Topografia I - Lista 2

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LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
Levantamento Topográfico 
 
O desenho (croquis) abaixo representa a área de um terreno cercado nos seus 4 lados. Este terreno foi medido com 
uma estação total, tendo como referência uma poligonal básica formada por 3 estações. 
As questões (1 - 6) a seguir estão relacionadas com este levantamento e deverão ser desenvolvidas seguindo a 
mesma metodologia utilizada no trabalho prático desta disciplina. 
 
 
 
1) Calcule o erro de fechamento angular da poligonal e o limite máximo para aceitação deste erro (P=1’). 
Faça a correção. Calcule os azimutes dos alinhamentos da poligonal e irradiações. 
Planilha de coordenadas polares – Poligonal 
Est P.V. Ângulo 
Horizontal 
Correção Ângulo Horizontal 
Corrigido 
AZIMUTE DISTÂNCIA 
HORIZONTAL 
E0 E1 56°20’ 1’ 56°21’ 231°28’ 204,55 
E1 E2 76°30’ 2’ 76°32’ 128°00 231,22 
E2 E0 47°05’ 2’ 47°07’ 355°07’ 270,00 
Soma 179°55 5’ 180°00’ 
 
Erro de Fechamento Angular = SCAMPO – SPOLÍGONO 
SPOLÍGONO = 180° x (n – 2)  CAMINHAMENTO POR ÂNGULOS HORIZONTAIS INTERNOS 
Erro de Fechamento Angular = 179°55’ – 180°00’ 
 
Limite ou tolerância para o erro angular = 1 a 3 x P x √𝑛 || n = nº de estações 
Limite máximo = 3 x 1’ x √3 = 5’11’’ 
 
 
Planilha de coordenadas polares – Irradiações 
Est P.V. Ângulo 
Horizontal 
AZIMUTE DISTÃNCIA 
HORIZONTAL 
E1 1 257°42’ 309°10’ 
E2 2 188°09’ 136°09’ 
E2 3 320°08’ 268°08’ 
E0 4 222°18’ 37°25’ 
 
2) Calcule as coordenadas retangulares relativas da poligonal. Calcule o erro de fechamento linear, verifique a sua 
aceitação ou limite máximo admissível (L=1m) e faça a correção deste erro. 
 
3) Calcule as coordenadas retangulares absolutas das estações e das irradiações. 
COORDENADAS RETANGULARES (Poligonal) 
Est PV 
Coord. Polares Coordenadas Retangulares Relativas (metros) Coord. Retangulares 
Absolutas ou Totais 
(metros) AZC 
( ) 
DH 
(m) 
Abscissas Relativas (x) Ordenadas Parciais (y) 
Não 
corrigidas 
Correção Corrigidas 
Não 
corrigidas 
Correção Corrigidas X Y 
E0 E1 231°28’ 204,55 -160,00 +0,26 -159,74 -127,43 +0,25 -127,18 500 500 
E1 E2 128°00 231,22 +182,20 +0,26 +182,46 -142,35 +0,25 -142,10 682,46 357,90 
E2 E0 355°07’ 270,00 -22,98 +0,26 -22,72 +269,02 +0,26 +269,28 659,74 627,18 
SOMA 705,77 - 0,78 +0,78 0,00 - 0,76 +0,76 0,00 
 função trigonométrica com 4 casas decimais (no mínimo) 
 coordenadas retangulares com 2 casas decimais 
 
 ex = - 0,78 metros ey = - 0,76 metros 
E.F.L. = √𝑒𝑥2 + 𝑒𝑦² L.E.F.L. = 1 a 3 x L x √𝐾 K = 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
1000
 
E.F.L. = 1,09 metros L.E.F.L. = 1 a 3 x 1m x √0,706 K = 
705,77
1000
 
Limite máximo para o erro linear = 3 x 1m x √0,706 = 2,52 metros 
 
COORDENADAS RETANGULARES (Irradiações) 
 
