Apostila Top II Rev.2012-1 (Reparado)

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TOPOGRAFIA E GEODÉSIA II 
[MATERIAL DE APOIO] 
 
 
 
 [ 2012-1] 
 
Prof. Sebastião Jarbas Pinheiro 
 [FEV/2012] 
Topografia e Geodésia II 
2 
 
 
ALTIMETRIA 
 
 
 
 
Conceito: É a parte da Topografia que determina as cotas ou distâncias verticais de um certo número de pontos referidos ao plano 
horizontal de projeção. 
 
Finalidade: A altimetria tem por fim a medida da distância vertical ou diferença de nível entre diversos pontos do terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DNB C 
DND E 
Topografia e Geodésia II 
3 
 
CONSIDERAÇÕES SOBRE A FORMA DA TERRA 
 
FORMA TOPOGRÁFICA OU VERDADEIRA – É a resultante da sua superfície, tal como se apresenta a vista, com seus vales, fundo 
do mar e montanhas sobre a qual as medidas são executadas. 
 
 FORMA FÍSICA – É a resultante de se considerar a superfície da terra formada pelo nível médio dos mares supostos prolongados 
sob os continentes (Superfície Geoidal) 
 
 FORMA GEOMÉTRICA OU DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO (Superfície Elipsoidal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
4 
 
 SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO – SGB: constituído por cerca de 70.000 estações implantadas pelo IBGE em todo o 
território brasileiro, dividida em três redes: 
 
- Rede Planimétrica: pontos de referência geodésico para latitude e longitude de alta precisão 
- Rede Altimétrica : pontos de altitudes conhecidos de alta precisão (RN – Referência de Nível) 
- Rede Gravimétrica: ponto de referência para valores precisos de gravidade. 
 
 
DATUM ALTIMÉTRICO (Vertical) 
 
 
 
A origem das altitudes é o nível médio dos mares (superfície geoidal), determinado por um equipamento chamado marégrafo (que faz 
os registros do nível do mar), e materializada em um RN que é denominado de “DATUM VERTICAL”. 
O “Datum Vertical” Oficial para todo o território brasileiro é um RN materializado no porto de Imbituba/SC, com altitude obtida em 
função do marégrafo ali instalado. 
 
 
Apoio Geodésico Altimétrico 
 
 
Conjunto de referências de nível, materializadas no terreno, que proporciona o controle altimétrico dos levantamentos topográficos e o 
seu referenciamento ao datum (origem) altimétrico do país. As altitudes no Brasil são determinadas a partir da Rede Altimétrica 
Brasileira, estabelecida e mantida pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
5 
 
 
Determinação da altitude elipsoidal ou Geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte:htt://www.ibge.gov.br/home/geociências/geodesia/modelo_geoidal.shtm 
 
 
H= h - N 
N Ondulação geoidal 
h altitude elipsoidal (geométrica dada pelo GPS) (SEM sentido físico – dependente do elipsóide usado) 
H altitude geoidal (ortométrica) (COM sentido físico – independente do elipsóide usado) 
 
A altitude ortométrica H é de especial interesse para as atividades de engenharia 
 
Topografia e Geodésia II 
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Altitude – Quando as distâncias verticais são referidas à superfície média dos mares (nível verdadeiro). 
 
Cota – Quando as distâncias verticais são referidas a um plano de referência arbitrário (fictício), situado acima ou abaixo das 
superfícies dos mares (nível aparente). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Processos de nivelamento: 
 
Nivelamento Barométrico – realizado com barômetro; 
 
Nivelamento Geométrico – realizado com níveis ópticos; 
 
Nivelamento Trigonométrico - realizado com teodolito. 
 
LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO 
 
 
Finalidade: Dar idéia do modelado topográfico, do contorno e das dimensões de uma determinada porção da superfície terrestre. 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
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REDUÇÃO DAS DISTÂNCIAS INDIRETAS 
 
A medida indireta das distâncias e das diferenças de nível teve sua origem no PRINCÍPIO GERAL DA ESTADIMETRIA. 
 
ESTADIMETRIA – Método de levantamento em que as distâncias são determinadas com auxílio da ESTÁDIA (Mira) e de aparelhos 
cuja luneta é dotada de fios estadimétricos. 
 
TIPOS DE ÂNGULOS VERTICAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vertical propriamente dito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
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α = 90º - Z 
 
 Fórmulas para o cálculo da distância horizontal (DH) 
 
 DH = G.100.cos² α ou DH= G.100.sen² z 
 
Onde: 
 
D = Distância reduzida (horizontal) 
G = Nº gerador 
G = Fs – FI (em metros) 
100 = constante estadimétrica 
Fs = Fio superior 
FI = Fio inferior 
α = ângulo vertical (+ ou - ) ângulo medido a partir da linha do horizonte 
Z = ângulo zenital ângulo medido a partir do zênite 
 
 
 
Procedimento para leituras na mira: 
 
 Coloca-se o fio médio (Fm) em um valor cheio e lê-se os extremos (FS e FI) de onde temos: 2FM = FS + FI 
 
FM = FS + FI 
 2 
G = FS – FI 
 
Aplicações: 
 
a) Calcular a distância horizontal entre dois pontos, medida com auxílio de um teodolito e mira. 
Topografia e Geodésia II 
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Dados: 
 
b) Leituras de mira 
 
FS = 1600 mm 
FM = 1200 mm 
FI = 800 mm 
 
D = distância horizontal 
 = ângulo vertical 
+ = ângulo vertical positivo (acima da linha do horizonte) 
- = ângulo vertical negativo (abaixo da linha do horizonte) 
 
b) Ângulo vertical ( ) 
 = 4º 28’ 
Cálculos 
D = 100 x 0.80 x 0.9939 
D = 79,51 m 
 
 
 
 
NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO OU INDIRETO 
 
Baseia-se na resolução de um triângulo, do qual se conhece um dos catetos (distância DH), e se procura o outro cateto (DH. Tg α) 
medindo para tal o ângulo (α ou z) formado entre a horizontal e o ponto visado na mira (fio médio). 
 Método menos exato que o geométrico 
 Pequeno erro na medida do ângulo dá um erro sensível na diferença de nível. 
 
