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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA GES 104 - Estatística Aplicada à Engenharia Profs. Izabela R. C. de Oliveira e Tales J. Fernandes LISTA DE EXERCÍCIOS 5: Variáveis aleatórias contínuas e a distribuição normal 1- Numa certa região, fósseis de pequenos animais são frequentemente encontrados e um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centímetros, desses fósseis: f(x) = 1 40 x, 4 ≤ x < 8, − 1 20 x+ 3 5 , 8 ≤ x < 10, 1 10 , 10 ≤ x ≤ 11, 0, caso contrário. a) Confirme que a função f(x) é uma função densidade de probabilidade e construa seu gráfico. b) Encontre o valor esperado para o comprimento dos fósseis da região. 2- O tempo até a falha, em horas, de uma importante parte de um equipamento eletrônico usado na fabri- cação de um aparelho de DVD tem como função densidade f(x) = { 1 2000 e(−x/2000), x ≥ 0, 0, x < 0. a) Determine F (x). b) Determine a probabilidade de que o componente (e, consequentemente, o aparelho de DVD) dure mais do que mil horas antes que o componente tenha de ser substituído. c) Determine a probabilidade de que o componente falhe antes de 2000 horas. d) Determine a variância do tempo até a falha. 3- O tempo de espera, em horas, entre sucessivos motoristas flagrados por um radar que ultrapassam o limite de velocidade, é uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulada F (x) = { 0, x < 0, 1− e−8x, x ≥ 0. Determine a probabilidade de o tempo de espera entre sucessivos motoristas ser menor que 12 minu- tos. a) usando a função de distribuição acumulada de X; b) usando a função densidade de probabilidade de X . 4- Medições de sistemas científicos são sempre sujeitas à variação, algumas mais do que outras. Há muitas estruturas para se medir erros, e os estatísticos passam boa parte do tempo modelando esses erros. Suponha que o erro de medição X , de certa quantidade física, seja determinado pela função densidade f(x) = { k(3− x2),−1 ≤ x ≤ 1, 0, caso contrário. a) Calcule o valor de k que torna f(x) uma função densidade válida. b) Determine a probabilidade de que um erro aleatório na medição seja menor que 1/2. c) Para essa medição em particular, não é desejável que a magnitude do erro (isto é, |x|) exceda 0,8. Qual é a probabilidade de que isso ocorra? 5- Em uma tarefa em um laboratório, se o equipamento estiver funcionando, a função densidade do re- sultado observado X , é: f(x) = { 2(1− x), 0 < x < 1, 0, caso contrário. a) Determine a F (x). b) Qual é a mediana? c) Qual é o 75o percentil da distribuição? d) Calcule P (X ≤ 1/3). e) Qual é a probabilidade de que X exceda 0,5? f) Dado que X ≥ 0, 5, qual é a probabilidade de que X seja menor que 0,75? 6- Suponha que a força que age sobre uma coluna que ajuda a suportar um edifício tenha distribuição normal com média 15,0 kips e desvio padrão 1,25 kips. Qual é a probabilidade de a força: a) Ser no máximo 18 kips? b) Estar entre 10 e 12 kips? c) Diferir de 15,0 kips por no máximo 2 desvios padrão? 7- A dureza Rockwell de um metal é determinada pela pressão de uma ponta rígida na superfície do metal e, sem seguida, pela medição da profundidade de penetração das pontas. Suponha que a dureza Rockwell de uma determinada liga tenha distribuição normal, com média de 70 e um desvio-padrão de 4. a) Se um espécime é aceitável apenas se sua dureza estiver entre 62 e 72, qual é a probabilidade de que um espécime escolhido aleatoriamente tenha dureza aceitável? b) Se o intervalo aceitável para a dureza fosse (70 - c, 70 + c), para qual valor de c teríamos 95% de todos os espécimes com dureza aceitável? 8- Um teste de aptidão para o exercício e certa profissão exige uma sequência de operações a serem executadas rapidamente, uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em 80 mi- nutos no máximo. Admitindo que o tempo para completar o teste seja uma variável aleatória N(90, 400), pede-se: a) Qual a porcentagem dos candidatos que tem chance de ser aprovados? b) Os 5% mais rápidos receberão um certificado especial. Qual o tempo máximo para fazer jus a tal certificado? 9- Um fabricante sabe, por experiência passada, que a duração de suas baterias é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média de 600 dias e desvio padrão de 110 dias. a) Qual é a probabilidade de uma bateria, escolhida ao acaso, durar: i. mais de 750 dias? ii. entre 400 e 800 dias? b) O comprador recebe uma garantia do fabricante de 320 dias, isto é, o fabricante substituirá todas as baterias que apresentarem falhas no período de até 320 dias. Sabendo-se que são fabricadas 20000 baterias por mês, quantas baterias o fabricante terá que substituir mensalmente, devido à garantia dada? 10- Uma máquina de empacotar determinado produto apresenta variações de peso com desvio padrão de 20g. Assumindo a distribuição normal para o peso dos pacotes, em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote, para que apenas 10% dos pacotes tenham menos de 400g? 11- A distribuição da resistência de resistores de um tipo específico é normal, 10% de todos os equi- pamentos apresentam resistência maior que 10,256 ohms e 5% com resistência menor que 9,671 ohms. Quais são os valores da média e do desvio padrão da distribuição das resistências? GABARITO 1- b) 7,45 2- b) 0,6065 ; c) 0,6321 3- 0,7981 4- a) k = 3/16; b) 99/128; c) 0,164 5- b) 0,2928; c) 0,5 d) 5/9 = 0,55555; e) 1/4 = 0,25; f) 3/4 6- a) 0,9918; b) 0,0082 c) 0,9544 7- a) 0,6687; b) 7,84 8- a) 31%; b) 57 min 9- a) i. 0,0869, ii.0,9312; b) 108 10- 425,7g. 11- 10; 0,2
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