Resolução lista 6 IPE

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BC0406: Intr. à Prob. e à Estatística UFABC Resolução da Lista 06 v5 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 06/04/13 – pág. 1/14 
1. 
𝑓(𝑥) = { 𝑐(1 − 𝑥
2)
0 
 
𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 1
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
a) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= 1 
⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−1
−∞
+ ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
= 1 
⇒ 0 + ∫𝑐(1 − 𝑥2)𝑑𝑥
1
−1
+∫ 0𝑑𝑥
∞
1
= 1 
⇒ 𝑐( ∫𝑑𝑥
1
−1
− ∫𝑥2𝑑𝑥
1
−1
) = 1 
⇒ 𝑐 (𝑥 −
𝑥3
3
)
1
 
−1
= 1 
⇒ 𝑐 [(1 −
13
3
) − ((−1) −
(−1)3
3
)] = 1 
⇒ 𝑐 [
2
3
− (−
2
3
)] = 1 
⇒ 𝑐 =
3
4
 
 
b) 
𝐹(𝑥) = 𝑃{𝑋 ∈ (−∞, 𝑥]} = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
−∞
 
⇒ 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−1
−∞
+ ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
−1
 
⇒ 𝐹(𝑥) = 0 + ∫
3
4
(1 − 𝑥2 )𝑑𝑥
𝑥
−1
 
⇒ 𝐹(𝑥) =
3
4
(𝑥 −
𝑥3
3
)
𝑥 
 
−1
 
⇒ 𝐹(𝑥) =
3
4
[(𝑥 −
𝑥3
3
) − ((−1) −
(−1)3
3
)] , −1 < 𝑥 < 1 
⇒ 𝐹(𝑥) =
3
4
[(𝑥 −
𝑥3
3
) +
2
3
] , −1 < 𝑥 < 1 
⇒ 𝐹(𝑥) =
−𝑥3 + 3𝑥 + 2
4
 , −1 < 𝑥 < 1 
 
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2. 
ℙ(𝑋 ≥ 5) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
5
 
⇒ ℙ(𝑋 ≥ 5) = ∫ 𝐶𝑥𝑒−𝑥/2𝑑𝑥
∞
5
 
∫ 𝑓(𝑥)
∞
−∞
= 1 
⇒ ∫𝑓(𝑥)
0
−∞
+∫ 𝑓(𝑥)
∞
0
= 1 
⇒ 0+ ∫ 𝐶𝑥𝑒−𝑥/2𝑑𝑥
∞
0
= 1 
𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥/2𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = −2𝑒−𝑥/2 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 |
∞
 
0
−∫ 𝑣𝑑𝑢
∞
0
∞
0
 
⇒ 𝐶 [−2𝑥𝑒−𝑥/2 |
∞
 
0
−∫(−2𝑒−𝑥/2)𝑑𝑥
∞
0
] = 1 
⇒ 𝐶(−2𝑥𝑒−𝑥/2 − 4𝑒−𝑥/2)
∞
 
0
= 1 
⇒ −2𝐶 [( lim
𝑥→∞
𝑥𝑒−𝑥/2 − 0𝑒−0/2) + 2 ( lim
𝑥→∞
𝑒−𝑥/2 − 𝑒−0/2)] = 1 
⇒ −2𝐶 [( lim
𝑥→∞
𝑥
𝑒𝑥/2
− 0) + 2(0 − 1)] = 1 
⇒ −2𝐶 [ lim
𝑥→∞
𝑑𝑥/𝑑𝑥
𝑑(𝑒𝑥/2)/𝑑𝑥
− 2] = 1 
⇒ −2𝐶 ( lim
𝑥→∞
1
2𝑒𝑥/2
− 2) = 1 
⇒ −2𝐶(0 − 2) = 1 
⇒ 𝐶 =
1
4
 