Est PV 
Coordenadas Polares 
Coordenadas Retangulares 
Relativas (metros) Coord. Retangulares 
Absolutas (m) 
AZC 
( ) 
DH 
(m) 
Abscissas Ordenadas 
X (m) Y (m) 
E1 1 309°10’11” 90,91 - 70,48 + 57,42 429,52 557,42 
E2 2 136°09’02” 50,00 + 34,64 - 36,06 717,10 321,84 
E2 3 268°08’19” 77,27 - 77,23 - 2,51 605,23 355,39 
E0 4 37°20’00” 14,70 + 8,93 + 11,68 668,67 638,86 
6) Faça o cálculo da área por processo analítico. Pode-se utilizar o método de Gauss ou determinante. 
CÁLCULO DE ÁREA (Processo analítico – Gauss) 
Pontos Coordenadas Totais Soma Binária Diferença Binária Áreas Duplas 
 X Y X Y X Y X . Y Y . X 
4 668.67 638.86 1385.77 960.70 48.43 -317.02 -439316.81 46526.70 
2 717.10 321.84 1322.33 677.23 -111.87 33.55 44364.17 -75761.72 
3 605.23 355.39 1034.75 912.81 -175.71 202.03 209050.54 -160389.85 
1 429.52 557.42 1098.19 1196.28 239.15 81.44 89436.59 286090.36 
SOMA 2420.52 1873.51 4841.04 3747.02 0.00 0.00 -96465.50 96465.50 
ÁREA (m
2
): 48.232,75 ÁREA (ha): 4,8233 
 
7) Faça o desenho da área levantada na escala 1:2000 
 
1cm = 2000 cm = 20 metros 
 
 
 
4
2
3
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
400 500 600 700
300
400
500
600
8) Um terreno, em forma de paralelogramo, foi levantado conforme croqui abaixo, obtendo-se os seguintes dados: 
a) A-B = 60,00m; b) α = 60°30'15" e β = 129°25'20" OBSERVAÇÃO: Os eixos representados abaixo, são relativos. 
 
Determinar: 
a) O perímetro do polígono; 
b) As coordenadas absolutas dos vértices B, C e D, considerando-se o alinhamento A-B sobre o eixo x e o ponto A 
com coordenadas absolutas (X=500,00; Y=1000,00); 
Respostas: 
a. Perímetro: 144,991 m; 4.3. Área; 1206,33 m2 
b. Coordenadas: B (560,00 m; 1000,00 m); C (535,542 m; 1020,105 m); D (524,457 m; 979,895 m) 
 
9) Em um levantamento topográfico, conforme o croqui apresentado abaixo, foram obtidos os seguintes valores: 
a) PQ = 200,00 m (linha de base) 
b) a partir do ponto P: BPA = 40°58'; APQ = 38°40' 
c) a partir do ponto Q: BQP = 29°30'; AQP = 108°20' 
 
Determinar: 
a) O comprimento do alinhamento AB; 
b) As coordenadas cartesianas (ou retangulares) dos vértices Q, A e B, considerando-se o alinhamento PQ 
sobre o eixo X e o ponto P na origem, isto é, P (0,00; 0,00) 
c) Área do polígono 
d) Citar o método de levantamento e em que situações ele é mais utilizado 
 
Respostas: 
a) Comprimento de AB = 278,383 m; 
b) Coordenadas: Q (20,00 m; 0,00 m); A (272,167 m; 217,787 m); B (18,758 m; 102,542 m); 
c) Área do polígono ABPQ = 33690,243 m²; 
d) Intersecção – levantamento de pontos inacessíveis 
 
10) Num levantamento topográfico foi necessário medir um ponto de divisa (PD), localizado em uma área alagada e 
inacessível. Utilizando o método de levantamento por intersecção, foram obtidos os dados abaixo. Pede-se calcular a 
distância horizontal entre a estação E2 e o referido ponto. 
Estação Ponto Visado Ângulo horário DH (metros) Observações 
E2 E3 132°20’ 323,55 Ré em E1 
E2 PD 201°14’ ------ Ré em E1 
E3 PD 325°50’ ------ Ré em E2 
 
 
 
 
1º) Montar o esquema de como foi feito o levantamento do ponto inacessível 
2º) Separar o triângulo com os ângulos necessários a aplicação da LEI DOS SENOS 
 
