Aula 03 - Lei de Gauss

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Lei de Gauss
Prof. Fernando G. Pilotto
UERGS
O que veremos nesta aula?
• Fluxo de um campo vetorial
• Fontes e sumidouros
• Lei de Gauss
• Aplicações da lei de Gauss
Carl Friedrich Gauss
Seu pai, Gerhard Diederich, era jardineiro e pedreiro. 
Severo e brutal, tudo fez para impedir que seu filho 
desenvolvesse seu grande potencial. Foi salvo por 
sua mãe Dorothea e seu tio Friederich que percebeu 
da inteligência de seu sobrinho.
Tinha memória fotográfica, tendo retido as 
impressões da infância e da meninice nítidas até a 
sua morte. Ressentia-se de que seu tio Friederich, 
um gênio, perdera-se pela morte prematura.
Aprendeu a ler e a somar sozinho. 
Nenhum matemático anterior tinha a menor 
concepção do que é agora aceitável como prova, 
envolvendo o processo infinito. O rigor imposto por 
Gauss à análise matemática tornou-a totalmente 
diferente e superou toda a análise matemática feita 
por seus antecessores.
1777 – 1855
Matemático, 
astrônomo, 
físico
Fluxo de uma corrente de ar
Fluxo ou vazão: medida de 
quanto ar está passando em 
determinado local por unidade de 
tempo
Vazão = volume
tempo
Vazão = V = Ax = Av
t t 
Se a área da seção transversal é constante, o volume = Ax.
A vazão é o produto da área pela velocidade do ar.
E se o fluxo não for perpendicular à 
superfície?
Uma componente da velocidade é perpendicular 
à superfície.
A outra componente é paralela.
Se quisermos medir o fluxo de ar que passa pela 
superfície, somente a componente perpendicular 
deve ser levada em conta.
Em termos matemáticos...
Estamos interessados na componente da velocidade 
que é perpendicular à superfície.
A orientação da superfície é dada pelo vetor normal a 
ela.
O vetor tem módulo igual à área e é normal à 
superfície.
Vazão = A · vperpendicular
vperpendicular é a projeção de em 
Vazão = (v cos θ) A = 
Fluxo de um campo vetorial
Fluxo de ar: Fluxo de um campo vetorial:
= fluxo
= velocidade do ar
= fluxo
= campo vetorial
O fluxo mede a 
intensidade de 
campo que 
atravessa a 
superfície.
E se a superfície não for plana 
ou o campo não for constante?
Neste caso, dividimos a superfície em pedaços 
com área infinitesimal dA.
O fluxo do campo sobre um pedaço é:
Para obter o fluxo total, fazemos uma soma:
Advd ⋅=Φ
∫∫ ⋅=Φ=Φ Advd
Fontes e sumidouros
Da fonte sai água...
No sumidouro entra água...
Fontes
fonte
Por que isso é uma fonte?
Porque está saindo água dali...
Mas por que dar uma resposta tão simples se existe outra 
bem mais complicada?
2. Calculamos o fluxo de água sobre a 
superfície “esférica”.
1. Imaginamos uma superfície esférica em 
volta da fonte.
3. Como através da superfície somente 
sai água, o fluxo é positivo. Portanto a 
superfície está em volta de uma fonte.
2. Calculamos o fluxo de água sobre a 
superfície “esférica”.
1. Colocamos a superfície em outro ponto.
3. Através dessa superfície está entrando a 
mesma quantidade de água que está saindo. 
Portanto o fluxo é nulo e a superfície não está 
em volta de uma fonte.
Ponto de verificação: e se a 
superfície ficar em outro lugar?
Sumidouros
2. Calculamos o fluxo de água sobre a 
superfície “esférica”.
1. Imaginamos uma superfície esférica em 
volta do sumidouro.
3. Como através da superfície somente entra 
água, o fluxo é negativo. Portanto a superfície 
está em volta de um sumidouro.
Campo elétrico e cargas elétricas
1. Imaginamos uma superfície esférica em volta da 
carga elétrica.
2. Em todos os pontos da superfície, o campo 
aponta para fora.
3. O fluxo é, portanto, positivo.
1. Imaginamos uma superfície esférica em volta da 
carga elétrica.
2. Em todos os pontos da superfície, o campo 
aponta para dentro.
3. O fluxo é, portanto, negativo.
Se aumentarmos a carga envolvida pela superfície, vai aumentar também o 
fluxo do campo elétrico.
Lei de Gauss
fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada
=
total de cargas elétricas envolvidas pela superfície
fluxo Lei de Gauss
Integral de superfície
A superfície é dividida em pequenos elementos 
de área.
Para cada elemento de área, escolhemos um 
ponto para estimar o campo elétrico.
Calculamos o produto E·dA para cada elemento.
Fazendo a soma sobre todos os elementos de 
área, temos a integral de superfície.
