Integração por Frações Parciais

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Integração por Frações Parciais (Parte 1) – Fatores Lineares 
Algumas integrais, cujo integrando consiste numa fração racional, ou seja, uma função do tipo: 
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onde p(x) e q(x) são polinômios reais com q ≠ 0, são facilmente integráveis por substituição ou por partes, ou mesmo diretamente. Mas isso nem sempre ocorre e o integrando pode não ser facilmente calculada ou mesmo impossível por estes métodos. Neste caso, podemos decompor a fração que define o integrando em frações parciais. 
O método consiste em reescrever a fração do integrando numa soma de outras frações mais simples, de modo que a integração seja necessariamente mais simples. A decomposição é feita a partir de fatoração do polinômio q(x) que aparece no denominador, associando a cada fator linear ou quadrático irredutível uma ou mais frações parciais. 
Um polinômio em x é uma função da forma: 
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onde os coeficientes são constantes, a0 ≠ 0 e n é um inteiro positivo que também pode ser nulo. 
Sendo assim, se dois polinômios do mesmo grau são iguais, qualquer que seja o valor atribuído à variável nos dois polinômios são iguais. 
Todo polinômio de coeficientes reais pode ser expresso, pelo menos teoricamente, como um produto de fatores lineares reais, da forma ax + b e fatores de segundo grau, irredutíveis, da forma ax2 + bx + c. 
Uma função: 
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onde f (x) e g (x) são polinômios, é chamada de fração racional. 
Se o grau de f (x) for menor que o grau de g (x), F (x) é uma fração racional própria; caso contrário, F (x) é denominada imprópria. 
Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio e de uma fração racional própria. Assim: 
��
Toda fração racional própria pode ser expressa, pelo menos teoricamente, como uma soma de frações mais simples: frações parciais, cujos denominadores são da forma: 
��
onde n é um inteiro positivo. Podemos ter quaro casos distintos, dependendo de como os denominadores se apresentam. Vejamos cada caso individualmente. 
Caso 1 – Fatores Lineares Distintos 
A cada fator linear da forma ax + b que aparece uma vez no denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma fração parcial da forma: 
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onde A é uma constante a determinar. 
Exemplo 1: Achar a integral: 
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a) Primeiramente, fatoramos o denominador: 
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Fazemos: 
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Temos então que: 
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ou 
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b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos: 
Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações: 
��
Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = 1/4 e A2 = –1/4. 
Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 2 e x = –2. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo: 
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Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral. 
c) Agora, vamos reescrever a integral como: 
��
��
E pelas propriedades dos logaritmos, temos: 
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Exemplo 2: Achar a integral: 
��
a) Primeiramente, fatoramos o denominador: 
��
Fazemos: 
��
Temos então que: 
��
ou 
��
b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos: 
Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações: 
��
Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = –1/6 , A2 = 3/10 e A3 = –2/15. 
Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0, x = 2 e x = –3. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo: 
��
��
��
Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral. 
c) Agora, vamos reescrever a integral como: 
��
��
��
E pelas propriedades dos logaritmos, temos: 
��
Caso 2 – Fatores Lineares Repetidos 
A cada fator linear da forma ax + b que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma soma de n frações parciais da forma: 
��
onde A1, A2, ..., An são constantes a determinar. 
Exemplo 3: Achar a integral: 
��
a) Primeiramente, fatoramos o denominador: 
��
Vejam que o fator que se repete é o (x – 1), pois (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1). Como aparece duas vezes, fazemos 
��
Temos então que: 
��
ou 
��
b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos: 
Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações: 
��
Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = 1/2 , A2 = –1/2 e A3 = 4. 
Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = –1 e x = 1. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo: 
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��
Ainda falta determinar a constante A2. Para isso, atribuímos qualquer valor para x e substituímos os valores já determinados para A1 e A2. Vamos supor x = 0: 
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Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral. 
c) Agora, vamos reescrever a integral como: 
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��
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E pelas propriedades dos logaritmos: 
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Exemplo 4: Achar a integral: 
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Veja que neste caso, o integrante é uma fração em que o numerador tem grau maior do que o denominador. Fazemos a divisão: 
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��
Fazemos: 
��
Temos então que: 
��
Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0, x = 1 e x = –2. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo: 
��
��
��
c) Agora, vamos reescrever a integral como: 
��
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E pelas propriedades dos logaritmos: 
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Problemas para resolver em casa: 
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Referências:
[1] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr – Coleção Schaum
[2] Cálculo II – Abílio Souza Costa Neto – FTC EAD