 2 C
x
+
+
5
)1( 52
. 
 
Exemplos: 
Questão 1. ∫ − dxx
9)5( 
Solução: fazendo u = x – 5 temos 1=
dx
du
 ou du = dx, substituindo-se: 
 
 ∫ = 10
10
9 uduu , então; ∫ +
−
=− Cxdxx
10
)5()5(
10
9
 
 
Questão 2. ∫ − dxxx 32
2
 
 
 Solução: fazendo u = x² - 3, temos du = 2x dx ∴ dx = 
x
du
2
 então 
 
 ∫ − 32
2xx dx = ∫ x
du
ux
2
.2 = 
3
.2
2
3
2
1 uduu =∫ = C
x
+
−
3
)1(2 32
 
 
Questão 3. ∫
−
dx
x
x
13
2
 
 
 5 
 Solução : u = x³ - 1 → du = 3x² dx ∴ dx = 23x
du
 
 
 ∫ 2
2
3
.
x
du
u
x
 = ∫ u
du
3
1
 = nul
3
1
 = Cxn +− )1(
3
1 3
l 
 
Questão 4. ∫∫ = dxx
x
tgxdx
cos
sen
 
 
 Solução: u = cosx → du = -senx dx ∴ dx = - 
x
du
sen
 
 
 ∫ − )sen(
sen
x
du
u
x
 = - ∫ u
du
 = - nul = - Cxn +)(cosl 
 
Questão 5. ∫ + dxxx 4
2
 
 Solução : u = x² + 4 → du = 2x dx ∴ dx = 
x
du
2
 
 ∫ x
du
ux
2
. = ∫ duu 2
1
2
1
 = 
2
3.2
1 2
3
u
 = 
3
3u
 = Cx ++
3
42
 
 
 
Questão 6. ∫ dxx
e x
2
1
 
 
 Solução : u = 
x
1
 → du = - dx
x2
1
 ∴ dx = - x² du 
 
 ∫ − )( 22 duxx
eu
 = - ∫ due
u
 = - e u = - e x
1
 + C 
 
Questão 7. ∫ + dxe
e
x
x
3)1( 
 
 Solução : u = e 1+x → du = xe dx ∴dx = 
xe
du
 
 
 ∫ x
x
e
du
u
e
.3 = ∫
− duu 3 = - 22
1
u
 = - C
ex
+
+ 2)1(2
1
 
 
 
 
Integração por partes 
 
 6 
Se duas funções u e v são diferenciáveis então: 
d (uv) = u dv + v du ou u dv = d (uv) – v (du), onde : 
 ∫udv = uv - ∫vdu 
• Como foi mostrada a integração por partes se aplica no geral em funções expressas como produto 
de duas funções dadas. Assim, torna-se necessário à escolha minuciosa das partes u e dv, de modo 
a tornar a integral dada mais simples possível. 
Exemplos: 
 Questão 1. ∫ dxxx .sen. 
 Solução: 
 Fazendo u = x, temos du = dx e 
 dv = senx dx têm-se v = ∫ xdxsen ∴ v = - cosx 
 Substituindo na fórmula ∫udv = uv - ∫vdu , temos : 
 ∫ dxxx .sen = x.(-cosx) - ∫ − dxx)cos( = -x cosx + ∫ xdxcos então: 
 ∫ dxxx .sen. = -x cosx + senx + C 
 
Vale salientar que as escolhas de u e v foi bastante feliz, visto que recaímos em uma integral de 
solução simples. 
 Para comprovar o fato, vejamos o caso em que a escolha fosse feita de outra forma: 
Fazendo u = senx temos du = cosx dx 
dv = x dx → v = ∫ dxx. Q v = 2
2x
 
Substituindo na fórmula ∫udv = uv - ∫vdu , temos: 
 ∫ dxxx .sen. = senx. ( 2
2x ) - ∫ dx
x
x )
2
.(cos
2
 o que torna o cálculo da integral muito mais complexo. 
 
