Aula_Teorica_7_e_8

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11/10/2013
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Elementos Armazenadores de Energia: 
Circuitos de Primeira Ordem RC e RL (Regime Transitório)
Universidade Estadual de Feira de Santana
Departamento de Tecnologia 
Área de Eletrônica e Sistemas
Prof. João Bosco Gertrudes
e-mail: jbosco@ecomp.uefs.br; jbosco@dsce.fee.unicamp.br
Atendimento em sala: terças e quintas das 14:30h as 15:30h
TEC 500 – Circuitos Elétricos e Eletrônicos 2013.2 
GRUPO DE DISCUSSÃO:
https://groups.google.com/d/forum/tec-500-2013-2
� Introdução
� Vamos introduzir mais dois elementos passivos nas nossas análises, o capacitor e o 
indutor.
� Ao contrário do resistor, esses dois elementos exibem seu comportamento característico
apenas quando ocorrem variações de tensão ou corrente no circuito em que se 
encontram.
� Numa situação ideal, não dissipam energia como o resistor, mas a armazenam de uma 
forma que podem retorná-la ao circuito sempre que necessário de acordo com o projeto 
deste.
� Convenção: Nossas correntes e tensões agora podem variar com o tempo � por 
convenção trabalhar com variáveis indicadas por letra minúscula indicando a variação com 
o tempo.
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Figura 1
� Capacitores
� Um capacitor é um dispositivo de dois terminais constituído por dois corpos condutores 
separados por um material não-condutor.
� O material não-condutor é chamado isolante ou dielétrico.
� Por causa do isolante, as cargas não podem se mover, por dentro do dispositivo.
� Na figura 1, duas placas paralelas, feitas de um material condutor e separadas por um 
espaço vazio, estão conectadas a uma bateria por meio de um resistor e uma chave.
� Se as placas estão inicialmente descarregadas
e a chave está aberta, nenhuma carga, 
positiva ou negativa será encontrada nelas.
� No momento em que a chave é fechada, 
elétrons são atraídos da placa superior 
para o terminal positivo da bateria 
passando pelo resistor.
Circuitos de Primeira Ordem RC 
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Figura 1
� Capacitores
� Ocorrerá inicialmente um surto de corrente limitada pelo valor da resistência presente. 
A intensidade desta corrente diminui.
� Isso produz uma carga positiva na placa superior.
� Os elétrons são repelidos pelo terminal negativo em direção à placa inferior.
� O resultado final é que a tensão entre as placas fica igual à tensão da bateria.
Circuitos de Primeira Ordem RC 
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� Capacitores
� O capacitor tem uma diferença de potencial v, que é proporcional à carga q (que está em 
cada uma das placas):
Q = Cv 
� Onde C é uma constante de proporcionalidade, conhecida como capacitância do dispositivo.
� A unidade é farad (F).
� Os capacitores que satisfazem a eq. acima são lineares.
� A carga total dentro do capacitor é zero.
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� Capacitores - Tipos e Características Construtivas
Circuitos de Primeira Ordem RC 
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Capacitores de Mica
Capacitores cerâmicos radiais
Capacitores de disco cerâmicos
Capacitores eletrolíticos Capacitores de poliéster
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Circuitos de Primeira Ordem RC 
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Capacitores - Tipos e Aplicações
� Capacitores
� Capacitância é uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar
em suas placas.
� Um capacitor com uma capacitância de 1 farad teria uma carga de 1 coulomb* 
depositada em suas placas, por uma diferença de potencial de 1 volt entre elas.
� A capacitância é definida por:
* Carga de 1 elétron → |e| ~ 1,602 10-19C.
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� Capacitores
� A relação corrente-tensão no capacitor é dada por
� Portanto, a corrente é dada pela variação de carga, 
e conseqüentemente pela variação da tensão.
� Símbolo na figura 2.
Circuitos de Primeira Ordem RC 
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Figura 2
(1)
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� Exemplo 1: Suponha que a tensão num capacitor de 1µF é v = 6.cos(2.000t) V
� Então, a corrente é
i = C(dv/dt) = 10-6 (-12.000.sen(2.000t))
i = -12.sen(2.000t) mA
� Se v é constante, então a corrente i é zero. Portanto, o capacitor atua como um circuito 
aberto para a corrente contínua.
� Por outro lado, quanto mais rápido v se altera, maior é a corrente que flui em seus 
terminais.
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� Tensão no Capacitor
� Podemos encontrar v(t) em função de i(t) integrando (1) entre os intervalos de tempo 
de t0 a t :
� Onde v(t0) = q(t0) / C é a tensão no capacitor no instante t0.
� A integral representa a tensão acumulada no capacitor entre t e t0.
� Enquanto v(t0) representa a tensão acumulada no intervalo entre -∞∞∞∞ e t0.
