Aula 02 - Campo Elétrico

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O Campo Elétrico
Prof. Fernando G. Pilotto
UERGS
O que veremos nesta aula?
• Conceito de campo
• Definição de campo elétrico
• Dipolo elétrico
• Campo elétrico gerado por distribuições 
contínuas de carga
Em 1680, Newton foi criticado quando expôs sua teoria da gravidade.
De acordo com essa teoria, se uma partícula longínqua se mexe, o efeito é 
sentido imediatamente pela outra partícula.
Isso é denominado “ação a distância”.
Somente em 1916 Einstein propôs uma teoria para o campo gravitacional 
(sem ação a distância).
Ação a distância?
r
r
mmGF ˆ2
21
12 =
A força elétrica
Em 1785, Charles A. Coulomb propôs uma teoria semelhante para a força 
elétrica entre duas cargas:
Por volta de 1830, Michael Faraday introduziu a ideia de campo elétrico 
(inicialmente, ele trabalhou com campos magnéticos).
Essa ideia foi aceita e incorporada na teoria do eletromagnetismo (Maxwell, 
1860).
Na teoria desenvolvida por Maxwell, não há ação a distância.
r
r
qqkF ˆ2
21
12 =
O que é um campo?
Um campo é uma função univaluada sobre o R3.
Essa função pode ser escalar, vetorial ou tensorial.
Exemplos:
Escalar temperatura de um objeto 1 componente
Vetorial velocidade dos ventos 3 componentes
Tensorial tensões numa viga de concreto 9 componentes
Definição de campo elétrico
Vamos considerar uma carga elétrica pontual q0 e um objeto com uma 
distribuição qualquer de cargas elétricas.
A distribuição de cargas vai exercer uma força F sobre a carga pontual.
Essa força pode ser facilmente medida.
O campo elétrico gerado pela distribuição de cargas na posição da carga 
pontual é definido como
Se movermos a carga pontual, podemos medir o campo elétrico em todos os 
pontos do espaço.
0q
FE = unidade padrão: N/C
A força elétrica não é um campo.
Ela atua somente na carga de prova.
O campo elétrico existe em todo os 
pontos do espaço.
Seu valor não depende da carga de 
prova.
0q
FE =
Campo elétrico da carga pontual
A força que a carga q faz sobre uma carga de prova é:
O campo elétrico gerado pela carga q é:
r
r
qqkF ˆ2
0
=
r
r
qk
q
FE ˆ2
0
==
r é o vetor que sai da carga q 
e vai até a carga de prova.
r é o vetor que sai da carga q 
e vai até um ponto no espaço.
r
r
kq
rE ˆ)( 2=
�Em cada ponto do espaço, um 
vetor diferente
�Simetria radial
�Quanto mais longe da carga, 
menor é o campo
�Carga positiva, o campo 
aponta para “fora”
�Se a carga fosse negativa, o 
campo apontaria para “dentro”
Observe:
r
r
kq
rE ˆ)( 2=
Linhas de campo elétrico
Faraday pensava que as linhas de campo elétrico e magnético realmente 
existiam.
Hoje essas linhas são utilizadas como meio de visualização dos campos.
Para a construção de uma linha, o que interessa é a direção e sentido do 
campo, que será igual ao vetor tangente à linha.
A intensidade do campo numa região é proporcional ao número de linhas que 
passam por essa região.
placa condutora 
carregada
força exercida 
pela placa sobre 
uma partícula 
carregada
campo elétrico criado pela placa condutora
p
O dipolo elétrico
O dipolo elétrico constitui-se de uma carga positiva q e outra negativa, de 
igual intensidade (-q), separadas pela distância d.
Momento de dipolo elétrico: dqp =
p
(d vai da carga negativa para a positiva)
molécula 
de água
)()( −+ += EEE
2
)(0
2
)(0 4
1
4
1
−+
−=
r
q
r
q
piεpiε
2
0
2
0 )2/(4
1
)2/(4
1
dz
q
dz
q
+
−
−
=
piεpiε
Colocando q e z em evidência...