 
 
Questão 2. ∫ dxex
x
.. 
 
 Solução: 
 Fazendo u = x → du = dx 
 dv = e x dx → v = ∫ dxe
x
 ∴ v = e x , substituindo na fórmula: 
 ∫ dxex
x
.. = x.e x - ∫ dxe
x
. = x.e x - e x = e x ( x – 1) + C 
 
 
 
Integral definida 
 
 7 
Se f(x) é uma função tal que g(x) é uma primitiva então: ∫ += Cxgdxxf )()( . 
A integral definida de f(x) num intervalo de limites a e b é a diferença 
g(b) – g(a) a qual indicamos por: 
 ∫
b
a
dxxf )( = g(b) – g(a) 
Propriedades da integral definida 
 
 Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo de integração [a , b] e c é uma constante 
qualquer, então: 
 
P1. ∫ ∫=b
a
b
a
dxxfcdxxcf )()( 
 
P2. ∫ ∫ ∫±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 
 
P3. ∫ ∫ ∫+=
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()( para a < c < b 
 
P4. ∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()( 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 Se f(x) é uma função contínua no intervalo de integração [a, b] e se g(x) é uma primitiva dessa 
função, então: 
 ∫ −==
b
a
b
a agbgxgdxxf )()()]()( 
 
Exemplos: 
Questão 1. ∫
−
1
1
2
.dxx 
 
 
 Solução: 
 
 ∫
−
1
1
2dxx = 
3
3x ] 1 1− = 33 )3
1()
3
1( −− = 
27
2
 
 
Questão 2. ∫ +
1
0
2 1
2 dx
x
x
 
 
 8 
 
 Solução: 
 
 Calculando a integral: 
 
 Fazendo u = x² + 1 → du = 2x dx ∴ dx = 
x
du
2
 
 ∫
1
0 2
2
x
du
u
x
 = ∫
1
0 u
du
 = nul = )1( 2 +xnl ]10 = 1)2( nn ll − = 2nl 
 
 
 
Questão 3. ∫
−
−
1
1
32 )2( dxxx 
 
 Solução: 
 
 ∫
−
−
1
1
32 )2( dxxx = [
43
2 43 xx
− ] 1 1− = 





−
−
−





−
4
1
3
2
4
1
3
2
 = 
3
4
 
 
Cálculo de Áreas 
 
 
Dada à função f contínua em [ a , b ] e não negativa, a área A da figura abaixo é dada por 
A = ∫
b
a
dxxf )( 
 
 
 
 
 
 
A área A pode ser interpretada como a área limitada pela curva contínua y = f(x) , pelo eixo X e pelas 
retas x = a e x = b . 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. Achar a área limitada pela curva y = x³ + 3x², pelo eixo X e pelas retas 
 x = 0 e x = 2. 
 
 
 
 
 
 
a 
f(x) 
b 
0 2 
 9 
 Solução: A = ∫ +
2
0
23 )3( dxxx 
 
 A = [ 3
4
4
x
x
+ ] 20 = 12 
 
 
 
 
Questão 2. Achar a área limitada pela curva y = 6x + x² - x³, pelo eixo X no primeiro quadrante. 
 
Solução: A = ∫ −+
3
0
32 )6( dxxxx = 
3
0
43
2
43
3 





−+
xx
x 
 
 A = 
4
63
 
 
 
 
 
 
Questão 3. Calcular a área limitada pela curva y = - x² + 3x - 6, pelo eixo X, no intervalo [ 1 , 3 ]. 
Solução: A = ∫ −+−
3
1
2 )63( dxxx = 
3
1
23
6
2
3
3 




−+
−
x
xx
 
 
 A = - 
3
26
 
 
 
• Na definição de área ficou estabelecido que f(x) era uma função contínua e não negativa em [a, b]. 
Se f(x) é negativa em [a , b] , ou seja , se a curva está abaixo do eixo X, então, o valor de A = 
∫
b
a
dxxf )( é negativo. Essas áreas são denominadas de áreas negativas. De um modo geral, se f(x) < 
0 em [a , b] 
Então, ∫ −=
b
a
Axf .)( . Dessa forma, a área do exemplo é A = - ( - 
3
26
 ) = 
3
26
. 
 
Convém lembrar que para o cálculo de áreas sob curvas é necessário o conhecimento do 
comportamento gráfico das funções, pois existem como nos exemplos 1 e 2, funções cujos gráficos 
situam-se abaixo e acima do eixo X. 
0 3 
 3 1 
 10 
Assim, a área total absoluta entre uma curva, o eixo X em um intervalo [a, b] é: Área total = 
∑ ∑− )()( ivasáreasnegativasáreasposit 
 
De um modo geral se f(x) 0≥ em [ a , c] e f(x) 0≤ em [c , b], 
Então, a área total absoluta é A = ∫
b
a
dxxf )( = ∫ ∫−
c
a
b
c
dxxfdxxf )()( = A 1 - A 2 
 
 
 
 
 A1 
 a c b 
 A 2 
 
 
 
 
 
Questão 4. Achar a área limitada pela curva y = senx , o eixo X em [0 , 2pi ] 
 
 
Solução: 
Tomando como base o gráfico da função: 
 
 
 0 pi 2pi 
 
 
 
 
Temos: A = ∫
pi2
0
sen xdx = ∫ ∫−
pi pi
pi0
2
sensen xdxxdx = [ ] [ ] pipipi 20 coscos xx −−− 
 
 A = - (cospi - cos0) +(cos 2pi - cos pi ) = 2 + 2 = 4 
Questão 5. Achar a área limitada pela curva y = 2x + x² - x³ , pelo eixo X e pela retas 
 x = - 1 e x = 1. 
 
Solução: 
Gráfico ao lado 
 -1 0 1 
A = - ∫
−
−+
0
1
32 )2( dxxxx + ∫ −+
1
0
32 )2( dxxxx 
 3 
 11 
A = - 
0
1
43
2
43
−






−+
xx
x + 
1
0
43
2
43 




−+
xx
x 
A = )
12
5(
12
13
−− = 
2
3
 
Áreas compreendidas entre curvas 
 
 Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas no intervalo [a , b], tais que 
 0 )()( xfxg ≤≤ para todo x do intervalo, então a área A da região compreendida entre os gráficos de f(x) 
e g(x) de x = a a x = b é dada por: 
 A = ∫ −
b
a
dxxgxf )]()([ 
Exemplos: 
Questão 6. Achar a área limitada pelas curvas: y = x² e y = x. 
 Solução: 
Achando os pontos de interseção das curvas: 
 x² = x ∴ x² - x = 0 → x’= 1 ou x’’ = 0 
 Então : A = ∫ −
1
0
2)( dxxx = 
1
0
32
32 




−
xx
= 
6
1
 0 1 
Volume de um Sólido de Revolução 
 
 Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido, que é chamado 
sólido de revolução. A reta ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução. 
 Por exemplo, fazendo a região limitada pelas curvas y = 0, y = x e x = 4 girar em torno do eixo dos x, 
o sólido de revolução obtido é um cone. 
 
 
Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0 , x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y, obtemos 
um cilindro. 
 
 12 
 
 
(1) Definição: Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f 
de a até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x, é definido por: 
( )[ ]∫= ba dxxfV .2pi 
 
Ex.1: A região R, limitada pela curva 2
4
1
xy = , o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno do eixo 
dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. 
 
 
 
 
dxxV
2
4
1
2
4
1
∫ 





= pi = 
4
1
5
5
.
16 



 xpi
 = [ ]55 14
80
−
pi
 = ( )vu.
80
1023
pi 
 
 
Ex.2: A região limitada pela parábola cúbica y = x³, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do 
eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. 
 