Integral sobre superfície fechadaIntegral sobre superfície aberta
• Com a Lei de Gauss, podemos determinar 
o campo elétrico a partir de uma 
distribuição de cargas
• A Lei de Coulomb vale somente para 
cargas estáticas
• A Lei de Gauss também é válida para 
cargas em movimento
Linha reta de carga infinita
• Um fio reto de comprimento infinito está 
carregado uniformemente
• Qual é o campo elétrico gerado por ele?
• Como o fio é infinito, a carga total no fio 
também é infinita
• Entretanto, a quantidade de carga por 
unidade de comprimento é constante
• Chamamos isso de densidade linear de 
cargas
L
q
=λ
dx
dq
=λ
• Como o fio é reto e infinito, existe uma 
simetria radial
• Ou seja, a situação parece a mesma 
olhando-se a partir de ângulos diferentes
• Ou seja, o campo elétrico não depende do 
ângulo, mas pode depender da distância r 
do ponto até o fio
• Escolhemos um cilindro para ser a 
superfície gaussiana
• Temos que calcular a integral
∫ ⋅ AdE
No topo, o vetor normal à superfície aponta para cima.
Mas o campo elétrico aponta na direção radial.
Um vetor é perpendicular ao outro, portanto:
Na base acontece a mesma coisa.
∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=⋅
ladobasetopo
AdEAdEAdEAdE
0=⋅ AdE
0=⋅=⋅ ∫∫
basetopo
AdEAdE
∫∫ ⋅=⋅
lado
AdEAdE
No lado, o vetor normal à superfície aponta na direção radial.
E o campo elétrico também aponta na direção radial.
Um vetor é paralelo ao outro, portanto:
Note que, em cada ponto, tanto o vetor normal como o campo 
elétrico mudam de direção, mas eles sempre estão alinhados.
dAEAdE ⋅=⋅
∫∫ ⋅=⋅
lado
dAEAdE
Na superfície lateral, a distância “r” do fio a um ponto é constante.
Portanto o campo elétrico tem intensidade constante na superfície, 
apesar de variar de direção.
Na integral aparece somente a intensidade, portanto:
lado
lado
AEdAEAdE ⋅==⋅ ∫∫
rhE pi2⋅=
Falta calcular a carga elétrica envolvida pela superfície.
A Lei de Gauss é
Então
hqenv ⋅= λ
envqAdE =⋅∫0ε
hrhE λpiε =20
r
E
02piε
λ
=
Como o campo aponta na direção radial, temos como resultado final:
r
r
E ˆ
2 0piε
λ
=
Vejamos o que foi feito...
• Objetivo: usar a Lei de Gauss para 
determinar o campo elétrico gerado por 
uma linha de carga infinita
1. Percebemos a simetria radial, com isso 
determinamos a direção do campo 
elétrico e escolhemos uma superfície 
gaussiana adequada (cilindro)
envqAdE =⋅∫0ε
2. Calculamos a integral gaussiana
3. A integral simplificou-se, pois no topo e 
na base o produto escalar é nulo
4. Na lateral, o produto escalar é igual ao 
produto dos módulos dos vetores
∫ ⋅ AdE
Mas como isso pôde ser feito?
Note que o campo elétrico, a incógnita no problema, aparece dentro da integral!
5. Como o campo elétrico tem a mesma 
intensidade em todo o lado, ele sai da 
integral
6. A integral vira uma barbada... Resolve-
se com geometria.
Agora está explicado! O campo sai da integral e aí podemos efetuá-la.
∫∫ ⋅=⋅
lado
dAEAdE
lado
lado
AEdAEAdE ⋅==⋅ ∫∫
7. Calcula-se a carga envolvida pela 
superfície gaussiana
8. Junta-se os dois lados da Lei de Gauss
hqenv ⋅= λ
envqAdE =⋅∫0ε
hrhE λpiε =20
9. Isola-se a intensidade do campo elétrico
10.Lembrando que a direção do campo 
elétrico foi determinada por simetria, 
escreve-se o vetor campo elétricor
E
02piε
λ
=
r
r
E ˆ
2 0piε
λ
=
Placa plana infinita carregada
• Uma placa plana infinita está carregada 
uniformemente.
• Qual é o campo elétrico gerado por ela?
• Como a placa é infinita, a carga total na 
placa também é infinita
• Entretanto, a quantidade de carga por 
unidade de área é constante
• Chamamos isso de densidade superficial 
de cargas
A
q
=σ
dA
dq
=σ
• Como a placa é plana e infinita, existe 
uma simetria plana
• Ou seja, a situação parece a mesma 
quando nos movemos paralelamente à 
placa
• Ou seja, o campo elétrico pode depender 
somente da distância r do ponto até a 
placa
• Escolhemos um cilindro para ser a 
superfície gaussiana
• Temos que calcular a integral
∫ ⋅ AdE
No lado, o vetor normal à superfície aponta na direção radial.
Mas o campo elétrico aponta na direção ao longo da superfície.
