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1 MAT0361 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III – PROFA: ADRIANA M. ADAMI PERÍODO 2014-2 - LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1 PRIMEIRA PROVA PARCIAL – PARTE 1– SEÇÕES 14.1 E 14.3 SEÇÃO 14.1 – PÁG. 933 Seção “Exercícios” : exercícios 1, 20, 22, 30, 32, 41, 54, 58 Respostas dos exercícios 20 e 22: Respostas dos exercícios 30 e 32: Dica para o exercício 30: comece com o parabolóide z = x2 + y2, efetuando duas transformações sobre z: uma que reflete a superfície em torno do eixo z, e outra que desloca a superfície 4 unidades para cima. Assim, após estas duas transformações, o novo parabolóide é mostrado na figura abaixo (à esquerda). Resposta do exercício 54: Resposta do exercício 58: SEÇÃO 14.3 – PÁG. 954 Seção “Compreensão”: exercícios 1, 2, 4 (Respostas na pág. 959) Seção “Exercícios” : exercícios 4, 15, 19, 29, 39, 44, 45, 73, 81,82,84 2 Resposta do exercício 4: a) 1 b) 2 Resposta do exercício 44: 6 Resposta do exercício 82: Resposta do exercício 84: c EXERCÍCIOS EXTRAS DA PARTE 1 1. Descreva em palavras o domínio das funções a seguir: a) b) c) d) e) f) g) h) Respostas: a) Conjunto de todos os pontos do plano. b) Conjunto de todos os pontos do plano exceto aqueles sobre a reta y = 2x. c) Conjunto de todos os pontos que estão sobre ou no interior do círculo centrado na origem e de raio 2, exceto aqueles que estão sobre o eixo dos x. d) Conjunto de todos os pontos do plano. e) Conjunto de todos os pontos do plano exceto aqueles sobre os eixos x e y. f) Conjunto de todos os pontos que estão no exterior do círculo centrado na origem e de raio 3 g) Conjunto de todos os pontos do plano exceto aqueles sobre o eixo y. h) Conjunto de todos os pontos do plano. 2. Esboce o gráfico das seguintes superfícies no espaço tridimensional, onde os eixos devem estar nomeados e devem apresentar uma escala, e pelo menos um ponto em cada gráfico deve ser destacado através de suas coordenadas: a) b) c) z = 0 d) e) f) g) h) 3 Respostas: Os esboços não estão mostrados mas as descrições abaixo são bastante úteis para a construção de cada esboço. a) Superfície plana que corta o eixo x no ponto (3,0,0), o eixo y no ponto (0,3,0), e o eixo z no ponto (0,0,3). b) Superfície plana que corta o eixo x no ponto (3,0,0), o eixo z no ponto (0,0,3), e não corta o eixo y (é paralela a este eixo). c) Plano xy. d) Plano paralelo ao plano xz, e que corta o eixo y em (0,-3,0). e) Cilindro circular gerado pela circunferência de centro na origem e raio 3 no plano xz, e cujo eixo é o eixo y. f) Hemisfério inferior da esfera centrada na origem e de raio 3. g) Cilindro gerado pela parábola . h) Cilindro gerado pela elipse PRIMEIRA PROVA PARCIAL – PARTE 2–SEÇÃO 14.6 SEÇÃO 14.6 – PÁG. 986 Seção “Compreensão”: exercícios 1, 4 (Respostas na pág. 986) Seção “Exercícios” : exercícios 2, 11, 17, 23,24,27, 28, 35, 39, 49, 59, 72 Resposta do exercício 2: 32/5 Dica para o exercício 23: se queremos determinar a taxa no ponto (1,0) e na direção e sentido de P a Q(-1,-1), o vetor direção deve ser o vetor que sai do ponto P e tem extremidade final em Q, ou seja, o vetor = = Q - P. Resposta do exercício 24: Resposta do exercício 28: 20 Dica para o exercício 72: se queremos determinar a taxa no ponto (1,1,1) e na direção da origem, o vetor direção deve ser o vetor que sai do ponto (1,1,1) e tem extremidade final em (0,0,0), ou seja, o vetor = (0,0,0)-(1,1,1) = (-1,-1,-1). Resposta do exercício 72: a) b) Vetor unitário c) EXERCÍCIO EXTRA DA PARTE 2 A superfície de um lago é representada por uma região D no plano xy, de modo que a profundidade (em metros) sob o ponto (x,y) é dada por f(x,y)=300-2x²-3y². Calcule o vetor unitário em cuja direção e sentido um bote em P(4,9) deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente: Resposta: Na direção do vetor .
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