⇒ ℙ(𝑋 ≥ 5) =
1
4
∫ 𝑥𝑒−𝑥/2𝑑𝑥
∞
5
 
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⇒ ℙ(𝑋 ≥ 5) =
1
4
(−2𝑥𝑒−𝑥/2 − 4𝑒−𝑥/2)
∞
 
5
 
⇒ ℙ(𝑋 ≥ 5) = −
2
4
[( lim
𝑥→∞
𝑥𝑒−𝑥/2 − 5𝑒−5/2) + 2 ( lim
𝑥→∞
𝑒−𝑥/2 − 𝑒−5/2)] 
⇒ ℙ(𝑋 ≥ 5) = −
1
2
[(0 − 5𝑒−5/2) + 2(0 − 𝑒−5/2)] 
⇒ ℙ(𝑋 ≥ 5) =
7
2
𝑒−5/2 
 
3. 
𝑓(𝑥) = { 𝐶
(2𝑥 − 𝑥3)
0 
 
𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 5/2
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝑆𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓(𝑥): 
𝐶(2𝑥 − 𝑥3) = 0 
⇒ 𝑥 = {−√2, 0, √2} 
𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) → −∞, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑓(𝑥) é 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑚 
0 < 𝑥 < √2 𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑚 𝑥 > √2. 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑡𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠, 𝑓(𝑥) 
𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
𝑒𝑚 √2 < 𝑥 < 5/2. 
 
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𝑂 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑓(𝑥) = { 𝐶
(2𝑥 − 𝑥2)
0 
 
𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 5/2
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝑆𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓(𝑥): 
𝐶(2𝑥 − 𝑥2) = 0 
⇒ 𝑥 = {0, 2} 
𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) → −∞, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑓(𝑥) é 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑚 
0 < 𝑥 < 2 𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑚 𝑥 > 2. 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑡𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠, 𝑓(𝑥) 
𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
𝑒𝑚 2 < 𝑥 < 5/2. 
 
 
4. 
𝑓(𝑥) = { 10/𝑥
2
0 
 
𝑠𝑒 𝑥 > 0
𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
 
a) 
𝑃(𝑋 > 20) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
20
 
⇒ 𝑃(𝑋 > 20) = ∫
10
𝑥2
𝑑𝑥
∞
20
 
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⇒ 𝑃(𝑋 > 20) = −
10
𝑥
|
∞
 
20
 
⇒ 𝑃(𝑋 > 20) = − lim
𝑥→∞
10
𝑥
+
10
20
 
⇒ 𝑃(𝑋 > 20) = 0,5 
 
b) 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 
𝐹(𝑥) = 𝑃{𝑋 ∈ (−∞, 𝑥]} = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
−∞
 
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
𝑃{𝑋 ∈ (−∞,∞)} = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= 1 
⇒ ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑎
= 1 
⇒ 0 + ∫
10
𝑥2
𝑑𝑥
∞
𝑎
= 1 
⇒ −
10
𝑥
|
∞
 
𝑎
= 1 
⇒ − lim
𝑥→∞
10
𝑥
+
10
𝑎
= 1 
⇒ 𝑎 = 10 
∴ 𝐹(𝑥) = ∫
10
𝑥2
𝑑𝑥
𝑥
10
 
 
c) 
𝐸: {𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 3 𝑑𝑒 6 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 15 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠} 
 
𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎: 
ℙ(𝐸) =∑(
6
𝑖
) [𝑃(𝑋 ≥ 15)]𝑖[𝑃(𝑋 < 15)]6−𝑖
6
𝑖=3
 
⇒ ℙ(𝐸) =∑(
6
𝑖
)(
2
3
)
𝑖
(
1
3
)
6−𝑖6
𝑖=3
 
⇒ ℙ(𝐸) = (
6
3
) (
2
3
)
3
(
1
3
)
3
+ (
6
4
) (
2
3
)
4
(
1
3
)
2
+ (
6
5
) (
2
3
)
5
(
1
3
) + (
6
6
) (
2
3
)
6
 
⇒ ℙ(𝐸) =
656
729
≈ 90% 
 
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5. 
𝑓(𝑥) = { 5
(1 − 𝑥)4
0 
 
𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 1 
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝐹(𝑥) = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
0
= 1 − 0,01 
⇒ ∫5(1 − 𝑥)4𝑑𝑥
𝑐
0
= 0,99 
⇒ −
5(1 − 𝑥)5
5
|
𝑐
 