Um vetor é perpendicular ao outro, portanto:
∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=⋅
ladobasetopo
AdEAdEAdEAdE
0=⋅ AdE
0=⋅∫
lado
AdE
No topo, o vetor normal à superfície aponta perpendicularmente à 
placa.
E o campo elétrico também aponta na direção perpendicular à placa.
Um vetor é paralelo ao outro, portanto:
O mesmo acontece na base.
dAEAdE ⋅=⋅
∫∫∫ ⋅+⋅=⋅
basetopo
AdEAdEAdE
No topo, a distância “r” da placa a um ponto é constante.
Portanto o campo elétrico tem intensidade constante no topo. 
Na integral aparece somente a intensidade, portanto:
AEAEdAEdAEAdE topo
topotopotopo
⋅=⋅==⋅=⋅ ∫∫∫
∫∫∫ ⋅+⋅=⋅
basetopo
AdEAdEAdE
AEAdE
base
⋅=⋅∫
Falta calcular a carga elétrica envolvida pela superfície.
A Lei de Gauss é
Então
Aqenv ⋅=σ
envqAdE =⋅∫0ε
( ) AAE ⋅=⋅ σε 20
02ε
σ
=E
Como o campo aponta na direção perpendicular à placa, temos 
como resultado final:
Note que o campo é constante!
iE ˆ
2 0ε
σ
=
x
Esfera carregada
• Uma esfera de raio R está carregada de 
modo não uniforme, de acordo com:
• Qual é o campo elétrico no interior e no 
exterior da esfera?
cr=ρ
• Como a esfera é finita, a carga total 
também é finita
• A quantidade de carga por unidade de 
volume aumenta com o raio r
• Chamamos isso de densidade volumétrica 
de carga
V
q
=ρ
dV
dq
=ρ
• Vemos que existe uma simetria esférica
• Ou seja, a situação parece a mesma 
olhando-se a partir de ângulos diferentes
• Ou seja, o campo elétrico não depende 
dos ângulos, mas pode depender da 
distância r do ponto até o centro da esfera
• Escolhemos uma esfera para ser a 
superfície gaussiana
• Temos que calcular a integral
∫ ⋅ AdE
O vetor normal à superfície aponta na direção radial.
O campo elétrico também aponta na direção radial.
Um vetor é paralelo ao outro, portanto:
24 rEAEdAEdAEAdE
esferaesfera
pi⋅=⋅==⋅=⋅ ∫∫∫
dAEAdE ⋅=⋅
Falta calcular a carga elétrica envolvida pela superfície.
No interior da esfera, a carga envolvida pela superfície deve ser 
calculada pela integral
No exterior da esfera, a carga envolvida pela superfície é a carga 
total da esfera
∫= dVqenv ρ
Qqenv =
Interior da esfera:
Quando r = R, o raio da esfera, a carga envolvida vale Q, portanto
∫∫∫ ′′⋅′=′==
r
env rdrrcdVrcdVq
0
24piρ
4
0
4
4
4 crrc
r
pipi =
′
=
4cRQ pi= 4R
Q
c
pi
= 4
4
R
rQqenv =
A Lei de Gauss é:
Esse é o campo elétrico no interior da esfera.
4
4
2
0 4 R
rQrE =⋅ piε
envqAdE =⋅∫0ε
4
0
2
4 R
QrE
piε
=
No exterior da esfera, temos
A Lei de Gauss é
Qqenv =
envqAdE =⋅∫0ε
QrE =⋅ 20 4piε
2
04 r
QE
piε
=
Portanto:
R r
E
Cargas e campos na superfície de 
um condutor
• Num condutor, as cargas podem deslocar-se 
livremente
• Se o condutor for colocado numa região com 
campo elétrico, as cargas no seu interior irão 
rearranjar-se
• Depois de um tempo, será atingida uma 
situação de equilíbrio
• No equilíbrio, não pode haver campo elétrico no 
interior do condutor, senão haveria cargas em 
movimento
0=E Interior de um condutor
• Imaginemos uma superfície 
gaussiana no interior de um 
condutor
• Como o campo elétrico é nulo, a 
carga envolvida pela superfície 
deve ser nula também
• Portanto não existem cargas em 
excesso no interior do condutor
• Assim, a carga encontra-se na 
superfície do condutor
Quando um excesso de carga é colocado num condutor, 
a carga desloca-se inteiramente para a superfície do 
condutor.
• Imaginemos uma superfície 
gaussiana no interior do 
condutor, o mais próximo 
possível da cavidade
• Como o campo elétrico é nulo, a 
carga envolvida pela superfície 
deve ser nula também
• Portanto não existem cargas em 
excesso ao redor da cavidade
• Assim, a carga encontra-se na 
superfície externa do condutor
Mesmo se o condutor tiver uma cavidade, a carga em 
excesso desloca-se inteiramente para a superfície 
externa do condutor.