 
Topografia e Geodésia II 
10 
Z
hi
fm
A
B
DH
DH
.tg 
DN
DATUM (NMM)
HA
HB
linh
a de
 visa
da
miraOnde: 
DH= Distância horizontal 
hi = altura do instrumento 
Fm = Leitura do fio médio 
α = ângulo vertical 
z = ângulo zenital 
 
HA= Altitude de A e HB = Altitude de B 
HA 
HB 
Datum 
Topografia e Geodésia II 
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FÓRMULAS 
 
 Distância horizontal (DH) 
 
DH= G.100.sen² z 
ou 
DH = G.100.cos
2 
 
 
Onde : 
G = Fs – Fi (em metros) 
 
 Diferença de nível (DN AB) 
 
DNAB = hi + DH. tg - Fm 
 
 Cota de um ponto ( Hn ) 
 
Hn = Hn-1 + hi + DH. tg – Fm 
 
 
onde : Hn-1 = cota do ponto anterior (cota do ponto da estação do teodolito) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
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Exercício 1 – Nivelamento de um eixo longitudinal 
 
Calcular as cotas dos pontos A,B,C,D e E, nivelado pelo processo trigonométrico. 
Dados : 
 
 
a) Caderneta de campo/planilha 
 
 
Estação Pontos 
nivelados 
Alt. do 
Instrum. 
(Ai) 
Distâncias 
Ângulo vertical Leitura 
mira (FM) 
Diferença de 
nível (DN) 
Cotas (m) 
(H) 
OBS 
(+) ( - ) 
- A - - - - - - 0.00 RN 
A B 1.43 47.30 8º30' 0 
B C 1.27 73.10 10º25' 1.87 
C D 1.18 23.80 5º10' 0 
D E 1.15 52.90 7º21' 2.02 
 
 b) Croqui 
 
 
Topografia e Geodésia II 
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Exercício 2 – Levantamento planialtimétrico de uma área (poligonal fechada) 
 
Calcular as distâncias reduzidas dos pontos da poligonal e das irradiações. 
 
Estação 
Ponto 
visado 
(Pv) 
Alt. do 
Instrum. 
(Ai) 
Ângulos Leitura de Mira (mm) 
Distância 
Reduzida 
Horizontal 
( H ) 
Vertical 
(Z) Fs Fm Fi 
1 2 1.505 90º 89º31' 00" 1025 900 775 
1 1a 1.505 98º40'00" 89º31'00" 834 600 366 
1 1b 1.505 211º35'50" 90º40'00" 1806 1700 1594 
2 3 1.574 90º00"00" 90º21'46" 750 500 250 
2 2a 1.574 90º00'00" 90º22'35" 1125 1000 875 
3 4 1.566 90º00'00" 92º09"20" 1525 1400 1275 
3 3a 1.566 207º45'50" 89º57'30" 585 400 215 
4 1 1.520 90º00'00" 91º09'40" 1550 1300 1050 
4 4c 1.52 269º04'30" 89º14'30" 1660 1500 1340 
 
 Tolerâncias de fechamento altimétrico 
 De acordo com a tab. 8 – Nivelamento de linhas ou circuitos e seções, da NBR 13133, para a classe IVN, Temos: 
 
Classe Metodologia 
Desenvolvimento 
Tolerâncias 
de 
fechamento 
Linha 
Seção 
Extensão 
Máxima 
Lance 
Máximo 
Lance 
Mínimo 
Nº 
máximo 
de lances 
 IVN 
Taqueo. 
Nivelamento taqueométrico a ser realizado 
através de leitura dos três fios sobre miras 
centimétricas, devidamente aferidas, providas 
de prumo esférico, leitura vante e ré, leitura do Princ. 5 km 150 m 30 m 40 0.30 m k 
ângulo vertical simples, com correção de PZ ou 
de índice obtida no início e no fim da jornada de Sec. 2 km 150 m 30 m 20 0.40 m k 
trabalho, por leituras conjugadas, direta e inversa, 
com teodolito classe 1. 
 K = extensão nivelada em km, medida num único sentido. 
Topografia e Geodésia II 
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 Cálculo do erro 
 
O erro é calculado somando as diferenças de nível (+) e as diferenças de nível (-), separadamente, obtendo-se: DN (+ ) e DN (- ). 
O erro na cota Ec pode, então, ser calculado: 
 
Ec = DN ( + ) - DN ( - ) 
 
 
 Ajustamento (Ajc) letra C na planilha. 
 
 
O ajustamento das cotas é feito levando-se em consideração o erro de cota por metro percorrido e que é dado por: 
 
 
 
Emc = Ec /_ D 
 
Portanto, o valor a ser ajustado em uma cota será o produto do erro por metro percorrido pela distância percorrida, desde o vértice 
anterior (estação) até o ponto em questão (ponto visado). 
 
 
 
 
 Cálculo da Cota 
 
A cota de cada ponto visado é obtida considerando-se, para o vértice inicial, um valor arbitrário (de cota) suficientemente grande 
para que todos os resultados a serem obtidos sejam positivos e, a seguir, faz-se sucessivamente a soma algébrica (acumulada) entre 
os valores da cota do vértice anterior e o valor da diferença de nível compensada. 
 