 
 
Observe que a função é y = x³ e a rotação em relação ao eixo y, então, a integral será ∫ ydy , teremos 
que mudar a variável de x para y, logo, se: y = x³ 3 yx => . 
 13 
( )[ ]∫= dc dyygV 2pi > [ ]∫= 80 23 dyyV pi > 
8
0
3
5
5
3
. 





= yV pi > 3
5
8
5
3pi
=V > vu.
5
96pi
 
 
(2) A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b. 
 
Supondo f(x) ≥ g(x) , [ ]bax ,∈∀ , o volume do sólidoT, gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x, 
é dado por: ( )[ ] ( )[ ]( )∫ −= ba dxxgxfV 22pi . 
 
 
 
 
(3) A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. 
 
Se o eixo de revolução for a reta y = L , temos: ( )[ ] .2dxLxfV b
a∫ −= pi . 
 
 
 
 
 
 
Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos : ( )[ ]∫ −= dc dyMygV 2pi . 
 
 
 
 
 
 14 
 
 
 
 Ex. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada 
pela parábola y = ( )²13
4
1
x− e pela reta y = ( )5
2
1
+x . 
 
 
 
 
( ) ( ) dxxxV ∫
− 











+−



−=
1
3
22
2 5
2
113
4
1
pi > ( ) ( )∫
−




++−+−=
1
3
4 2510²
4
1
²26169
16
1 dxxxxxV pi 
 
( )∫
−
+−−=
1
3
4
²304069
16
dxxxxV pi > 
1
3
5
5
³10²2069
16
−






+−−=
x
xxxV pi > 
80
1924pi
 . 
 
Ex. Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 4, da região limitada por 
Y = 
x
1
, y = 4 e x = 4. 
 
 
 
Neste exemplo, observamos que o raio da secção transversal do sólido não é f(x) – L, más sim L – f(x), 
já que f(x) < L. Porém, como (f(x) – L)² = (L – f(X))² , a fórmula continua a mesma. 
 
[ ]∫ −= ba dxLxfV 2)(pi > ∫ 



−=
4
4
1
2
41 dx
x
pi > ∫ 





+−
4
4
1 16
8
²
1 dx
xx
pi > 
4
4
1
16ln81 



+−− xx
x
pi 
= vu.16ln8
4
255






−pi . 
 
Ex. A região R delimitada pela parábola x = 1²
2
1
+y e pelas retas x = -1, y = - 2 e y = 2, gira em torno da 
reta x = - 1 . Determinar o volume do sólido de revolução obtido. 
 15 
 
( )[ ]∫ −= dc dyMygV 2pi 
 
 
∫
−




−−+=
2
2
2
)1(1²
2
1 dyypi > ∫
−






+
2
2
2
2²
2
1 dyypi > ∫
−






++
2
2
4 4²2
4
1 dyyypi > 
2
2
35
4
3
2
20
−






++ yyypi > 
= vu.
15
448pi
 . 
 
 
Área de uma Superfície de Revolução 
 
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície de revolução. 
Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S obtida quando uma 
curva C, de equação y = f(x), [ ]bax ,∈ , gira em torno do eixo dos x. 
 
 
 
Vamos supor que f(x) 0≥ , para todo [ ]bax ,∈ , e que f é uma função derivável em [ ]ba, . 
Definição : Seja C uma curva de equação y = f(x) , onde f e f’ são funções contínuas em [ ]ba, e 
[ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ . A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C ao redor do 
eixo dos x, é definida por: [ ] dxxfxfA b
a∫ +=
2)('1)(2pi . 
 
Ex. Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos x , da curva 
dada por y = x4 , 4
4
1 ≤≤ x . 
 16 
 
( ) ( )[ ]∫ += ba dxxfxfA 2'12pi > dxxx
41.42
4
4
1 +∫pi > dx
x
x
x
4
.42
4
4
1
+
∫pi > dx∫ +
4
4
1 48pi 
 
> 
( )
4
4
1
2
3
2
3
48












+x
pi > ( ) au.17172128
3
2
−
pi
 
 
 
Ex. Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos y, da curva 
dada por x = y³ , 10 ≤≤ y . 
 
 
 
( ) ( )[ ]∫ += dc dyygygA 2'12pi > A = ( )∫ +10 223 312 dyyypi > A = dyyy∫ +10 43 912pi > 
A = ( ) 1
0
2
3
491
54
2






+ ypi > A = ( ) ..11010
27
au−
pi
 
 
 
Integração por Substituição Trigonométrica 
 
Uma integral que envolve uma das seguintes expressões radicais ²² xa − , ²² xa + ou ²² ax − ( onde 
a é uma constante positiva) pode, muitas vezes, ser transformada numa integral trigonométrica familiar, 
utilizando-se uma substituição trigonométrica adequada ou uma mudança de variável. Obs: quando uma 
integral aparece: ²² ua − ou a² - u², deve-se substituir nesta expressão, “u” por “asenz” 
Pois: ( )zsenasenzaaasenzaua ²1²²²²)(²²² 2 −⇒−=−=− zazsena ²cos²1 ⇒−⇒ zacos= . Cqd. 
 
Sendo assim temos as substituições: 
 17 
 
X= asenz, substitui ²² xa − 
X = atangz, substitui ²² xa + 
X = asecz, substitui ²² ax − 
 
 
 
 
Ex. Calcular a integral dx
x
x
∫
−
²2
²9
 
 
U = x , a = 3 > x = 3 senσ > σσddx cos3= > σσ
σ
σ d
sen
cos3.
²9
cos3
2
1
∫ > ∫ σσdg
2cot
2
1
 
> ( ) cg +−− σσcot
2
1
 > c
x
arcsen
x
x
+







−
−
−
3
²9
2
1
 
 
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
 
 Já vimos que uma função racional f(x) é definida como o quociente de duas funções polinomiais, 
ou seja, ( ) ( )( )xq
xp
xf = , onde p(x) e q(x) são polinômios. Vamos apresentar um procedimento sistemático 
para calcular a integral de qualquer função racional. A idéia básica é escrever a função racional dada 
como uma soma de frações mais simples. Para isto, usaremos um resultado importante da álgebra, que 
é dado na proposição seguinte. 
 
Proposição: Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto 
de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. 
 
Exemplo: 
 
 O polinômio q(x) = x² - 3x + 2 pode ser escrito como o produto dos fatores lineares x – 2 e x – 1, ou 
seja, q (x) = (x - 2 ) (x – 1). 
 
O polinômio q(x) = x³ - x² + x – 1 pode ser expresso como o produto de fator linear x – 1 pelo fator 
quadrático irredutível x² + 1, isto é, q (x) = ( x² + 1 ) ( x – 1 ) . 
 
 A decomposição da função racional f(x) = )(
)(
xq
xp
 em frações mais simples está subordinada ao 
modo como o denominador q(x) se decompõe nos fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis. Vamos 
considerar os vários casos separadamente. As formas das respectivas frações parciais são asseguradas 
por resultados da álgebra e não serão demonstradas. 
 Para o desenvolvimento do método, vamos considerar que o coeficiente do termo de mais alto 
grau do polinômio d denominados q(x) é 1. Se isso não ocorrer, dividimos o numerador da função 
racional f(x) por esse coeficiente. 
 Vamos supor, também, que o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). Caso isso não ocorra, 
devemos primeiro efetuar a divisão de p(x) por q(x). 
 As diversas situações serão exploradas no exemplos. 
 18 
 Os fatores de q(x) são lineares e distintos. Nesta caso, podemos escrever q(x) na forma q(x) = 
( )( ) ( ),...21 naxaxax −−− onde os 1a , i = 1,...,n, são distintos dois a dois. A decomposição da função 
racional f(x) = ( )( )xq
xp
 em frações mais simples é dada por: 1, onde nAAA ,...,, 21 são constantes que devem 
ser determinadas. 
 
Ex. Fatores lineares distintos: 
 
a) Calcular a integral ∫
− 4²x
dx
 
 
 
 
224²
1
+
+
−
=
− x
B
x
A
x
 > 
( ) ( )
( )( )22
22
4²
1
+−
−++
=
− xx
xBxA
x
 > 1 = Ax + 2A + Bx – 2B 
 
1 = Ax + Bx + 2A – 2B > 1 = x(A + B) + 2A – 2B > 






=−
=+
122
0
BABA
 > A = - B > 2(-B) – 2B 1 
-2B – 2B = 1 > -4B = 1 > B = 
4
1−
 > A = 
4
1
 > 
2
4
1
2
4
1
4²
1
+
−
+
−
=
− xxx
 > 
∫ ∫ ∫ +
−
+
−
=
−
dx
x
dx
xx
dx
2
4
1
2
4
1
4²
 > ∫ ∫ ∫ +
−
−
=
24
1
24
1
x
dx
x
dxd > ∫∫ ∫ −= u
du
u
dud
4
1
4
1
 > 
∫ +−−= 2ln4
12ln
4
1
xxd + c. 
 
 
Lista de Exercícios – Revisão de Conteúdo 
 
 
 
1) Calcule as seguintes derivadas: 
a) ( ) ( )( )12.1 −+= xxxf b) ( ) ( ) ( )xxxf cos.12 += 
c) ( )
x
x
xf 23 += d) ( ) ( )
12 −
=
x
xsen
xf 
e) ( ) 2x
e
xf
x
= f) 3
ln)(
x
x
xf = 
 
 
 
 
2) Calcule as integrais indefinidas: 
a) ∫ + dxxx )5( 2 b) ∫ ++ dxxx )1053( 24 c) dxxxe
x
∫ 





+−
435 
d) ∫ + dxxx )cos( 3 e) ∫ + dxx )73( f) ∫ + dxxxsen )cos43( 
 19 
g) ∫ +− dxxx )35( 2 h) dxxx 5
2
2
3
−+∫ i) ∫ dxx6
1
 
j) ∫ − dxx 52 k) ∫
− dx
x
x
2
2 1
 
l) ∫ dxx5 
m) ∫ dxx3 2 n) ∫ dxx3
1
 o) ∫ − dttsent )2(cos 
 
 
3) Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: 
a) ∫ + dxxx 212 b) ∫ + dxx1 c) dxxx∫ + )2cos( 43 d) ∫ + dxx )13(cos 
e) ∫ dxe x5 f) ∫ dxxsen )7(7 g) ∫ + dxx 17)1( h) ∫ dxe x33 
i) ∫ dxex x
2
 j) ∫ dxxe xsen cos k) ∫ dxx)3(cos 
 
 
 
 
 
4) Calcule as integrais definidas: 
a) ∫
1
0
dxx b) ∫
2
1
2 dxx c) ∫
2
0
cos
pi
dxx d) ∫ +−
2
0
2 )53( dxxx 
e) ∫
2
0
pi
dxxsen f) ∫
−
1
1
7 dx g) ∫
2
1
2
1 dx
x
 h) ∫ +
2
0
)cos1(
pi
dxx 
i) ∫
−
1
1
2 dxx j) ∫
−
1
1
42 dxx k) dt
t∫
2
1
4
3
 l) ∫ +
pi
pi
2
)cos( dxxxsen 
 
 
5) Calcule as seguintes integrais: 
a) dxx.6∫ b) ( )dxxx .423 35∫ +− 
c) ( )dxxsen .2∫ d) dxx .
2
3∫ 
e) dxx.3∫ f) ( )dxxx .3 2∫ − 
g) ∫
3
0
.dxx h) ∫ 





−
2
0
.
2
1 dxx 
i) ∫
−
2
1
.4 dx j) ( )∫ +4
1
2 dxxx 
 
6) Determine a equação da velocidade do corpo no instante t, a partir dos valores fornecidos. 
 412)( −= ttA , sabendo-se que V(2) = 10 m/s. 
 