𝑠𝑒𝑛 68°54′
𝐷𝐻 𝐸3 → 𝑃𝐷
=
𝑠𝑒𝑛 34°10′
𝐷𝐻 𝐸2 → 𝑃𝐷
= 
𝑠𝑒𝑛 76°56′
𝐷𝐻 𝐸2 → 𝐸3
 
 
𝐷𝐻 𝐸3 → 𝑃𝐷 = 309,88 m 
𝐷𝐻 𝐸2 → 𝑃𝐷 = 186,54 m 
 
E2E1
E3
PD
132º20'
201º14'
325º50'
32
3,
55
 m
E2
E3
PD
68º54'
3
2
3
,5
5
 m 34º10'
76º56'
11) Sejam A e B duas estações de coordenadas: 
Ponto X(m) Y(m) 
A 3669,35 m 3812,07 m 
B 1746,89 m 1631,32 m 
Pretende-se implantar no terreno um PONTO C de coordenadas: 
Ponto X (m) Y (m) 
C 3700,00 1675,00 
Calcule: 
a) O ângulo horizontal horário de A→C (Ré em B). 
b) O ângulo horizontal horário de B→C (Ré em A). 
c) As distâncias horizontais AC e BC. 
 
12) Com base nos dados fornecidos, complete a planilha abaixo verificando se o erro pode ser corrigido ou não 
 Ordenadas Parciais (Relativas) 
Estação Ponto Rumo D.H. Não corrigidas Corrigidas 
 Visado (m) (+) ( - ) Correção ( + ) ( - ) 
V0 V1 49°00’ NW 184,24 120,87 -0,12 120,75 
V1 V2 12°50’ SE 190,88 186,11 -0,12 186,23 
V2 V0 55°52’ NE 116,90 65,60 -0,12 65,48 
Soma 492,02 186,47 186,11 -0,36 0,00 0,00 
 Coordenadas retangulares com 2 casas de aproximação 
ex = + 0,11 m ey = - 0,36 m E.F.L. = 0,38 metros L.e.f.l. = 3m
492,0
= 2,10 
 
13) De acordo com as medidasrepresentadas no desenho abaixo, obtidas na escala 1:3000, complete os espaços em 
branco da planilha. 
Estação Pto Visado Abscissa parcial (m) Ordenada parcial (m) Abscissa Ordenada 
 ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) Total (m) Total (m) 
V0 V1 84 865 
V1 V2 -90,00 1099 
V2 V0 51 949 
 
 
 
Y 
X m 
m 
14)De acordo com as informações da planilha abaixo, calcule as coordenadas relativas do alinhamento E1E2. 
Mostre os cálculos. 
Estação Ponto 
Visado 
Angulo 
Horizontal 
Rumo FI 
(m) 
FM 
(m) 
FS 
(m) 
Ângulo 
Nadiral 
E1 E2 132°25’ 34°55’ SE 1,100 2,255 3,410 96°47’ 
 
Abscissa: + 130,38 metros Ordenada: - 186,78 metros 
 
14) Complete a caderneta abaixo. Faça um desenho esquemático para auxiliar o desenvolvimento da questão. 
Estação Pto Visado Azimute
 
Distância 
(m) 
Abscissas 
Relativas (m) 
Ordenadas 
Relativas (m) 
Abscissas 
Absolutas (m) 
Ordenadas 
Absolutas (m) 
V0 V1 -50,00 - 200,00 350,00 600,00 
V1 V2 + 150,00 500,00 700,00 
V2 V0 315°00’00” 141,42 - 100,00 100,00 400,00 800,00 
 
1º) Com as coordenadas polares, calcule as relativas do alinhamento V2→V0; 
2º) Sabendo que se trata de um polígono fechado, os valores relativos devem somar ZERO. Assim pode-se definir as 
coordenadas do alinhamento V1→V2 (X = +150,00 e Y = +100,00); 
3º) Com estes dados pode-se calcular as coordenadas absolutas dos pontos V0 e V1 e as coordenadas polares dos 
alinhamentos V0→V1 e V1→V2. 
 
 
15) Calcule as coordenadas relativas dos alinhamentos abaixo e as coordenadas absolutas dos pontos da tabela anexa 
ao desenho. O cálculo dos valores relativos deve ser feito através das medidas realizadas no desenho, considerando 
uma escala de 1:3.000. 
Alinhamentos 
Coord. Polares Coord. Retangulares Relativas (m) 
AZIMUTE DH (m) Abscissas (x) Ordenadas (y) 
BC 127°58’18” 312,06 + 246,00 - 192,00 
CE 215°40’35” 144,03 - 84,00 - 117,00 
a) Função trigonométrica com 4 casas decimais (no mínimo) 
b) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais 
c) Azimute com aproximação de segundos 
 
 
 
Croquis da área (sem escala) 
Ptos X (m) Y (m) 
B 1000,00 1000,00 
C 1246,00 808,00 
E 1162,00 691,00 
Medidas realizadas (relativas): 
BC = 8,2cm (x) = 246m 
 6,4cm (y) = 192m 
CE = 2,8cm (x) = 84m 
 3,9cm (y) = 117m 
1º) Transformar as medidas relativas na 
escala da planta; 
2º) Colocar as coordenadas relativas na tabela 
atentando para o sinal das mesmas 
3º) De posse das coordenadas 
retangulares relativas, calcular as polares 
e as retangulares absolutas. 
 