0
= 0,99 
⇒ (1 − 𝑐)5 − 1 = −0,99 
⇒ 𝑐 = 1 − √0,01
5
 
⇒ 𝑐 ≈ 0,602 
 
6. 
a) 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
1
4
𝑥𝑒−𝑥/2
0 
 
𝑠𝑒 𝑥 > 0 
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
 
⇒ 𝐸[𝑋] =
1
4
∫ 𝑥2𝑒−𝑥/2𝑑𝑥
∞
0
 
⇒ 𝐸[𝑋] =
1
4
(−2𝑥2𝑒−𝑥/2 |
∞
 
0
+ 4∫ 𝑥𝑒−𝑥/2𝑑𝑥
∞
0
) 
⇒ 𝐸[𝑋] =
1
2
[−𝑥2𝑒−𝑥/2 |
∞
 
0
+ 2(−2𝑥𝑒−𝑥/2 |
∞
 
0
+ 2∫ 𝑒−𝑥/2𝑑𝑥
∞
0
)] 
⇒ 𝐸[𝑋] = −
1
2
(𝑥2𝑒−𝑥/2 + 4𝑥𝑒−𝑥/2 + 8𝑒−𝑥/2)
∞
 
0
 
⇒ 𝐸[𝑋] = −
1
2
(0 − 8) 
⇒ 𝐸[𝑋] = 4 
 
b) 
𝑓(𝑥) = { 𝑐
(1 − 𝑥2)
0 
 
𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 1
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
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𝐸[𝑋] = 𝑐 ∫𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑥
1
−1
 
⇒ 𝐸[𝑋] = 𝑐 (
𝑥2
2
−
𝑥4
3
) |
1
 
−1
 
⇒ 𝐸[𝑋] = 0 
 
c) 
𝑓(𝑥) = { 5/𝑥
2
0 
 
𝑠𝑒 𝑥 > 5
𝑠𝑒 𝑥 ≤ 5
 
𝐸[𝑋] = ∫
5
𝑥
 𝑑𝑥
∞
5
 
⇒ 𝐸[𝑋] = 5 ln|𝑥| |
∞
 
5
 
⇒ 𝐸[𝑋] = ∞ 
 
 
7. 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
𝑥𝑒−𝑥
0 
 
𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
 
⇒ 𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
 
⇒ 𝐸[𝑋] = (−𝑥2𝑒−𝑥 |
∞
 
0
+ 2∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
) 
⇒ 𝐸[𝑋] = [−𝑥2𝑒−𝑥|
∞
 
0
+ 2(−𝑥𝑒−𝑥 |
∞
 
0
+∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
)] 
⇒ 𝐸[𝑋] = −(𝑥2𝑒−𝑥 + 2𝑥𝑒−𝑥 + 2𝑒−𝑥)
∞
 
0
 
⇒ 𝐸[𝑋] = −(0 − 2) 
⇒ 𝐸[𝑋] = 2 
 
8. 
a) 
𝐸: {[5 < 𝑋 < 15] ∪ [20 < 𝑋 < 30] ∪ [35 < 𝑋 < 45] ∪ [50 < 𝑋 < 60]} 
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𝑃(𝐸) = ∫
1
60
𝑑𝑥
15
5
+ ∫
1
60
𝑑𝑥
30
20
+ ∫
1
60
𝑑𝑥
45
35
+ ∫
1
60
𝑑𝑥
60
50
 
⇒ 𝑃(𝐸) =
(15 − 5) + (30 − 20) + (45 − 35) + (60 − 50)
60
 
⇒ 𝑃(𝐸) =
2
3
 
 
b) 
𝐹: {[10 < 𝑥 < 15] ∪ [20 < 𝑥 < 30] ∪ [35 < 𝑥 < 45] ∪ [50 < 𝑥 < 60]
∪ [65 < 𝑥 < 70]} 
 