 20 
7) Calcule a área entre a parábola e o eixo x. 
 3694 2 =+ yx 
 
8) Calcule a área das figuras (limitadas e fechadas) abaixo, utilizando uma integral definida: 
 
 a) 
 
Resp: 2 unidades de área 
 b) 
 
Resp: 6 unidades de área 
 
 
9) Calcule a área das figuras limitadas e fechadas pelas funções e o eixo x nos respectivos 
intervalos, esboçando o gráfico: 
 a) xy = em [0,3] b) 82 2 +−= xy em [-2, 2] c) 4=y em [0,4] 
 
 c) 122 ++= xxy em [-3, 3] d) xseny = em [0, ∏] e) xey = em [1, 3] 
 
10) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor 
dos eixos dados. 
a) y = x + 1 , x = 0, x = 2 e y = 0 , ao redor do eixo dos x. 
b) y² = 2x , x = 0, y = 0 e y= 2 , ao redor do eixo dos y. 
c) y = 2x -1, y = 0, x = 0, x = 4, ao redor do eixo dos x. 
d) y = senx , de 
2
pi−
 até 
2
3pi
, ao redor do eixo dos x. 
e) y = x² , x = 0, y = 0 e y = 4, ao redor do eixo dos . 
f) y² = 16x e y = 4x , ao redor do eixo dos x. 
g) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada por 
y = 1 – x² , x = -2 , x = 2 e y = 2. 
h) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada por 
y = 3 + x² , x = -2 , x = 2 e y = 2. 
i) Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta y = 4x , 
20 ≤≤ x , em torno do eixo dos x e depois em torno do eixo dos y. 
j) Calcular a área da superfície obtida pela revolução do arco da parábola y² = 8x , 121 ≤≤ x , ao 
redor do eixo dos x. 
k) Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo dos x 
pela curva y= 2x³ , 20 ≤≤ x 
l) yx = , 41 ≤≤ y , ao redor do eixo dos y. 
 
11) Calcular a integral indefinida. 
 
a) ∫
− 25²² xx
dx
 
 21 
b) dx
x
x
∫
− 9²
³
 
c) dxxx∫ − ²4² 
d) dx
x
x
∫
+
³
²1
 
e) dxx∫ + ²4 
f) dxx∫ − ²16 
g) ∫
− ²169 t
dt
 
 
12) Calcule as integrais: 
 
a) ∫
−+
+ dx
xxx
x
6²³
1
 
b) ∫
−+
+ dx
xxx
x
2²³
32
 
c) ∫ +−−
− dx
xxx
x
3²3³
2
 
d) ∫ +−
− dx
xx
x
65²
15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINTESE DA UNIDADE 
 
 
 
 
As integrais foram desenvolvidas em estudos realizados ainda no século XVII e o seu principal 
objetivo é centrado no cálculo de somas muito grandes, isto é, somatórias de áreas infinitesimais. É 
possível também calcular áreas de figuras planas limitadas por funções curvilíneas, bem como resolver 
vários tipos de equações diferenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
 
 
 
AVILA, Geraldo. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1988. 
GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1988. 
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 8. São Paulo: Atual Editora. 1999. 
MEDEIROS, Matemática Básica Para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas. 2002. 
MORETTIN, Pedro A. Hazzan, Samuel & BUSSAB, Wilton de O. Cálculo de funções de uma e várias 
variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003. 
WHIPKEY, Kenneth & WHIPKEY, Mary Nell. Cálculo e suas múltiplas aplicações. Rio de Janeiro: 
Campus, 1982. 
FLEMMING,Diva Marília.GONÇALVES, Mirian Buss.Cálculo A.São Paulo.6 Edição.Pearson.2006. 
Apostila Matematiquês – adaptada por Prof. Luiz Gustavo B.M. Porto .