+
−
−
= 2
2
2
2
2
0 )1(
1
)1(
1
4 zdzdz
qE
piε
3
0
3
0 2
1
2 z
p
z
qdE
piεpiε
==
z: distância medida 
ao longo do eixo do 
dipolo
Reduzindo as frações ao mesmo denominador...
Na prática, trabalha-se com dipolos moleculares.
Assim, a distância z (onde o campo é observado) é muito maior que a distância d 
(que separa os átomos).
Desprezando o termo (d/z)2 em relação a 1, temos:
( ) ( )2
4
3
0
2
4
2
2
0 2
2
2
2 1
1
214
z
d
z
d
z
d
z
qd
z
qE
−
=








−
=
piεpiε
Distribuição discreta de cargas
Numa distribuição discreta, as cargas elétricas estão 
localizadas em pontos (ou melhor, em regiões tão 
pequenas que podem ser tratadas como pontuais).
Para calcular o campo elétrico, basta somar os campos 
elétricos devidos a cada uma das cargas. (Ou seja, o 
mesmo que foi feito com o dipolo.)
Distribuição contínua de cargas
Numa distribuição contínua, as cargas elétricas estão 
localizadas em objetos extensos.
Para calcular o campo elétrico, sempre temos que integrar. 
Assim, seguimos os passos:
1) Dividir o objeto em partes infinitesimais com carga dq
2) Cada infinitésimo dq é tratado como carga pontual, que 
gera um campo dE no espaço
3) A soma de cada contribuição dE é uma integral
Dica: de modo geral, nos exercícios, facilita bastante quando 
percebemos alguma simetria no problema.
Campo elétrico de um anel de 
carga
• queremos calcular o campo 
elétrico devido a um anel de 
carga
• a carga está distribuída 
uniformemente no anel
• a densidade linear de carga é 
dada por
R
q
pi
λ
2
=
• no anel, o elemento de carga 
tem comprimento ds
• a carga do elemento é
• a intensidade do campo elétrico 
gerado pelo elemento de carga 
é
dsdq λ=
2
0
2
0 4
1
4
1
r
ds
r
dqdE λ
piεpiε
==
• “r” é o módulo do vetor que sai 
do elemento de carga e chega 
ao ponto onde o campo elétrico 
é calculado
• vamos calcular o campo elétrico 
ao longo do eixo que passa pelo 
centro do anel
22
04
1
Rz
dsdE
+
=
λ
piε
222 Rzr +=
• o campo elétrico é um vetor
• podemos separar o campo em 
duas componentes
• uma componente ao longo do 
eixo e outra perpendicular a ele
• por simetria, a componente 
perpendicular é nula (as 
contribuições de lados opostos 
do anel se cancelam)
• resta somente a componente ao 
longo do eixo z
• se dE é a intensidade do 
campo, então essa componente 
vale
( ) 2/32204
1
Rz
zdsdEz
+
=
λ
piε
θcosdEdEz =
22
cos
Rz
z
r
z
+
==θ
• o campo E é a soma de todas 
as contribuições dos elementos 
de carga
• quando somamos os elementos 
de carga do anel, R e z são 
constantes
( )∫ += 2/32204
1
Rz
zdsEz
λ
piε
∫= zz dEE
• portanto
( ) ∫+= dsRz
zEz 2/322
04
1 λ
piε
( ) RRz
zEz pi
λ
piε
2
4
1
2/322
0 +
=
Rq piλ 2⋅=
( ) 2/32204
1
Rz
qzEz
+
=
piε
Campo elétrico de um disco de 
carga
• a carga está uniformemente 
distribuída pelo disco
• a densidade superficial de 
carga é
• podemos considerar o disco 
como sendo formado por vários 
anéis concêntricos
2R
q
pi
σ =
• a carga de cada anel elementar 
é
• o campo elétrico gerado por um 
anel com raio r e carga dq é
rdrdAdq piσσ 2==
( ) 2/32204
1
rz
zdqdE
+
=
piε
( ) 2/3220
2
4
1
rz
rdrzdE
+
=
piσ
piε
( ) 2/32202
1
rz
rdrzdE
+
=
σ
ε
• o campo elétrico gerado pelo 
disco é dado pela soma dos 
campos de cada anel
( )∫∫ +==
R
rz
rdrzdEE
0
2/322
02
1 σ
ε
( )∫ +=
R
rz
rdrzE
0
2/322
02ε
σ
22
rzu += rdrdu 2=
( )
RU
z
U
z rz
z
u
z
u
duzE
0
2/122
0
2/1
2
1
0
2/3
0
1
2
11
44 22 +
−=





−
== ∫ ε
σ
ε
σ
ε
σ
• portanto
( ) z
z
Rz
zE 1
2
1
2 0
2/122
0 ε
σ
ε
σ
+
+
−=






+
−=
22
0
1
2 Rz
zE
ε
σ
Lembrete: distribuição de carga 
contínua• carga
• densidade linear de carga
• densidade superficial de carga
• densidade volumétrica de carga
área
q
=σ
ocompriment
q
=λ
volume
q
=ρ
q