Aula 3 - Momento de Inércia

Prévia do material em texto

Msc. Alan de Oliveira Feitosa
UNIPÊ- CENTRO UNIVERSITÁRIO DE JOÃO PESSOA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MECÂNICA GERAL- UNIDADE III
MOMENTO DE INÉRCIA
João Pessoa, 2014.
MECÂNICA GERAL
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a
um eixo de referência é definido como sendo a integral de área dos
produtos dos elementos de área que compõem a superfície pelas
suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao
quadrado. Também são chamados de momentos de 2ª ordem ou
momento de inércia da seção em relação aos eixos x e y.
Momento de inércia com relação ao eixo x
Momento de inércia com relação ao eixo y
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
Fisicamente mede o grau de impedimento que uma
seção oferece a se deformar quando solicitada por um esforço
em torno do eixo correspondente.
�Flexão em vigas
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
�Flexão em vigas
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
A carga crítica de flambagem (carga de Euler) depende da
elasticidade do material (E) , do comprimento crítico da
barra (Lcr) e de sua geometria (I).
Pcr=π²EI/Lcr²
EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:
Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos
seguintes eixos:
a) x, passando pela base inferior.
b) x, passando pelo centróide CG.
Resolução:
a)
EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:
b)
MOMENTO POLAR DE INÉRCIAMOMENTO POLAR DE INÉRCIAMOMENTO POLAR DE INÉRCIAMOMENTO POLAR DE INÉRCIA
Bastante importante para resolução de problemas de torção em
barras.
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOSTEOREMA DOS EIXOS PARALELOSTEOREMA DOS EIXOS PARALELOSTEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
Permite passar o momento de inércia de um eixo qualquer,
para outro qualquer, sendo um dos dois centroidais.
Por analogia:
RAIO DE GIRAÇÃORAIO DE GIRAÇÃORAIO DE GIRAÇÃORAIO DE GIRAÇÃO
O raio de giração é uma característica da seção da maior
importância no estudo de flambagem de colunas.
MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMUNSMOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMUNSMOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMUNSMOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMUNS
MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMUNSMOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMUNSMOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMUNSMOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMUNS
MOMENTO DE INÉRCIA ÁREAS COMPOSTASMOMENTO DE INÉRCIA ÁREAS COMPOSTASMOMENTO DE INÉRCIA ÁREAS COMPOSTASMOMENTO DE INÉRCIA ÁREAS COMPOSTAS
�Constituída por áreas de geometria simples;
�Momento de Inércia Global: somatório dos momentos de 
inércia das áreas;
�Se seção vazada, subtrair os momentos de inércia da 
geometria vazada.
EXEMPLO 2:EXEMPLO 2:EXEMPLO 2:EXEMPLO 2:
Determine os momentos de Inércia da área da seção reta da
viga mostrada na Figura em relação aos eixos x e y que
passam pelo seu centróide.
EXEMPLO 2: RESOLUÇÃOEXEMPLO 2: RESOLUÇÃOEXEMPLO 2: RESOLUÇÃOEXEMPLO 2: RESOLUÇÃO
A seção transversal pode ser considerada como as três áreas
retangulares A, B e D mostradas na figura.
EXEMPLO 2: RESOLUÇÃOEXEMPLO 2: RESOLUÇÃOEXEMPLO 2: RESOLUÇÃOEXEMPLO 2: RESOLUÇÃO
PRODUTO DE INÉRCIA DE ÁREASPRODUTO DE INÉRCIA DE ÁREASPRODUTO DE INÉRCIA DE ÁREASPRODUTO DE INÉRCIA DE ÁREAS
�Rotação de eixos: Imax e Imin f(produto de inércia) ;
�Relaciona-se com a distribuição geométrica segundo os eixos;
�Pode ser positivo, negativo ou nulo = f(posição e orientação) xy;
�Se um ou ambos os eixos são de simetria, o produto de inércia é
nulo.
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS PARA PRODUTO DE INÉRCIA TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS PARA PRODUTO DE INÉRCIA TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS PARA PRODUTO DE INÉRCIA TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS PARA PRODUTO DE INÉRCIA 
É importante observar que, para esta simplificação, um dos dois
sistemas de eixos paralelos deve ser centroidal.
EXEMPLO 3:EXEMPLO 3:EXEMPLO 3:EXEMPLO 3:
Determine o produto de inércia para a seção transversal da
viga mostrada na Figura em relação aos eixos x e y que
passam pelo seu centróide.
EXEMPLO 3: RESOLUÇÃOEXEMPLO 3: RESOLUÇÃOEXEMPLO 3: RESOLUÇÃOEXEMPLO 3: RESOLUÇÃO
A seção transversal pode ser considerada como as três áreas retangulares
A, B e D mostradas na figura.
Por causa da simetria o produto de inércia de cada retângulo é zero em
relação a um conjunto de eixos x`, y` que passa pelo centróide de cada
retângulo.
EXEMPLO 3: RESOLUÇÃOEXEMPLO 3: RESOLUÇÃOEXEMPLO 3: RESOLUÇÃOEXEMPLO 3: RESOLUÇÃO
EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIAEIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIAEIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIAEIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
Por um ponto de uma seção passamos infinitos eixos. Um desses
eixos terá momento de inércia máximo e outro terá momento de inércia
mínimo. Esses eixos são chamados de eixos principais e os momentos
associados de momentos axiais principais de inércia.
EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA –––– CÍRCULO DE CÍRCULO DE CÍRCULO DE CÍRCULO DE 
MOHRMOHRMOHRMOHR
EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIAEIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIAEIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIAEIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
A: Momento máximo de inércia;
B: Momento mínimo de inércia.
O produto de inércia com relação aos pontos A e B é nulo.
EXEMPLO 4:EXEMPLO 4:EXEMPLO 4:EXEMPLO 4:
Determine os momentos principais de inércia da área
da seção transversal da viga mostrada na Figura em relação a
um dos eixos que passa pelo centróide.
EXEMPLO 5:EXEMPLO 5:EXEMPLO 5:EXEMPLO 5:
Os momentos e produto de inércia da seção transversal em
relação aos eixos x e y já foram determinados em exemplos anteriores,
cujos resultados são: