Aula 04 - Analise nodal

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Circuitos Elétricos I
Método das Tensões de Nós
Capitulo 3 do Nilsson
Técnicas de Análise de Circuitos
Método das Tensões de Nó
 Determinam-se as diferenças de potencial entre Nós Essenciais
 Vantagem: Menor número de Equações Simultâneas
 Número de Equações Simultâneas
 No máximo n.Eqs. = (ne-1) Equações baseadas nas tensões de Nó.
 Tensão de Nó
 É a diferença de potencial entre um Nó Essencial e o Nó de Referência
 Nó de Referência
 1 Nó de Referência - Terra
 O potencial do Nó de referência é estabelecido como 0V (zero Volts)
 Qual deve ser o Nó de referência?
• Qualquer nó essencial. Geralmente (mas nem sempre) o mais indicado é o nó que 
possui o maior número de bipolos conectados a ele.
 Exemplo
A B
C
ne = 3

2 Equações
+
-
V1
R4
R3
R2
R1 Is1
2
Método das Tensões de nó
 A tensão de nó é definida como a diferença entre a tensão de um nó qualquer 
e o nó de referência.
oVV 2
01 VV 
03 VV 
Método das Tensões de nó
 Calcula-se as correntes que saem de cada um dos ramos ligados ao nó, em 
função da tensão em relação ao nó de interesse.
3
2
3
R
VV
i o


1
12
1
R
VV
i


2
32
2
R
VV
i


3
Método das Tensões de nó
 Aplica-se a lei de kirchoff para as correntes ao nó de interesse para 
determinar as equações para as tensões ao nó.
0
2
32
1
12
3
2 





R
VV
R
VV
R
VV o
Método das Tensões de Nó
 Equações das Tensões de Nó
 São as equações das correntes dos nós escritas como
função das tensões de nó
 Exemplo:
+
-
Vs1
R4
R3
R2
R1 Is1
A B
C
s121 I ii
A
s1
2
BA
1
A I
R
VV
R
0V




i1 i2
i3
i5
i4
0543  iii
B
0
R
0V
R
Vs1V
R
VV
3
B
4
B
2
AB 





ned = 3  2 Equações
Incónitas:
VA, VB
VC=0
4
Método das Tensões de Nó
 Como determinar as tensões e correntes nos elementos básicos do 
circuito conhecendo-se as tensões de Nó?
 Calcula-se a corrente em cada ramo essencial
 Calcula-se a queda de tensão em cada elemento básico
 Exemplo
+
-
V2
20V
I1
1A
+
-
V1
10V
R6
5
R1
10
R3
20
R4
20
R5
5
R2
5
0V
19,5V
10V6,91VA
B
C
D
i4 i2
i3
i1
A38,1
5
091,6
R
VV
5
BA
1




i
Vi 91,638,151R5V
R5

A237,0
2020
105,19
RR
VV
43
DC
2






i
A618,0
5
91,610
R
VV
2
AD
3




i
   
A482,1
5
91,6205,19
R
V20V
6
AC
4




i
• Utilizando o método das tensões de nó, 
determine os potenciais do circuito abaixo.
1 – ne - numero de nós essências (ne-1 equações)
2 - Escolher um nó de referencia
3 – Escrever as equações de corrente que saem do nó em função das tensões nodais
5
Use o método das Tensões nodais 
 1) Exercícios – encontre as correntes. 
 2) Exercícios – encontre as Potências das fontes.
 3) Exercícios – encontre v
I1
5 A I2
12 A 
R1
2Ω
R2
20Ω
R3
16Ω
R4
80Ω
Método das Tensões de Nó
 Número de Equações Simultâneas
 n. Eqs = (ned-1)
 ned = número de nós essenciais cujo potencial em relação a 
qualquer outro nó essencial é desconhecido.
 Exemplos:
R8
+
-
V2
R7
R6
R5 R4
I1
+ -V3R3
R2
R1
+
-
V1
A B
DC
R10
R9
R8
R7 Is1
R6
R5
R4
R3
+ -Vs2R2 R1
+
-
Vs1
A
B
C
D E
F G
ned = ne= 4

3 Equações
Nós D e E bem como C e B estão vinculados por 
uma fonte de tensão
ne= 7 mas ned = 5 

4 Equações
VD=VE+Vs2
VC=VB+Vs1
6
Caso especial
 Circuito com tensão de nó conhecida
Caso com fonte dependente
7
Exercício
Super Nó
 Nó
 Ponto de ligação entre 2 ou mais bipolos.
 Super Nó
 Combinação de vários Nós
 A lei de Kirchhoff das correntes também vale para Super Nó
Nó
i1 i5
i3i2
i6 i4
i7
Super Nó
8
Exemplo
Super Nó X
16A
+ -v4
10A
+ -8V
-20A
+
-
4V
i3
+ -2V
i5
+ -v5
i7
+
-
-6V
-10V
+
-
v1 20A
+
-
v8
A
B C D
E
Super Nó X: 10 - (-20) - i7 - 20 = 0
i7 = 10 A
Caso fonte dependente
No 2
No 3
Combinando...
9
Super No 
Sempre que uma fonte de tensão está ligada entre 2 nós essenciais, 
podemos formar supernó
Somamos as correntes que deixam os nós em função das tensões. 
SuperNó
Resultado
Faça uma equação 
suplementar 
da fonte dependente:
Método das Tensões de Nó
 Exemplo - Caso com Fontes Controladas:
+
-
V1
R4
R3
R2
R1 Is1
ix
ix
A B
C
s1
2
BA
1
A I
R
VV
R
0V




0
R
0V
R
V1V
R
VV
5
B
4
B
2
AB 





A
B
ix V1
2
BA
R
VV 
ix
2
BA
1
R
VV
V

 
 Escrever as fontes 
controladas como 
função das tensões 
de Nó
 Substituí-las nas 
equações de tensão 
de Nó 
0
R
0V
R
R
VV
V
R
VV
5
B
4
2
BA
B
2
AB 







10
Analise as equações na figura a seguir
Método das Tensões de Nó
 Exemplo - Caso com Super Nó:
A
B
C
D E
F G
i1
i2
i3
A
s1
109
FA
2
A
7
A I
RR
VV
R
Vs1V
R
0V







0
R
Vs1V
R
VV
RR
VV
8
F
3
GF
109
AF 






R10
R9
R8
R7 Is1
R6
R5
R4
R3
+ -Vs2R2 R1
+
-
Vs1
F
G
0
R
VV
R
VV
R
VV
5
EG
4
DG
3
FG 





DE
   
0
R
Vs1Vs2V
R
VVs2V
R
0V
R
VV
1
E
4
GE
6
E
5
GE 







Super Nó DEned = 5  4 Equações
Incónitas:
VA, VF, VG, VE
VB=0 VC=Vs1
VD=Vs2+VE
 
0
R
VV
R
VVs2V
R
VV
5
EG
4
EG
3
FG 





0
R
Vs1V
R
VV
R
0V
R
VV
1
D
4
GD
6
E
5
GE 