Ajc = Emc. D 
Topografia e Geodésia II 
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 CÁLCULO DAS COTAS DOS VÉRTICES DA POLIGONAL FECHADA 
 
R E PV AI 
Leitura de Mira Ângulo Vertical Distância Reduzida Diferença de Nível (DN) Cotas 
PN 
FI FM FS (Z) (alfa) (D) Direta ( c ) Compensada ( H ) m 
 4 1 2 1,505 0,775 0900 1,025 89º31’ 0º29’00” 2 
 1 2 3 1,574 0,250 0,500 0,750 90º21’46” - 0º21’46” 3 
 2 3 4 1,566 1,275 1,400 1,525 92º09’20” - 2º09’20” 4 
 3 4 1 1,520 1,050 1,300 1,550 91º09’40” -1º09’40” 4,631 1 
 
 
 
 
 
Cálculos: 
 
a) Erro altimétrico (Ec) 
 DN(+) = 
 DN(-) = 
Ec = 
Ec = 
 
b) Cálculo da tolerância da cota (Tc): 
 
Tc = 
Tc = 
 
 
c) Erro por metro 
 
Emc = Ec/ D 
Emc = 
Emc = 
d) Ajustamento (Ajc) 
Ajc = Emc. D 
 
Ajc (2) = 
 
Ajc (2) =
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
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 CÁLCULO DAS COTAS DAS IRRADIAÇÕES 
 
 
R E PV AI 
Leitura de Mira Ângulo Vertical Distância Reduzida Diferença de Nível (DN) Cotas 
PN 
FI FM FS (Z) (alfa) (D) Direta ( c ) Compensada ( H ) 
- - - - - - - - - - - - - 4.631 1 
 1 1a 1.505 0.366 0.600 0.834 89º31’00” 0º29’00” - - 1a 
 1 1b 1.505 1.594 1.700 1.806 90º40’00” - 0º40’00” - - 1b 
 
 - - - - - - - - - - - - - 2 
 2 2a 1.574 0.875 1.000 1.125 90º22’35” - 0º22’35” - - 2a 
 
 - - - - - - - - - - - - - 3 
 3 3a 1.566 0.215 0.400 0.585 89º57’30” 0º02’30” - - 3a 
 
- - - - - - - - - - - - - 4 
 4 4c 1.520 1.340 1.500 1.660 89º14”30” 0º45’30” - - 4c 
 
 
REFERÊNCIA DE NÍVEL (R.N) 
 
São pontos fixos no terreno que correspondem a cotas ou altitudes de um nivelamento. 
 
 
 Podem ser artificiais : madeira de lei com entalhe especial e de concreto 
 
 natural : soleira de porta de edifício, pedra natural, etc. 
 
 
 
 
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 Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) 
 
 
 
 
A diferença de nível ( H) ou desnível entre dois pontos B e C é obtida pela diferença de cotas ou altitudes desses dois pontos. 
 
 
H = HC – HB 
 
 
 
 
Evidentemente, o valor de H será positivo se a cota de C (HC) for maior que a cota de B (HB) e negativo em caso contrário. 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
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DECLIVIDADE 
 
 
A declividade de um terreno entre dois pontos é medida pela inclinação da reta que os une com o plano horizontal. 
 
Pode ser expressa em porcentagem, em milésimos ou em graus. 
 
Declive em Porcentagem – O meio mais comum de exprimir a valor do declive de uma encosta é em porcentagem. O declive de 1% 
significa que se sobe ou se desce 1 unidade em uma distância de 100 unidades; um declive de 10% significa que sesobe ou desce 10 
metros. O declive em porcentagem é igual a: 
 
D = DN .100 
 DH 
 
Onde: 
 
D = Declive em porcentagem (%) 
DN = Diferença de nível entre dois pontos 
DH = Distância horizontal entre dois pontos 
 
Ex..: 
Na fig., a linha XY representa um encosta. Se a distância horizontal entre X e Y é de 100 metros e a diferença de nível é de 10 
metros, o declive da encosta XY é igual a: 
 
D = 10 . 100 = 10% 
 100 
 
 
Na planta a distância horizontal é medida diretamente, e a altura vertical é a diferença de nível entre os pontos. Um declive 
Topografia e Geodésia II 
19 
ascendente é positivo (+) e um descendente é negativo (-). 
 
Por exemplo, na fig. abaixo, trata-se de achar o declive entre A e B. Mede-se primeiramente a distância horizontal, 220 m. 
Determina-se a altura subtraindo a cota de A da cota de B. A altura é de : 559 m – 530 m = 29 m. 
 
 
 
O declive é: 
 
D = 29 . 100 
 220 
D = + 13% 
 
 
Topografia e Geodésia II 
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NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
 
É aquele que opera por meio de visadas horizontais obtidas com auxílio de instrumentos ópticos de precisão chamados níveis. 
 
Tipos de níveis: 
 
-Nível de mão (Pedreiro) 
-Mangueira (Princípio dos vasos comunicantes) 
-Níveis ópticos (níveis de engenharia) 
 
 Nivelamento Geométrico Simples: É aquele realizado com apenas uma estação do nível. 
 
 Nivelamento Geométrico Composto: É aquele realizado com mais de uma estação do nível. 
 
 Longitudinal 
 Pode ser Transversal 
 Radiante 
 
 
 
 
 Classificação quanto à precisão: 
 
 Nivelamento de alta precisão ou de 1ª ordem ou Geodésico – quando o erro provável acidental não atinge 2 mm por km; 
 Nivelamento geométrico de precisão ou de 2ª ordem – quando o erro provável por km não atinge 6 mm; 
 Nivelamento geométrico topográfico ou de 3ª ordem – quando o erro provável não atinge 3 cm (30 mm) por km. 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
21 
 
 
 Tolerâncias de fechamento altimétrico 
 
 De acordo com a tab. 8 – Nivelamento de linhas ou circuitos e seções, da NBR 13133, para as classes: 
 
 
Classe Metodologia 
Desenvolvimento 
Tolerâncias 
de 
fechamento 
Linha 
Seção 
Extensão 
Máxima 
Lance 
Máximo 
Lance 
Mínimo 
Nº 
máximo 
de lances 
IN 
Geom. 
Nivelamento geométrico a ser executado 
com nível classe 3, utilizando miras dobráveis, 
centimétricas, devidamente aferidas, providas 
de prumo esférico, leitura a ré e a vante dos três fios, 10 km 80 m 15 m 12 mm k 
visadas eqüidistantes com diferença máxima de 
10 m, ida e volta em horários distintos e com 
Ponto de Segurança (PS) a cada km, no máximo. 
 