𝑃(𝐹) = ∫
1
60
𝑑𝑥
15
10
+ ∫
1
60
𝑑𝑥
30
20
+ ∫
1
60
𝑑𝑥
45
35
+ ∫
1
60
𝑑𝑥
60
50
+ ∫
1
60
𝑑𝑥
70
65
 
⇒ 𝑃(𝐹) =
(15 − 10) + (30 − 20) + (45 − 35) + (60 − 50) + (70 − 65)
60
 
⇒ 𝑃(𝐹) =
2
3
 
 
9. 
a) 
𝑃(10 < 𝑋 < 30) = ∫
1
30
𝑑𝑥
30
10
 
⇒ 𝑃(10 < 𝑋 < 30) =
30 − 10
30
 
⇒ 𝑃(10 < 𝑋 < 30) =
2
3
 
 
b) 
𝑃(25 < 𝑋 < 30|0 < 𝑋 < 15) =
∫
1
30𝑑𝑥
30
25
∫
1
30𝑑𝑥
15
0
 
⇒ 𝑃(25 < 𝑋 < 30|0 < 𝑋 < 15) =
(30 − 25)/30
(15 − 0)/30
 
⇒ 𝑃(25 < 𝑋 < 30|0 < 𝑋 < 15) =
1
3
 
 
10. 
𝑝(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑥𝑌 + 𝑌 + 2 
𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 ⇒ Δ = 16𝑌2 − 16𝑌 − 32 ≥ 0 
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⇒ 𝑌2 − 𝑌 − 2 ≥ 0 
⇒ (𝑌 + 1)(𝑌 − 2) ≥ 0 
⇒ 𝑌 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑌 ≥ 2 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑌 é 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑜 (0,5), 𝑠ó 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑌 ≥ 2. 
𝑃(2 ≤ 𝑌 < 5) = ∫
1
5
𝑑𝑥
5
2
 
⇒ 𝑃(2 ≤ 𝑌 < 5) =
5 − 2
5
 
⇒ 𝑃(2 ≤ 𝑌 < 5) =
3
5
 
 
11. 
𝑃(𝑋 > 5) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 5) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 5) = 1 − 𝑃 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
≤
5 − 𝜇
𝜎
) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 5) = 1 − 𝑃 (𝑍 ≤
5 − 𝜇
𝜎
) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 5) = 1 −Φ(
5 − 10
6
) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 5) = 1 − [1 − Φ(
10 − 5
6
)] 
⇒ 𝑃(𝑋 > 5) = Φ(
10 − 5
6
) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 5) ≈ Φ(0,83) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 5) ≈ 0,7967 
 
𝑃(4 < 𝑋 < 16) = 𝑃 (
4 − 10
6
<
𝑋 − 𝜇
𝜎
<
16 − 10
6
) 
⇒ 𝑃(4 < 𝑋 < 16) = 𝑃(−1 < 𝑍 < 1) 
⇒ 𝑃(4 < 𝑋 < 16) = 𝑃(𝑍 < 1) − 𝑃(𝑍 ≤ −1) 
⇒ 𝑃(4 < 𝑋 < 16) = 𝑃(𝑍 < 1) − [1 − 𝑃(𝑍 > −1)] 
𝑃(𝑍 < 1) = 𝑃(𝑍 > −1) 
⇒ 𝑃(4 < 𝑋 < 16) = 𝑃(𝑍 < 1) − [1 − 𝑃(𝑍 < 1)] 
⇒ 𝑃(4 < 𝑋 < 16) = 2𝑃(𝑍 < 1) − 1 
⇒ 𝑃(4 < 𝑋 < 16) = 2Φ(1) − 1 
⇒ 𝑃(4 < 𝑋 < 16) = 2 · 0,8413 − 1 
⇒ 𝑃(4 < 𝑋 < 16) = 0,6826 
 