 
 
 
 
 
E0
E1
E2
E3
X X X X X X
P
ré
d
io
Av Principal
A
v
 d
a
 E
n
g
e
n
h
a
ria
Depto de Engenharia Galpão de
Máquinas
Garagem
A B
L
C
D
E
F
GH
I
J
K
N 
16) De acordo com o croquis (sem escala) e dados abaixo, pede-se completar a caderneta de locação do poste (P). O 
equipamento mede ângulos no sentido horário. 
Dados: Azimute V0-V1 = 200º00’ 
 
Alinhamento Ângulo horizontal D.H. (m) Observações 
 Ré em V0 
 
 
17) Aplicando a fórmula de cálculo de área na triangulação (semi-perímetro), calcule a área de uma região triangular 
cujos lados medem 4 m, 6 m e 8 m. 
 
18) De acordo com o desenho abaixo na escala 1:3000 preencha a caderneta de locação de um ponto onde será 
colocado um pivô central (PC). Este ponto será locado com uma estação total que mede ângulos no sentido horário e 
a mesma estará instalada em V1 com ré em V0. 
Caderneta de Locação 
Estação Ponto Visado Ângulo horizontal D.H. (m) 
 
 
900
800
V0
V1
P
X
Y
300
700
Y
300
900
V0
V1
PC
X
19) Com base nos dados da caderneta abaixo, pede-se: 
Pto Visado Abscissa Total (m) Ordenada Total (m) 
A 500 500 
B 225 150 
C 600 175 
 
a. Faça o desenho na escala 1:5000 utilizando o processo das coordenadas retangulares. 
Coloque a orientação e a identificação dos pontos na planta. 
b. Calcule a área do terreno utilizando o método do determinante 
c. Completar a tabela com parte dos dados (AZ e DH) necessários na elaboração de um 
memorial descritivo. 
Alinhamentos ∆X (m) ∆Y (m) Rumo (° ’ '' ) Azimute (° ’ '' ) DH (m) 
A  C +100 -325 17° 06’ 10” SE 162° 53’ 50” 340,04 
 
 
 
200 
150 
Y (m) 
X (m) 
20) Os seguintes dados gráficos (cm) foram obtidos de um desenho representando um terreno qualquer de 4 lados. 
Ptos de 
Divisa 
Coordenadas Absolutas 
X (cm) Y (cm) 
A 1 1 
B 5 7 
C 10 6 
D 8 2 
 
a) Utilizando o sistema de eixos cartesianos abaixo, refaça o desenho dos pontos. 
 
Y(cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X (cm) 
 0,0 
 
 
b) Qual a área gráfica deste desenho (cm² e mm²) 
 
c) Qual seria a área real (em m² e ha), do terreno desenhado acima considerando as seguintes escalas: 
b.1) 1:5000 
b.2) 1:10.000 
 
21) Uma adutora está sendo construída entre dois pontos: Cx. D’água (X=500; Y=500) e Captação (X=7800; Y=10400). 
O terreno tem uma declividade uniforme de 15°. Calcular a direção (azimute sentido: Captação  Cx. D’água) e a 
metragem de tubos a ser comprada (desconsidere eventuais perdas de material). 
 
22) Cite as informações básicas que devem ser colocadas no selo da planta topográfica. 
 
23) Além dos desenho da área e selo com as informações básicas do levantamento topográfico e da propriedade, cite 
mais três elementos que devem constar na planta topográfica. 
 
24) Sabendo que o papel A4 mede 210 x 297 mm. Quais são as dimensões dos demais formatos (A3, A2, A1 e A0)? 
25) No levantamento de um ponto de divisa inacessível (PI), o topógrafo utilizou o método de levantamento por 
intersecção: 
 com o teodolito instalado em V5 e zerado em V4, obteve os seguintes dados: 
Ângulo horizontal V5-V6 = 135°32' D.H. V5-V6 = 432,27m 
Ângulo horizontal V5-PI = 70°45' 
 com o teodolito instalado em V6 e zerado em V5, obteve os seguintes dados: 
Ângulo horizontal V6-PI = 42°51' 
Com base nos dados acima complete o desenho mostrando os ângulos e as distâncias CALCULADAS para os 
alinhamentos V5-PI e V6-PI 
 
26) De acordo com as medidas gráficas representadas no desenho abaixo (escala 1:3000), complete os espaços em 
branco da planilha. 
 
