Aula 06 - Thevenin

Prévia do material em texto

Circuitos Elétricos I
Equivalente de Thevenin
Equivalentes de Thevenin e Norton
 Um bipolo é equivalente a outro quando a 
relação entre tensão e corrente em seus 
terminais é exatamente a mesma.
R1
R1
+
v
-
i
Circuito de um bipolo linear Circuito qualquer
v=i+ ou i =  v + 
Que outro 
circuito teria a 
equação v=i+
Teorema de Thevenin
 Um circuito linear qualquer visto por quaisquer dois terminais
onde a relação entre tensão e corrente é determinada por uma função 
linear algébrica é equivalente a um bipolo constituído por uma fonte 
de tensão (Vth) em SÉRIE com um resistor (Rth).
 Vth é a tensão a circuito aberto entre A e B. 
 Rth é a resistência equivalente entre A e B com as 
FONTES INDEPENDENTES mortas
R1
R1
Rth
+
-
Vth
+
v
-
+
v
-
i i
Circuito resistivo contendo fontes 
dependentes e independentes

A
B
A
B
v=Rthi+Vth
v=i+
Bipolo Equivalente - Teorema de Thevenin
 Equivalente Thevenin é um bipolo equivalente a outro bipolo
 Pode ser empregado para representar um circuito linear em que 
não se está interessado em suas correntes e tensões 
 Pode ser empregado para simplificar um circuito linear maior
 Exemplo
i
ix
R7
R4 R6
R5
100ixI1 R3
R2R1
+ -3i
+
-
V1
ix
+
-
Vth
R6
R5
100ixR3
Rth
+
vx
-
+
vx
-

Bipolo Equivalente - Teorema de Thevenin
 Determinando Vth
 Determinar a TENSÃO a CIRCUITO ABERTO entre os 
terminais do bipolo
 Exemplo - Vth
R4
4
R3
1
R2
2
R1
3
+
-
V1
10V
A
B
Vth = V1 =
R2
R1+R2
10 = 4V
2
3+2
R4
4
R3
1Rth
+
-
Vth
4V
A
B
+
v
-
+
v
-
i
i
B
A
R2
2
R1
3
+
-
V1
10V
+
vCIRC.
ABERTO
-
= Vth
i = 0
A
Bipolo a circuito aberto
B
ARth
+
-
Vth
4V
+
vCIRC.
ABERTO
-
= Vth
i = 0
A
+
vz
-
+
vz
-
Bipolo Equivalente - Teorema de Thevenin
 Exemplo - Vth?
R5
10
R4
3
+
-
V2
10V
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
Rth
+
-
Vth +
-
V2
10V
R4
3
R5
10
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
A
B
+
Vth
-
i = 0
I2
5A
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
A
B
+
Vth
-
i = 0
- vR3 +
+
vReq
-
Ieq
5A
R3
4
Req
4 
Vth = vR3 + vReq
Vth = R3 i + Req(i + Ieq)
Vth = 4.0 + 4.(0 + 8) = 32V
32V
iz iz
8A
Encontre Vth por tensão nodal
Bipolo Equivalente - Teorema de Thevenin
 Exemplo - Rth
 Caso Particular - Apenas Fontes Independentes
 Matar todas as fontes independentes 
• Fonte de Tensao Curto-circuitada 
• Fonte de corrente – circuito aberto
 Determinar o resistor equivalente entre A-B usando equivalentes série, 
paralelo e estrela-triângulo.
R5
10
R4
3
+
-
V2
10V
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
Rth
+
-
Vth +
-
V2
10V
R4
3
R5
10
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
32V
V1 = 0 I1 = 0
 Rth = =
R1
1
R2
+
1
= 8 
1
R1//R2 + R3
Req
+ R3
8 iziz
Rth
 Outra forma de encontrar Rth – usando a corrente de Curto-circuito
Exercicios
 Encontre o equivalente de Thevenin. 
Resp.
1. Vth=48V e Rth=16
2. Vth=52V e Rth=6
3. Vth=30V e Rth=15
Thevenin Parte II 
 Determinando Rth
 Matar TODAS as FONTES INDEPENDENTES do bipolo
 Alimentar os terminais A-B do bipolo com uma fonte de 
tensão (V) ou corrente (I) de valor conhecido (qualquer valor).
• Se Fonte de Tensão (V)
– Determinar a corrente (idf) que a fonte fornece ao bipolo
• Se Fonte de Corrente (I)
– Determinar a tensão (vsf) sobre o bipolo
 Caso Particular
• Em circuitos onde existem apenas fontes independentes
– Matar todas as fontes independentes
– Determinar o resistor equivalente entre A-B usando equivalentes 
série, paralelo e estrela-triângulo.
Bipolo Equivalente - Teorema de Thevenin
V
idf
Rth =
vsf
Rth =
I
Rth = Resistor 
Equivalente
+
-
V
idf
bipolo
bipolo
I
+
vsf
-
Rth
Rth
Somente Fontes Independentes
Caso Particular
Método Geral - Fonte de Tensão Vx
+
-
R2
2
R1
3
Bipolo Equivalente - Teorema de Thevenin
 Exemplo - Rth
R4
4
R3
1
R2
2
R1
3
+
-
V1
10V
A
B
+
v
-
i
V1 = 0
idf
A
B
iR1
iR2
iR1 =
Vx
R1
iR2 =
Vx
R2
idf = iR1 + iR2
R1
Vx
R2
idf = +
Vx
Rth =
Vx
idf
=
1
R1
1
R2
+
1
= 1,2
1
1