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𝑃(𝑋 < 8) = 𝑃 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
<
8 − 10
6
) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 8) ≈ 𝑃(𝑍 < −0,33) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 8) ≈ 1 − 𝑃(𝑍 ≥ 0,33) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 8) ≈ 1 − [1 − 𝑃(𝑍 < 0,33)] 
⇒ 𝑃(𝑋 < 8) ≈ 𝑃(𝑍 < 0,33) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 8) ≈ 0,6293 
 
𝑃(𝑋 < 20) = 𝑃 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
<
20 − 10
6
) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 8) ≈ 𝑃(𝑍 < 1,67) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 8) ≈ 0,9525 
 
𝑃(𝑋 > 16) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 16) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 16) = 1 − 𝑃 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
≤
16 − 10
6
) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 16) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 1) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 16) = 1 − Φ(1) 
⇒ 𝑃(𝑋 > 16) = 1 − 0,8413 
⇒ 𝑃(𝑋 > 16) = 0,1587 
 
12. 
𝐷𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑎 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 
𝑃(𝑋 < 50) 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒 50𝑚𝑚.𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑜 
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 10 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 50𝑚𝑚, é 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑚 10 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑐ℎ𝑜𝑣𝑎 
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 50𝑚𝑚. 
𝑃(𝑋 < 50)10 = 𝑃 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
<
50 − 40
4
)
10
 
⇒ 𝑃(𝑋 < 50)10 = 𝑃(𝑍 < 2,5)10 
⇒ 𝑃(𝑋 < 50)10 = Φ(2,5)10 
⇒ 𝑃(𝑋 < 50)10 = 0,993810 
⇒ 𝑃(𝑋 < 50)10 = 0,9397 
 
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13. 
𝐸[𝑋] = 10∫
1
10
𝑑𝑥
1
0
+ 5∫
1
10
𝑑𝑥
3
1
+ 3∫
1
10
𝑑𝑥
5
3
 
⇒ 𝐸[𝑋] = 1 + 1 +
3
5
 
⇒ 𝐸[𝑋] = 2,6 
 
14. 
𝑃(𝑋 > 9) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 9) = 0,2 
⇒ 1 − 𝑃 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
≤
9 − 5
𝜎
) = 0,2 
⇒ 𝑃(𝑍 ≤
4
𝜎
) = 0,8 
⇒ Φ(
4
𝜎
) = 0,8 
⇒ Φ(
4
𝜎
) ≈ Φ(0,84) 
⇒
4
𝜎
≈ 0,84 
⇒ 𝜎 ≈ 4,762 
⇒ 𝜎2 ≈ 22,68 
 
15. 
𝑃(𝑋 > 𝑐) = 𝑐 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑐) = 0,10 
⇒ 1 − 𝑃 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
≤
𝑐 − 12
√4
) = 0,10 
⇒ 𝑃(𝑍 ≤
𝑐 − 12
2
) = 0,9 
⇒ Φ(
𝑐 − 12
2
) = 0,9 
⇒ Φ(
𝑐 − 12
2
) ≈ Φ(1,28) 
⇒
𝑐 − 12
2
≈ 1,28 
⇒ 𝑐 ≈ 14,56 
 
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Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 06/04/13 – pág. 12/14 
16. 
𝑛 = 100, 𝑝 = 65% 
 