 
 
Classe Metodologia 
Desenvolvimento 
Tolerâncias 
de 
fechamento 
Linha 
Seção 
Extensão 
Máxima 
Lance 
Máximo 
Lance 
Mínimo 
Nº 
máximo 
de lances 
IIN 
Geom. 
Nivelamento geométrico a ser executado 
com nível classe 2, utilizando miras dobráveis, 
centimétricas, devidamente aferidas, providas 
de prumo esférico, leitura do fio médio, ida e volta ou 10 km 80 m 15 m 20 mm k 
circuito fechado, com Ponto de Segurança (PS) 
a cada dois km, no máximo. 
 
 
K = extensão nivelada em km, medida num único sentido. 
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 Aplicação: 
 
 Transporte de RN 
 Determinação do relevo de terrenos 
 Marcação direta de curvas de nível 
 Obras de construção (engenharia) em geral 
 Controle de recalque em obras de engenharia 
 
0 nivelamento geométrico entre dois pontos A e B do terreno, baseia-se na visada horizontal através de um nível de luneta, sobre 
duas miras graduadas verticalizadas, colocadas sobre os pontos em questão; é o método mais preciso. 
 
Geralmente o nivelamento geométrico é realizado com o nível de luneta estacionado num ponto situado entre as miras de ré e de 
vante, não necessariamente no seu alinhamento, o que permite determinar diferenças de nível entre pontos situados a duas vezes o 
alcance da visada normal da luneta. 
Nesse tipo de nivelamento, para a obtenção da diferença de cota entre dois pontos não é necessário o conhecimento da distância 
entre esses dois pontos. 
 
Chamando-se a leitura da mira de ré (em A) de HR e a leitura da mira de vante (em B) de HV, temos, desprezando os efeitos da 
curvatura da terra e da refração, a diferença de nível H: 
 
H = HR – HV 
 
isto é, a diferença de cota entre os dois pontos é simplesmente a diferença entre os valores indicados, em cada uma das miras, pelos 
raios visuais que passam pelo fio médio do retículo. Tendo-se a cota ou altitude de um ponto, determina-se, então, a cota ou altitude 
do outro ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
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O nivelamento se diz simples, quando é feito com o aparelho estacionado apenas uma vez. Como para distâncias longas 
normalmente isto é difícil, temos que efetuar um nivelamento composto que consiste num somatório de nivelamentos simples, a 
partir de uma série de estações, como mostra a fig. abaixo. 
 
 
Visada ré (Vr) – É a leitura de mira feita em um ponto de cota conhecida. 
Visada vante (Vv) – É a leitura de mira feita em um ponto de cota desconhecida ou a calcular. 
Visada vante de mudança (Vvm) – É a última leitura de mira vante de uma estação. 
Altura do Instrumento (Ai) – É calculada somando a cota ( C ) de um ponto mais a visada ré (Vr ). 
 
Ai = C + Vr 
 
 
C = Ai - Vv 
 
 
 
 
A verificação do nivelamento de uma poligonal aberta é feita através do contra-nivelamento, ou seja, nivelamento em sentido 
contrário. 
 
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Caderneta de Nivelamento Geométrico ( Poligonal aberta) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificação dos cálculos: Cota final (CF) – Cota inicial ( Ci ) = Vr - Vvm 
 
 
 
 
 
 
Pontos 
Niv. (Pn) 
Visadas Alt. Instrumento. 
(Ai) 
Cota 
( C ) m 
Obs 
Ré(Vr) Vante(Vv) 
Rn 0 3,120 --------- 700,000 Estaqueamento de 20 em 20 
0 2,320 m. 
1 1,430 RN0 – Localizado no entronca- 
2 1,840 Mento das ruas ....................e 
+ 11,00 2,020 ............... próximo .............. 
3 2,140 
4 2,210 
+ 7,00 1,190 2,200 
5 1,340 
+ 2,00 2,840 
 
Topografia e Geodésia II 
25 
 
PROCESSOS DE REPRESENTAÇÃO DO RELEVO 
 
 
A representação do relevo é feita principalmente pelos seguintes processos: 
 
- das curvas de nível 
- das hachúrias 
- das cores hipsométricas 
- dos planos cotados 
 
PROCESSO DAS CURVAS DE NÍVEL 
 
Consiste em seccionar o terreno por um conjunto de planos horizontais eqüidistantes, que interceptam a superfície do local, 
determinando linhas fechadas que recebem o nome de “curvas de nível”. 
Cada uma destas linhas, pertencendo a um mesmo plano horizontal, tem, evidentemente, todos os seus pontos situados na mesma 
cota altimétrica, isto é, estão todos no mesmo nível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
0
0 
Topografia e Geodésia II 
26 
 
 
PROCESSO DAS HACHÚRIAS 
 
As hachúrias são pequenas linhas paralelas ou ligeiramente divergentes, traçadas na direção dos declives. 
 
CORES HIPSOMÉTRICAS 
 
O relevo é representado emcertas cartas, por meio de cores; nesse processo cada cor ou tonalidade representa determinada zona de 
altitude. As cartas possuem, na margem, uma legenda mostrando a correspondência entre as cores e as altitudes. 
 
PLANOS COTADOS 
 
A forma mais simples de representar a altimetria é o plano cotado, no qual as projeções dos pontos característicos do terreno tem a 
seu lado as respectivas cotas, referidas a um datum arbitrário, ou altitudes, referidas ao nível do mar. É normalmente utilizado nas 
plantas topográficas como um sistema complementar às curvas de nível, particularmente nas regiões pobres de relevo. 
 
Propriedades das curvas de nível 
As curvas de nível, desenhadas tal como se encontram na natureza, apresentam certos característicos que podem ser chamados de 
propriedades. 
a) duas curvas de nível jamais se cruzam, porque disto resultaria um único ponto com duas elevações diferentes; 
 
Topografia e Geodésia II 
27 
b) quando várias curvas de nível se sobrepõem, estamos diante de um plano vertical; passando porém o acidente, elas retomarão 
espaçamento horizontal. Esse fato, raro na natureza, pode, todavia, ser produzido pelo homem; 
c) quando as curvas de nível estão muito afastadas umas das outras significa que o terreno é levemente inclinado, e quando muito 
próximas, um terreno fortemente inclinado; 
d) curvas de nível igualmente espaçadas, indicam terreno de inclinação invariável; 
e) uma curva de nível não pode desaparecer repentinamente; 
f) o maior declive do terreno ocorre no local onde aparecer a menor distância entre duas curvas de nível; 
g) formam linhas fechadas em torno das elevações e depressões, dentro ou fora dos limites do desenho; 
h) ausência de curvas de nível, nota-se quando há terreno plano; 
i) as curvas de nível não atravessam perpendicularmente um curso d’água. Elas acompanham o leito em sentido inverso ao das 
águas, e o atravessam descrevendo um V; sua culminância coincide com o talvegue, retornando depois pela margem oposta. 
 
 caso a caso b caso c caso d 
 caso e caso f, g caso i 
Topografia e Geodésia II 
28 
 
 
ESTUDO DO MODELADO TOPOGRÁFICO 
 
a) Maquete b) Planta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
29 
Processo de interpolação 
Representa-se em planta as curvas de nível que tenham cota inteira, a uma eqüidistância adequada para a escala do desenho. A 
posição dos pontos de cota inteira é obtida por interpolação linear entre os pontos levantados no terreno. As curvas de nível são 
traçadas unindo-se os pontos de cota inteira assim obtidos. 
 
A posição das curvas de nível de cota inteira e eqüidistante sobre cada seção reta entre dois pontos altimétricos levantados em 
campo é determinada por cálculos de regra de três, que associa dois triângulos semelhantes de cada vez: o triângulo 1 formado pelo 
perfil do corte entre os dois pontos levantados; o triângulo 2 formado pelo perfil entre um dos pontos levantados e a primeira curva 
de nível...e assim em diante. 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 Ex. cálculo X1 (curva 11) 
 11,3 
 11 
 0,8 
 
 0,5 
 10,5 
 X1 
 
 10 
Topografia e Geodésia II 
30 
DETERMINAÇÃO NA PLANTA DA COTA DE UM PONTO 
 
Seja determinar na fig. a cota do ponto P. Ele se acha compreendido entre as curvas de nível 40 e 50. Traçando-se a normal MN às 
duas curvas passando por P verificamos ser as distâncias horizontais MP’ e MN’ iguais a 40 e 145 metros, respectivamente. Como 
a eqüidistância é de 10 metros temos que a diferença de nível entre P e M é de: 
 
 
10x40 = 2,7 m , Logo a cota do ponto P será: cota de M + 2,7 m = 40 + 2,7 m = 42,7 m. 
 145 
 
 
PERFIL DE UMA SEÇÃO DO TERRENO 
 
Chama-se perfil de uma seção do terreno ao desenho do relevo desse terreno, ao longo da seção (longitudinal ou transversal), que é 
representada na planta por uma linha (reta, quebrada, curva, etc.) 
 
Procedimento para desenho do perfil: 
 
Sobre o eixo horizontal, marcam-se comprimentos horizontais sucessivos, correspondentes aos segmentos da linha determinante da 
seção, compreendidos entre curvas de nível consecutivas e , sobre o eixo vertical, relativamente a cada um desses pontos, a cota 
determinada pela curva de nível que deu origem. Unem-se os pontos determinados pelas respectivas coordenadas e tem-se o perfil 
procurado. 
Topografia e Geodésia II 
31 
GREIDE ( GRADE ) 
 
Greide : é a linha gráfica que acompanha o perfil do terreno, sendo dotada de uma certa inclinação, e que indica quanto do solo deve ser 
cortado ou aterrado. 
 
COTA VERMELHA - é a distância vertical entre um ponto qualquer do greide e um ponto correspondente no terreno. 
 
Quando o Greide estiver acima do ponto correspondente do terreno, a cota vermelha é positiva ( + ), indicando aterro. 
 
Quando o Greide estiver abaixo do ponto correspondente do terreno, a cota vermelha é negativa ( - ), indicando corte. 
 
PONTO DE PASSAGEM - quando o ponto do greide coincide com o ponto do terreno, não havendo corte nem aterro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
32 
Cálculo da cota do greide 
 
 Cota A’ = Cotaant + ((i/100).Dh)) 
 Cota vermelha (aterro) = Cota A’ – Cota A 
 Cota vermelha (corte) = Cota B’ – Cota B 
 
 
Cota A’ = Cota do greide na estaca desejada 
Cota ant = Cota anterior do greide 
i = declividade ou inclinação do greide - expressa em porcentagem 
Dh = Distância horizontal ( distâncias entre estacas = 20 m) 
 
 
 
Exemplo 
 
1- Dado o perfil e o greide, pede-se: 
 
a) Calcular a declividade do greide 
b) Calcular as cotas do greide 
c) Calcular as cotas vermelhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
33 
630
635
640
ATERRO
CORTE
COTA VERMELHA
COTA DO GRADE
COTA DO TERRENO
DECLIVIDADE
TRAÇADO
ESTACAS
QUILOMETRAGEM
RODOVIA ......
TRECHO ......
PERFIL LONGITUDINAL
DO
PROJETO
ESC. HOR. = 1:2.000
ESC. VERT. = 1:200
0,1
8
50 1 2 3 4 55 6 7 8 9 60
Km 1
M.G
 - 4
9
(63
2,3
0) M
.G 
- 54
+ 1
0,0
0
(63
6,3
8)
M.G
 - 5
8+ 
10,
00
(63
7,4
0)
0,2
5
+10
,00
0,8
8
1,3
0
0,4
5
0,0
6
0,0
7
0,0
9
1,2
0
1,1
5
0,6
0
0,0
7
632
,30
633
,04
633
,78
634
,53
635
,25
636
,01
636
,38
636
,50
636
,75
637
,00
637
,40
637
,23
633
,10
633
,60
634
,60
635
,00
636
,10
635
,50
635
,20
636
,30
638
,20
638
,40
637
,30
637
,25
638
,00
+ 3,71%
110,00
+ 1,27%
80,00
- 1,65%
90,00
+6,
30
PC
D
+10
,00
PTR=AC=
D=
T=48,00 m
+18
,00
PC
D
+10
,00
PTR=
AC=
D=
T=47,00 m PC
E
PT
+17
,00
+10
,00
T=R=
AC=
D=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
34 
CÁLCULO DE VOLUMES 
 
1- Volume pela fórmula do Prismóide 
 
Se o volume estiver compreendido entre duas superfícies horizontais delimitadas por curvas de nível, será estimado pela 
fórmula do Prismóide. Considere a fig. abaixo. 
 
 
 
 Fig. 1 
 
Onde, 
 
A1 e A2 Áreas das fig. limitadas por curvas de nível 
h eqüidistância vertical 
V volume 
 
V= ( + + ) 
 
Topografia e Geodésia II 
35 
A fórmula do Prismóide é a mais adequada para calcular volumes do tipo apresentado na fig. 1 acima. Representa o 
volume de uma secção cônica de altura h cujas áreas de base e topo têm valores A1 e A2, respectivamente. 
 
O volume total da secção de terreno apresentada na fig. 2 é dado pela equação: 
 
VT = V1 + V2 + V3 + V4 
VT = [( + + ) + ( + + ) + ( + + )] + ( ) 
 
 
 Fig. 2 
 
Sendo h a eqüidistância vertical entre as curvas de nível. 
 
Notar que, para o cálculo de V4, o valor de h será diferente. A área do topo do prismóide será nula. Esse último 
volume será aproximado pelo volume de um cone. 
 
A fórmula geral para um volume calculado à custa de n volumes parciais entre curvas de nível será dada pela equação: 
 
 
Topografia e Geodésia II 
36 
V= 
 
 
2- Volume pela fórmula da Seção Média 
 
Se o volume a determinar estiver compreendido entre superfícies verticais, como é o caso de volumes a movimentar ao 
longo de futuros eixos de vias rodoviárias, fig. 3 abaixo, ele será aproximado pela fórmula da Seção Média, 
representada pela equação: 
 
V= ( + ) 
 
Sendo: 
V volume 
e áreas das figuras limitadas por perfis do terreno 
h distância entre as duas superfícies verticais 
 
 
 Fig. 3 
Topografia e Geodésia II 
37 
 
Esta fórmula equivale a calcular o volume de um prisma vertical cuja área da base é a área média entre e e a 
altura, o valor da eqüidistância. 
 
Na fig. 3 acima as superfícies verticais são encontradas construindo perfis de terreno. É usual, em projetos de vias 
rodoviárias, efetuarem cálculos de volumes por este processo. 
 
TERRAPLENAGEM 
 
Definição 
 
De forma genérica pode-se definir terraplenagem ou movimento de terras como o conjunto de operações necessárias à remoção do 
excesso de terra para locais onde esta esteja em falta, tendo em vista um determinado projeto a ser implantado. 
 
Aplicação 
 
A construção de uma estrada de rodagem, ferrovia ou aeroporto, a edificação de uma fábrica ou usina hidrelétrica, ou mesmo de um 
conjunto residencial exigem a execução de serviços de terraplenagem prévios, regularizando o terreno natural, em obediência ao 
projeto que se deseja implantar. 
 
Pode-se afirmar, portanto, que todas as obras de Engenharia Civil de grande porte ou pequeno porte exigem trabalhos prévios de 
movimentação de terras. 
 
O PROCESSO DE INTERVENÇÃO (TERRAPLENAGEM) E AS QUESTÕES AMBIENTAIS 
 
Todas as obras de engenharia interferem no meio ambiente gerando modificações no seu condicionamento/funcionamento. 
A intensidade dessa interferência resulta em uma resposta do meio ambiente sobre a obra (erosões, deslizamentos, assoreamento, 
etc.) que pode colocá-la em risco, maior ou menor, dependendo, basicamente: 
- da capacidade de suporte (resistência) do meio ambiente aos impactos das obras; 
Topografia e Geodésia II 
38 
- dos cuidados preventivos propostos na fase de projeto com relação aos tipos de impactos potenciais associados ao 
empreendimento. 
 
Entende-se como impactos as reações da natureza perante a introdução de elementos estranhos no ecossistema considerado, 
resultando em modificações na estrutura ambiental preexistente. Os impactos, como conseqüência, podem ser positivos ou 
negativos, e seu somatório final pode gerar, também, resultados positivos ou negativos. 
À medida que há possibilidade de se prever, razoavelmente, tanto qualitativa como quantitativamente, as reações que advirão da 
introdução de um elemento novo na área de estudo, será possível estabelecer, também, uma série de regras e ações paralelas para a 
implantação do empreendimento, capazes de mitigar os resultados negativos e potencializar os positivos. 
Logo, é fundamental adequar o projeto às características do meio ambiente, que é o suporte de sua inserção. 
 