Estação 
 
Pto Visado 
Abscissas 
relativas (m) 
Ordenadas 
relativas (m) 
X Y 
( + ) ( - ) ( + ) ( - ) (m) (m) 
V0 V1 
V1 V2 
V2 V0 
 
 
V5 
V6 
PI 
V4 
Y 
X (m) 
(m) 
27) Complete o desenho abaixo com as coordenadas relativas que estão faltando (???) e calcule as coordenadas 
absolutas das Estações. 
 
 
 
28) Complete o desenho e os dados solicitados de acordo com o desenho abaixo 
a. Numere os vértices e mostre no desenho abaixo (com setas) os ângulos horizontais num levantamento 
topográfico pelo método do caminhamento pelos ângulos externos. 
b. Coloque em cada vértice um ângulo horizontal coerente com o desenho, de tal forma que o poligonal 
feche sem erro angular. 
c. Seguindo o mesmo critério usado no trabalho prático, qual seria o limite de tolerância para o Erro de 
Fechamento Angular desta poligonal? Justifique mostrando os seus cálculos. 
 
NOTA: Equipamento mede ângulo horizontal horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 E0 
E0 E1: 
E1 E2: 
E2 E3: 
E3 E4: 
E4 E5: 
E5 E0: 
___________________________ 
SOMA: 
E3
E0
E1
E2-107.08m ??? m
+149,00m +46,76m
(E) (E)
(W) (W)
-143.47m
(S)
??? m
(S)
(N)
+48.39m
(N)
+121.47m
X (m)
N
Y (m)
400 
500 
29) Responda as seguintes questões sobre georeferenciamento: 
O sistema de projeção UTM, divide a terra em _________ fusos contados a partir do anti-meridiano de Greenwich. 
Cada fuso tem _____ graus de amplitude. 
A cidade de Salvador(BA) está localizada nas seguintes coordenadas 12°57'34" S e 38°26'07" W, portanto, no sistema 
UTM ela está no fuso ____, cujo meridiano central é ________ W. 
 
30) Pelo que foi exposto em aula sobre o georreferenciamento no sistema UTM, pede-se completar as coordenadas 
(E e N em metros) no desenho abaixo (escala 1:50.000) indicando as coordenadas do ponto A, que se encontra a 
2600km ao sul do equador. 
 
 
 
 
 
 
ESCALAS 
 
1) Um terreno com 5 ha ocupa uma área de 20 cm² numa determinada planta topográfica. Qual a escala desta 
planta? 
2) Qual o comprimento real de uma estrada representada por 8 cm em uma carta cuja escala é 1:20.000? 
3) Qual a escala de uma carta na qual uma estrada de 1600m reais é representada por 64,0cm? 
4) Qual a distância gráfica representada em uma carta na escala 1:25.000, de um canal de 0,5km de extensão? 
5) A ponte Rio-Niterói, com 14km de extensão, é representada em uma carta na escala 1:50.000 com que valor? 
(Resposta em m, em cm e mm) 
6) Em uma carta, verificamos que um segmento AB mede 0,008m. O correspondente a esse segmento no terreno 
é igual a 400m. Qual a escala da carta? 
7) Sabendo que o erro gráfico em qualquer escala é de 0,2mm comprove se uma edificação de 50m de 
comprimento pode ser representada em uma carta na escala 1:100.000 
8) Pretende-se executar a planta de uma cidade de modo a que os objetos de 3 m tenham representação. Qual é 
a escala mínima a adotar, se admitirmos como erro de graficismo o valo de 0.00025 m. 
9) Um determinado desenho foi reduzido pela metade em suas dimensões lineares. Qual foi a redução da área 
gráfica? 
10) Considere uma estrada com aclive constante de 10%. Admitindo que a cota do ponto A do eixo da estrada é 
34.3 m, calcule a cota do ponto B também do eixo da estrada, sabendo que a distância que os separa numa 
carta à escala 1:5000 é 0.7 cm.