𝑃(𝑋 ≥ 50) ≈ 𝑃(𝑋 > 50 − 0,5) 
⇒ 𝑃(𝑋 ≥ 50) ≈ 1 − 𝑃(𝑋 < 49,5) 
⇒ 𝑃(𝑋 ≥ 50) ≈ 1 − 𝑃 (
𝑋 − 100 · 0,65
√100 · 0,65(1 − 0,65)
<
49,5 − 100 · 0,65
√100 · 0,65(1 − 0,65)
) 
⇒ 𝑃(𝑋 ≥ 50) ≈ 1 − 𝑃 (𝑍 <
49,5 − 65
√65 · 0,35
) 
⇒ 𝑃(𝑋 ≥ 50) ≈ 1 −Φ(−
15,5
√22,75
) 
⇒ 𝑃(𝑋 ≥ 50) ≈ Φ(3,25) 
⇒ 𝑃(𝑋 ≥ 50) ≈ 0,9994 
______________________________________________________________________ 
𝑃(60 ≤ 𝑋 ≤ 70) ≈ 𝑃(60 − 0,5 < 𝑋 < 70 + 0,5) 
⇒ 𝑃(60 ≤ 𝑋 ≤ 70) ≈ 𝑃 (
(60 − 0,5) − 100 · 0,65
√100 · 0,65(1 − 0,65)
< 𝑍 <
(70 + 0,5) − 100 · 0,65
√100 · 0,65(1 − 0,65)
) 
⇒ 𝑃(60 ≤ 𝑋 ≤ 70) ≈ Φ(
70,5 − 65
√22,75
) −Φ(
59,5 − 65
√22,75
) 
⇒ 𝑃(60 ≤ 𝑋 ≤ 70) ≈ Φ(
5,5
√22,75
) − [1 −Φ(
5,5
√22,75
)] 
⇒ 𝑃(60 ≤ 𝑋 ≤ 70) ≈ 2Φ(1,15) − 1 
⇒ 𝑃(60 ≤ 𝑋 ≤ 70) ≈ 2 · 0,8749 − 1 
⇒ 𝑃(60 ≤ 𝑋 ≤ 70) ≈ 0,7498 
______________________________________________________________________ 
𝑃(𝑋 < 75) ≈ 𝑃 (
𝑋 − 100 · 0,65
√100 · 0,65(1 − 0,65)
<
75 − 100 · 0,65
√100 · 0,65(1 − 0,65)
) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 75) ≈ 𝑃 (𝑍 <
75 − 65
√22,75
) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 75) ≈ Φ(
10
√22,75
) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 75) ≈ Φ(2,10) 
⇒ 𝑃(𝑋 < 75) ≈ 0,9821 
 
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17. 
a) 
1 − 𝑃(22,86 − 0,127 ≤ 𝑋 ≤ 22,86 + 0,127) = 1 − 𝑃 (
(22,86−0,127)−22,86
0,0762
< 𝑍 <
(22,86+0,127)−22,86
0,0762
) 
⇒ 1 − 𝑃(22,733 ≤ 𝑋 ≤ 22,987) = 1 − 𝑃 (−
0,127
0,0762
< 𝑍 <
0,127
0,0762
) 
⇒ 1 − 𝑃(22,733 ≤ 𝑋 ≤ 22,987) = 1 − [Φ(
0,127
0,0762
) −Φ(−
0,127
0,0762
)] 
⇒ 1 − 𝑃(22,733 ≤ 𝑋 ≤ 22,987) = 1 − [Φ(1,67) − [1 − Φ(1,67)]] 
⇒ 1 − 𝑃(22,733 ≤ 𝑋 ≤ 22,987) = 1 − [2Φ(1,67) − 1] 
⇒ 1 − 𝑃(22,733 ≤ 𝑋 ≤ 22,987) = 1 − [2 · 0,9525 − 1] 
⇒ 1 − 𝑃(22,733 ≤ 𝑋 ≤ 22,987) = 1 − 0,905 
⇒ 1− 𝑃(22,733 ≤ 𝑋 ≤ 22,987) = 9,5% 
 
b) 
𝑃(22,733 ≤ 𝑋 ≤ 22,987) = 0,99 
⇒ 2Φ(
0,127
𝜎
) − 1 = 0,99 
⇒ Φ(
0,127
𝜎
) = 0,995 
⇒ Φ(
0,127
𝜎
) = Φ(2,575) 
⇒
0,127
𝜎
= 2,575 
⇒ 𝜎 =
0,127
2,575
 
⇒ 𝜎 = 4,9% 
 
18. 
 
 
19. 
 
 
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