 Cálculo do volume de Corte 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
39 
 
 
 Cálculo dos volumes de corte e aterro, mediante cota de projeto 
 
Exemplo 
 
Um terreno de 40 x 60 m foi quadriculado de 20 em 20 m obtendo-se as seguintes cotas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
1) Calcular a cota final do plano horizontal que resulte em volumes 
de corte e aterro iguais Vc = Va 
2) Traçar, na planta, a curva de passagem entre corte e aterro 
3) Calcular o volume total de aterro 
4) Calcular o volume total de corte 
 
 
 
 
Seção 1 2 3 4 
A 
B 
C 
10,2 
11,0 
11,7 
11,1 
11,8 
12,6 
 
12,0 
12,7 
13,7 
12,8 
13,6 
14,5 
 
Topografia e Geodésia II 
40 
 
 
Topografia e Geodésia II 
41 
 
ETAPAS DE UM PROJETO DE TERRAPLENAGEM 
 
1) LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO 
 
 
2) DESENHO DO PROJETO - SITUAÇÃO REMANEJADA 
 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
Topografia e Geodésia II 
42 
 
 
 
3) DESENHO DA SEÇÃO TRANSVERSAL AO PLATÔ - Seção AA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
43 
 
 
 
Para projetar um PLANO 
 
 
a) define-se a forma e dimensões do plano 
 
b) localiza-se o plano sobre o terreno 
 
c) define-se o nível altimétrico (cota ou 
altitude) do plano 
 
d) retira-se todas as curvas de nível que 
cruzam o plano (um plano pode ser 
circundado por uma curva de nível, jamais 
cruzado) 
 
e) redesenha-se o terreno (através das 
curvas de nível) conforme projeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
44 
 
 
TALUDES DE CORTE E ATERRO 
 
 
Talude é a forma de caracterizar a inclinação da saia do aterro ou a rampa do corte, expresso pela relação h/v( * ). Um talude 
na proporção 3:2 significa que a cada 3 m de avanço no plano horizontal teremos 2 m no plano vertical. 
As escolhas das inclinações são feitas em função da necessidade de estabilidade ou por motivos estéticos. Por outro lado, a 
estabilidade maior ou menor depende da natureza do solo. Por exemplo, taludes de corte em rocha podem ser até verticais. Nos 
casos comuns, os taludes de corte variam entre 2/3 e 1/1 e os de aterro entre 1/1 e 3/2. 
 As terminações do corte e principalmente do aterro não podem seratravés de paredes verticais. A terra não teria estabilidade e 
aconteceriam os deslizamentos. Assim tanto o corte como o aterro acabam em planos inclinados, conhecidos pelo nome de taludes. 
Os taludes de corte e aterro são mais ou menos inclinados, dependendo do “projeto”. Em geral, os taludes de aterro devem ser 
menos inclinados que os de corte, pois em se tratando de terra posta os aterros têm menos estabilidade que os de corte, cujo terreno 
é natural. 
 
Rampa do Corte 
 
É a superfície lateral (geralmente inclinada) que resulta da conformação de uma seção de corte. A interseção dessa superfície 
com a superfície da plataforma é denominada pé do corte, sendo a interseção com o terreno natural denominado crista do corte. 
 
Off-sets 
 
São dispositivos (geralmente varas ou estacas) que servem para referenciar a posição das marcas físicas correspondentes às 
cristas dos cortes ou dos pés dos aterros, colocados em pontos afastados por uma distância fixa convencionada (daí a denominação, 
do original em inglês, que designa afastamento). Seu objetivo é facilitar a reposição das marcas, se arrancadas durante a construção 
dos cortes ou dos aterros. 
 
 
Crista de Corte (estaca offset) : Ponto limite da conformação dos taludes de corte. 
Topografia e Geodésia II 
45 
 
Pé de Aterro (estaca offset) : Ponto limite da saia dos aterros. 
 
 
 
 
Exemplo de talude de aterro Exemplo de talude de Corte 
 
 
 terreno natural 
 
 2 
 1 ATERRO 
 1 CORTE 
 1,5 
 
 terreno natural 
 
 
( * ) h/v h = 2m ( * ) h/v h = 1,5m 
 v = 1m v = 1m 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia e Geodésia II 
46 
 
 
 
EMPOLAMENTO DOS SOLOS 
 
 
Um fenômeno característico dos solos, importante na terraplenagem, é o empolamento ou expansão volumétrica. 
Quando se escava o terreno natural, a terra que se encontrava num certo estado de compactação, proveniente do seu próprio 
processo de formação, experimenta uma expansão volumétrica que chega a ser considerável em certos casos. 
 
Os solos naturais apresentam expansões volumétricas diferentes, gerando diversos valores de fator de empolamento e porcentagem 
de empolamento. De modo geral, quanto maior as porcentagens de finos (argila e silte), maior será essa expansão. Ao contrário, os 
solos arenosos, com pequenas porcentagens de finos, sofrem pequeno empolamento (tabela abaixo). 
 
Tipo de solo Empolamento (%) 
Solos argilosos 40 
Terra comum seca (solos argilo-siltosos com areia) 25 
Terra comum úmida 25 
Solo arenoso seco 12 
 
 
Locação de Obras 
 
 Locação é a operação inversa do levantamento. No levantamento, também chamado de medição, obtemos medidas de 
direção, ângulos e distâncias para, no escritório, calcular, desenhar plantas e desenvolver projetos. Na locação, também chamada de 
marcação, os elementos ou pontos topográficos a serem materializados no terreno são elaborados no escritório através de um 
projeto. O topógrafo, de posse do projeto de locação de uma obra, irá implantá-la no terreno. 
 Basicamente a locação pode ser efetuada usando-se os dois sistemas de coordenadas universais : os retangulares e os polares. Como 
regra geral, podemos dizer que as coordenadas polares (direção e distância) são melhores para locar pontos. E as coordenadas 
Topografia e Geodésia II 
47 
retangulares ( X,Y ) para locar alinhamentos. Para caracterizar melhor a aplicação desses dois sistemas de coordenadas nas locações, 
daremos exemplos de cada um deles. 
 
 
 
 
 Locação utilizando coordenadas polares 
 
 Seja locar um marco M3, a partir de uma base (M1, M2) de uma triangulação topográfica. 
 Coordenadas da base M1 (x = 625 , y = 675) M2 (x = 875 , y = 1025). Coordenadas projetada para M3 (x = 1050 , y = 725). 
 
 Utilizando as fórmulas abaixo para o cálculo dos Azimutes e Distâncias, chegou-se aos seguintes resultados : 
 
 Azimute : tan R(M1 M2) = xM2 – x M1 ; tan R(M2 M3) = xM3 – xM2 ; tan R(M1 M3) = XM3 – XM1 
 yM2 – yM1 yM3 – y M2 YM3 – yM1 
 
 
 
 Distância “C R O Q U I “ 
 
 M2 
 D = √( xM2 – xM1)² + ( yM2 - yM1)² 294°12´21´´ ( A ext.) 
 430,116 
 Az 35º32´16´´ 
 Azimute de M1 para M2 = 35° 32´16´´ e Distância = 430,116 m. Base 347,311 m 
 Azimute de M1 para M3 = 83° 17´25´´ e Distância = 427,931 m. 
 Azimute de M2 para M3 = 149° 44´37´´ e Distância = 347,311 m. 47°45´09´´ (A int.) 
 Ângulos Horizontais (calculados em função dos Azimutes) : M1 427,931 M3(projetado) 
 Ângulo horizontal de M1 para M3 = 47° 45´ 09´´ (sentido horário) 
 Ângulo horizontal de M2 para M3 = 294° 12´ 21´´ (sentido horário) 
 
Locação do marco M3 : 
Topografia e Geodésia II 
48 
 
Hoje, com a tecnologia dos equipamentos eletrônicos, é possível locar o marco M3 com precisão. Portanto, temos duas 
opções seguras para locar o referido marco. 
1ª com o distanciômetro ou estação total no marco M1, zerado no marco M2, gira-se o instrumento em direção ao 
marco M3 com o ângulo de 47° 45´09´´. O auxiliar desloca o prisma na direção indicada pelo operador do instrumento até a 
medida (427,931 m), prèviamente calculada (distância M1 para M3 projetada). 
2ª por cruzamento de direções : instala-se um teodolito no marco M1 e outro no marco M2; um auxiliar de campo 
fica +/- próximo do ponto onde deverá ficar o marco M3, com uma balisa; o teodolito no M1, zerado no M2 marcará o ângulo 
de 47º 45´09´´ em direção ao M3; já o teodolito no M2, zerado no M1 marcará o ângulo de 294° 12´21´´ também em direção 
ao M3; quando ambas as direções se cruzarem, o auxiliar marcará com a balisa o local onde se cravará o marco M3 no solo. 
 
 
 
 
Locação utilizando coordenadas retangulares 
 
 Seja locar uma edificação composta de 21 fundações (pilares), com base nas medidas contidas no projeto, figuraabaixo. 
 O primeiro passo será locar o ponto de partida a partir das divisas do lote. 
 Tomando como referência o canto do muro (cruzamento da lateral direita com a frente do lote), marcam-se os afastamentos : 
2,00 + 0,125 (recuo da lateral direita do lote até o eixo do pilar “P1”) e 5,00 + 0,125 (recuo da frente do lote até o eixo do 
referido pilar), onde se cravará o piquete “ponto de partida” para a locação da obra (vide figura abaixo). 
 Com o Teodolito instalado em P1, utilizando trena e balisas, com as medidas lineares do projeto (cotas acumuladas), direção 
“X”, loca-se a posição dos pilares P2, P3 e os pontos auxiliares A1 e A2, cravando os piquetes; ainda com o Teodolito em P1, 
direção “Y”, loca-se a posição dos pilares P4, P7, P12, P16 E P19; com o Teodolito em P2, direção “Y”, loca-se os pilares P5, 
P8, P13 e P17, cravando os piquetes; com o Teodolito em A1, direção “Y”, loca-se a posição do pilares P9, P14, P18 e P20, 
Topografia e Geodésia II 
49 
cravando os piquetes; com o Teodolito em P3, direção “Y”, loca-se os pilares P6 e P10; finalmente, com o Teodolito em A2, 
direção “Y”, loca-se os pilares P11, P15 e P21, cravando os piquetes. 
 Como haverá escavações para execução das fundações, deverá ser locado e construído o gabarito, que é um retângulo 
formado por sarrafos (tábuas corridas) apoiados em pontaletes em todo o contorno da obra, nivelado e afastado no mínimo a 
1,50 m das paredes. 
 Construído o gabarito, transferem-se para o mesmo todas as posições dos pilares assinalando com pregos. Este procedimento 
é feito concomitantemente com a locação da obra. 
 Com os trabalhos de escavação das fundações todos os piquetes serão perdidos. O mestre de obras, então, fará a relocação dos 
mesmos, utilizando fio de naylon ou arame, prumo de centro e os pregos do gabarito, por cruzamento. Para cada pilar, 
existirão 4 pregos, dois no sentido de “X” e dois no sentido de “Y”, para o devido procedimento. 
 Locação do ponto de partida “P1” Gabarito 
 
 lateral direita prego 1(P1) 
 
 
 frente 2,125 
 5,125 prego 3 P1 P1 prego 4 
 P1 P1 P1 
 
 
 
 
 Parede de 1 tijolo 
 prego 2 P1 
 0,25 m 
 
 
 Parede de ½ tijolo 
 0,15 
Topografia e Geodésia II 
50 
 
 
X
Y
P1 P2 P3A1 A2
P7
P5 P6
P8 P9 P10 P11
P12
P14 P15
P16
P17
P18
P19 P20 P21
P4
15,75
11,75
10,60
9,20
6,05
3,40
0,00
0,
00
3,
20
4,
35
6,
55
8,
37
5
3,00
3,00
3,00
3,00
4,15
3,
80
2,
40
3,
00
2,
50
3,
20
1,00
3,70
4,9
5
3,70
4,
40
3,15
1,70
6,80
16
,0
0
P13
36
,0
0
36
,0
0
16
,0
0
12,00
12,00
6,80
1,70
2,00
1,50
5,
00
1,
50
1,
50
1,50
EDIFICAÇÃO
FUNDO
FRENTE
L
A
T
E
R
A
L
 D
IR
E
IT
A
LA
T
E
R
A
L 
E
SQ
U
E
R
D
A
RUA
Gabarito
Gabarito
G
ab
ar
it
o
G
ab
ar
ito