ListaComplementar3-2014-2 Prof Adriana

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MAT0361 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III – PROFA: ADRIANA M. ADAMI 
PERÍODO 2014-2 - LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 3 
TERCEIRA PROVA PARCIAL – PARTE 1 – SEÇÃO 16.1 E MATERIAL EXTRA (SEÇÕES 
1 A 6) 
 
SEÇÃO 16.1 – PÁG. 1110 
Exercícios 2, 4, 8 e 12. 
Resposta do exercício 2: 2a) é o campo vetorial I pois todos os vetores do campo são iguais. 2b) é o campo 
vetorial II pois são vetores unitários apontando no sentido oposto à origem. 
Resposta do exercício 4: Todas as sentenças são falsas. 4a) é falsa pois todos os vetores tem módulo igual a 
1. Em 4b), o vetor não aponta para cima pois, no caso em que o ponto está sobre o eixo x, o valor de y será 
zero. Em 4c), o vetor não aponta para a a direita pois, no caso em que o ponto está sobre o eixo y, o valor de x 
será zero. Em cada caso, desenhe um vetor do campo caso você não consiga justificar as sentenças apenas 
interpretando a lei do campo vetorial. 
Resposta do exercício 8: 
Resposta do exercício 12: 
a) 
 Portanto, F é um campo conservativo 
para todo x e para todo y. 
b) 
 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS – PARTE 1 
1. Desenhe a curva no espaço definida pela parametrização x = cos(t), y = sen(t), z = t, 0  t  
2
. Desenhe 
“flechas” na curva para indicar o sentido no qual o caminho é percorrido: 
Resposta: a curva realiza uma espiral (no sentido anti-horário) em torno do cilindro à medida 
que t aumenta. A curva está mostrada na figura a seguir, e é conhecida como hélice circular reta. 
2 
 
 
2. Escreva as equações paramétricas e represente no espaço tridimensional os seguintes caminhos: 
a) O caminho C no espaço tridimensional dado pelo arco de circunferência no plano yz, centrado na origem, 
que une os pontos (0,0,-2) a (0,0,2) nesse sentido e com y≥0: 
 b) O caminho C no plano dado pelo trecho do gráfico da hipérbole xy=4 que une os pontos (4,1) a (2,2) nesse 
sentido: 
Resposta: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
3. Dadas as equações paramétricas do caminho C abaixo, determinar a equação cartesiana correspondente, 
e faça um esboço: 
 
 
 
 
 
 
Resposta: o caminho C representa uma circunferência que é dada pela intersecção do cilindro circular 
x2+y2=4 e o plano z = 5. 
4. O campo vetorial 
 
 
 
 
 
 aproxima o campo de velocidades da água que ocorre 
quando se puxa um tampão em uma canalização. Represente graficamente alguns vetores 
representativos desse campo: 
Resposta: 
 
3 
 
5. Para cada um dos campos vetoriais a seguir, liste 2 características importantes de cada campo 
desenhando alguns vetores representativos do campo se necessário: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
a) Os vetores deste campo são vetores horizontais e cujo comprimento aumenta à medida que os vetores se 
afastam da origem. 
b) Os vetores deste campo são vetores unitários, e este campo não está definido na origem. 
 
6. Determine a função potencial dos campos vetoriais a seguir caso ela existir: 
 a) 
 
 
 
 b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
e) 
f) 
 
 
 
 
Respostas: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
 d) O campo não é conservativo e, portanto, não existe uma função potencial associada a ele. 
 
 f) 
 
TERCEIRA PROVA PARCIAL – PARTE 2 – SEÇÕES 16.2, 16.3 E MATERIAL EXTRA 
(SEÇÕES 7 A 10) 
 
SEÇÃO 16.2 – PÁG. 1126 
Exercícios: 4, 29, 30, 37, 39 e 41. 
Resposta do exercício 4: a integral de linha é igual a zero pois os vetores do campo são perpendiculares ao 
caminho de integração. 
Resposta do exercício 30: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 16.3 – PÁG. 1137 
Exercícios: 1, 3, 5, 19, 24 e 32 a). 
4 
 
Resposta do exercício 24: Como todos os vetores do campo são iguais, o campo é do tipo , 
onde a e b são constantes. Logo, a função potencial é e, portanto, o campo é conservativo. 
Resposta do exercício 32 a): 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS – PARTE 2 
1. Determine o trabalho realizado pelo campo de força para movimentar um objeto 
sobre um arco da ciclóide , : 
 Resposta: 
 
2. Seja C a curva fechada que é fronteira da região do ℝ2 limitada pelos gráficos de y = x2 e , 
percorrida no sentido anti-horário. Encontre o trabalho que uma partícula do campo 
realiza ao deslocar-se ao redor de C: 
Resposta: 
 
 
 
 
3. Seja . Calcule 
 sendo o caminho C determinado pela hélice x = cos( t), 
y = sen( t) e z = t, de (1,0,0) até (-1,0,1): 
 Resposta: 
 
 
 
 
4. Dado o campo vetorial e um caminho qualquer 
C unindo os pontos (1, 0, 1) a nesse sentido: 
a) Calcule a função f tal que : 
b) Utilize a função calculada no item a) para calcular 
 
 
Respostas: 
a) f é a função potencial associada ao campo vetorial , e é dada por . 
b) Pelo teorema fundamental das integrais de linha 
 . 
 
5. Verificar se é um campo conservativo. Em caso afirmativo, calcular 
 
 
 
 sendo que a notação 
 
 
 significa a integral de linha de ao longo de qualquer 
caminho que une os pontos (1,0) a (1,1): 
Resposta: e2 – e 
 
6. Calcule o trabalho realizado pelo campo 
 
 
 
 
 
 para deslocar uma partícula, em linha reta, do 
ponto P(1,2) até Q(3,4): 
 Resposta: ln(6) unidades de trabalho 
 
7. Calcule o trabalho realizado pelo campo para deslocar uma partícula no 
caminho poligonal que une o ponto A(1,0,0) ao ponto B(0,2,2), passando por D(1,1,0): 
5 
 
 Resposta: 25/6 unidades de trabalho 
 
8. Calcule a integral ao londo do caminho C mostrado nas figuras a seguir: 
 
 
(a) (b) 
Respostas: 
 
a) 
 
b) 
 
9. Calcule o trabalho realizado pelo campo para deslocar uma 
partícula ao longo da curva 
 
 
, no caminho que une o ponto A(-1,-2,0) ao ponto B(-2,-1,0). Esse 
trabalho é maior, menor ou igual ao trabalho realizado pelo mesmo campo para deslocar a partícula em 
linha reta de A até B? 
 
Resposta: o trabalho é igual à 1, e é independente da trajetória pois o campo é conservativo.