Aula 13 e 14 -Métodos dos Resíduos Ponderados - Cópia

Prévia do material em texto

MÉTODOS DOS RESÍDUOS PONDERADOS
O método dos resíduos ponderados é uma técnica empregada na solução de equações diferenciais. Pode ser empregada para resolver EDOs e EDPs. Este método consiste em aproximar a solução por uma base de funções que são denominadas de FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO 
. 
Considere uma função y(x) a qual satisfaz o seguinte operador diferencial 
 em um domínio 
. Consideremos que a SOLUÇÃO APROXIMADA (
) da equação diferencial seja dada pela seguinte expressão:
	
	(1)
Quando se aplica a solução aproximada no operador diferencial 
 gera-se um resíduo (erro). O método dos resíduos ponderados consiste em determinar os coeficientes 
, de modo a minimizar o resíduo da aproximação.
Genericamente, o RESÍDUO é representado pela seguinte expressão:
	
	(2)
Onde wk com k = 1, 2,..., n é um conjunto de FUNÇÕES DE PONDERAÇÃO linearmente independentes.
FUNÇÕES DE PONDERAÇÃO → DEFINE O MÉTODO
Quando é empregada como função a distribuição delta de Dirac, tem-se o método de colocação. Neste caso, o erro de aproximação é calculado pela seguinte expressão:
	
A distribuição delta de Dirac apresenta a seguinte propriedade:
	
	(4)
Quando as funções de ponderação são idênticas às funções de aproximação, tem-se então o método de Galerkin. Neste caso, o erro de aproximação pode ser calculado pela seguinte expressão:
	
	(5)
Exemplo 1: Transferência de calor em regime permanente em uma barra (coordenadas cartesianas). Dados: R = 0,1; h = 0,1; L = 1,0; k = 2,0 e T∞ = 25.
	
 
 
	
	
Empregue o método de colocação para resolver a equação diferencial. Utilize o seguinte polinômio como funções aproximação: 
.
FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO – POLINÔMIO DA LAGRANGE
Na Solução obtida no exemplo 1 os valores das constantes (an) não tem significado físico e podem assumir quaisquer valores reais. Para evitar este tipo de problema, geralmente, utiliza-se o polinômio de Lagrange como função de aproximação. Neste caso, os valores das constantes da solução aproximada tem significado físico e representam os valores das incógnitas nos pontos de colocação.
Equação do Polinômio de Lagrange:
Por exemplo, para n = 3:
Logo:
Exemplo 2: Empregue o método de colocação para resolver o seguinte modelo. Utilize o polinômio de Lagrange como função de aproximação. Utilize 3 pontos de colocação internos.
Exemplo 3: Empregue o método de colocação ORTOGONAL para resolver a seguinte equação diferencial. Utilize o polinômio de Lagrange como função de aproximação. 
Determinação dos pontos de colocação:
 
Método de colocação ortogonal → Raízes dos polinômios de Legendre.
O emprego das raízes do polinômio de Legendre como pontos de colocação garantem o menor erro de aproximação;
Os polinômios de Legendre dependem do sistema de coordenadas e todas as suas raízes estão no intervalo [0, 1] e são tabeladas para polinômios de diferentes ordens;
Os polinômios de Legendre são construídos de modo a garantir a condição de ortogonalidade.
Duas funções são ortogonais se o produto interno entre elas é zero. Por definição o produto interno de duas funções g1 e g2 é:
Se forem ortogonais:
Onde:
n = 0 para coordenadas cartesianas;
n = 1 para coordenadas cilíndricas;
n = 2 para coordenadas esféricas.
Para 1 ponto de colocação interno:
Condição de ortogonalidade:
Logo:
Ponto de colocação:
Para 2 pontos de colocação interno:
 
 
Exemplo 4: Empregue o método de Galerkin para resolver a seguinte equação diferencial. Utilize o polinômio de Lagrange como função de aproximação. 
_1440244454.unknown
_1441439786.unknown
_1441439804.unknown
_1441439808.unknown
_1441439810.unknown
_1441439812.unknown
_1473667117.unknown
_1441439811.unknown
_1441439809.unknown
_1441439806.unknown
_1441439807.unknown
_1441439805.unknown
_1441439800.unknown
_1441439802.unknown
_1441439803.unknown
_1441439801.unknown
_1441439798.unknown
_1441439799.unknown
_1441439787.unknown
_1440244781.unknown
_1440244980.unknown
_1441439689.unknown
_1441439785.unknown
_1441439690.unknown
_1441439688.unknown
_1440244959.unknown
_1440244529.unknown
_1440244573.unknown
_1440244488.unknown
_1273618274.unknown
_1440241865.unknown
_1440244295.unknown
_1440244374.unknown
_1440242883.unknown
_1273619105.unknown
_1273619140.unknown
_1273619391.unknown
_1273618790.unknown
_1273617195.unknown
_1273617801.unknown
_1273618116.unknown
_1273617421.unknown
_1273616918.unknown
_1273617186.unknown
_1273616731.unknown
_1273616852.unknown