R2
2
R1
3
V1 = 0
A
B
 Rth = =
R1
1
R2
+
1
= 1,2
1
R1//R2
R4
4
R3
1Rth
+
-
Vth
4V
A
B
+
v
-
i
Rth
1,2

Req
+
-
Bipolo Equivalente - Teorema de Thevenin
 Exemplo - Rth
 Com Fontes Dependentes
• É necessário utilizar o Método Geral
 FONTES DEPENDENTES NÃO PODEM SER MORTAS
R1
2
R2
2
I1
4A
+-
2i
V2
+
-
V1
10V
i
V 2
8 i
+
-
V2
10V
R3
10
R1
2
R2
2
I1
4A
+-
2i
V2
+
-
V1
10V
i
V 2
8 i
V1 = 0 I1 = 0 Vx
idf
iR2iR1
iV2
iR2 =
Vx
R2
V2 = Vx = 8i
i =
Vx
8
-idf + iR2 - i = 0 idf =
Vx
8
-
Vx
R2
Rth =
Vx
idf
= = 1,6
8
1
R2
+
1
1

+
-
Vth
7,34V
Rth
R3
10
+
-
V2
10V
1,6
+ vz -
+ vz -
NORTON
Teorema de Norton
 Um circuito linear qualquer visto por quaisquer dois terminais
onde a relação entre tensão e corrente é determinada por uma função 
linear algébrica é equivalente a um bipolo constituído por uma 
fonte de Corrente (IN) em PARALELO com um resistor (RN).
 IN é a corrente de curto circuito entre A e B. 
 RN é a resistência equivalente entre A e B com as 
FONTES INDEPENDENTES mortas (IGUAL a Rth)
R1
R1
+
v
-
+
v
-
i i
Circuito resistivo contendo fontes 
dependentes e independentes

A
B
A
B
RNIN
ix
+
-
Vth
R6
R5
100ixR3
Rth
Bipolo Equivalente - Teorema de Norton
 Equivalente Norton é um bipolo equivalente a outro bipolo
 Pode ser empregado para representar um circuito linear em que 
não se está interessado em suas correntes e tensões 
 Pode ser empregado para simplificar um circuito linear maior
 Exemplo
i
ix
R7
R4 R6
R5
100ixI1 R3
R2R1
+ -3i
+
-
V1
+
vx
-
+
vx
-

RNIN
Bipolo Equivalente - Teorema de Norton
 Determinando IN
 Determinar a CORRENTE de CURTO CIRTUITO entre os 
terminais do bipolo
 Exemplo - IN
R4
4
R3
1
R2
2
R1
3
+
-
V1
10V
A
B
R4
4
R3
1Rth
+
-
Vth
4V
A
B
+
v
-
+
v
-
i
i
+
vz
-
+
vz
-
RN
IN
3,33A
IN =
V1
R1
= 3,33A
3
iCurto.
Circuito
= IN
A
Bipolo em curto circuito
B
A
R2
2
R1
3
+
-
V1
10V
+
v = 0
-
iCurto.
Circuito
= IN
AA
RN
IN
3,33A
A
B
+
v = 0
-
=
10
Bipolo Equivalente - Teorema de Norton
 Exemplo - IN?
R5
10
R4
3
+
-
V2
10V
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
Rth
+
-
Vth +
-
V2
10V
R4
3
R5
10
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
A
B
+
v=0
-
IN
I2
5A
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
A
B
Ieq
5A
R3
4
Req
4 
Req
20V
iz iz
A
B
IN
IN = Ieq
(Req+R3)
4
IN = 8
(4+4)
= 4 A
8
RN
IN
3,33A4A
8A
Relaçãoentre os Equivalentes de 
Thevenin e Norton
 Se i=0 (circuito aberto)
 v=Vth=INRN ou Vth=INRth
 Se v=0 (curto circuito)
 -i=IN=Vth/Rth ou IN=Vth/RN
R1
R1
Rth
+
-
Vth
+
v
-
+
v
-
i i
Circuito resistivo contendo fontes 
dependentes e independentes

A
B
A
B
+
v
-
i
A
B
RNIN

Rth=RN
Logo Rth ou RN também podem ser determinados a partir de Vth e IN
N
Th
NTh
I
V
RR 