� A tensão em v(-∞∞∞∞) é considerada zero.
� Uma forma alternativa para (2):
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(2)
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� Energia Armazenada em Capacitores
� A tensão através dos terminais de um capacitor é acompanhada pela separação das 
cargas elétricas.
� Estas cargas têm forças atuando sobre elas, resultantes de um campo elétrico
� Definição de campo elétrico: força atuando sobre uma unidade de carga positiva.
� A energia acumulada em um capacitor é dita armazenada em campo elétrico, dada por:
� Sendo v(-∞∞∞∞) = 0, temos:
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� Capacitores em Série e em Paralelo
� Os capacitores, como os resistores, podem ser conectados em série e em paralelo.
� Um aumento nos valores de capacitância pode ser conseguido conectando os capacitores
em paralelo, enquanto uma diminuição é obtida conectando-os em série.
� No caso de capacitores conectados em série, a carga é a mesma em todos os capacitores:
QT = Q1 = Q2 = Q3 Q = CV 
� Aplicando a LKT:
E = V1 + V2 + V3
Substituindo V = Q/C
� Como Q é a mesma:
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Figura 3
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Figura 4
� Capacitores em Série e em Paralelo
� No caso dos capacitores conectados em paralelo, a tensão é a mesma entre os terminais 
de todos os capacitores, e a carga total é a soma das cargas dos capacitores:
QT = Q1 + Q2 + Q3
Q = CV
� Como V é a mesma:
CT = C1 + C2 + C3
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� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
� Considere o circuito da figura 5 depois que a chave é fechada (posição 1).
� No instante em que fechamos a chave, a bateria começa a remover elétrons da placa
superior e depositá-los na placa inferior.
� A transferência é muito rápida inicialmente, e depois passa a ficar mais lenta.
� Quando a tensão entre os terminais do capacitor se iguala à tensão da bateria, cessa o 
movimento de elétrons, e as placas ficam com uma carga de:
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Figura 5TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
Figura 5
� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
� Analisando o circuito e a equação de carga no capacitor:
� A equação de tensões de malha do circuito é: 
� Substituindo iC e ordenando a equação:
� Método dos Coeficientesa Determinar:
� Solução: homogênea (transitória) + particular (regime permanente)
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(eq. dif. de primeira ordem)
e
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� Resposta Transitória ou homogênea (resposta do circuito com a fonte anulada)
� A única função proporcional às suas derivadas é a função exponencial.
� Assim, a solução da eq. RC (dvc/dt) + vc = 0 será obtida na forma:
� Com K e λ constantes.
� Substituindo a solução na eq. Diferencial obtemos:
� Levando a
� Considerando que e λλλλt ≠≠≠≠ 0 e também que, se v(0) ≠≠≠≠ 0, K não pode ser nulo.
� Portanto, RC λλλλ + 1 = 0 ⇒⇒⇒⇒ que é a equação característica.
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Figura 5
� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
� Solução TRANSITÓRIA (homogênea):
Equação característica: 
� Solução de REGIME (particular): constante A (Solução de Regime permanente)
� Solução geral : transitória (homogênea ) + (regime) particular.
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Eq. 
Caract
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� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
� Solução geral:
� Condições iniciais:
� Substituindo:
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Figura 5TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
Figura 6
� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
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(4)(3)
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Figura 6
� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
� A figura 6 mostra a variação da corrente e tensão com o tempo.
� Quando a fase de carga termina, a corrente no capacitor é nula e a tensão é a mesma da 
bateria.
� O capacitor adquire características de um circuito aberto: existe uma tensão entre as 
placas sem que haja corrente entre elas.
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� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
� O fator RC na equação (3) é chamado constante de tempo do circuito. 
Seu símbolo é a letra grega ττττ,
� Após a passagem de 1 constante de tempo na função exponencial (t = ττττ) :
� A função é igual a 36,79% do valor máximo (E/R=1)
� Em t = 2τ :
� O valor cai para 13,53%
� A corrente cai muito rápido.
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Figura 8TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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Figura 9
� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
� Após 5 constantes de tempo a corrente é praticamente igual a zero.
� Como os valores de C são normalmente na faixa de µµµµ-farads ou p-farads, a constante de tempo nunca é 
maior que alguns segundos, a menos que R seja muito grande.
� A tensão no capacitor dada pela equação (3) é:
� Em t = τ :
� Em t = 2τ :
� Podemos concluir que a tensão no capacitor é 
E volts após cinco constantes de tempo na fase 
de carga.
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� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
� Se mantivermos R constante e reduzirmos C, o produto RC e o tempo equivalente a cinco 
constantes de tempo diminuirão.
� A capacitância de um circuito é também uma medida do quanto o circuito se opõe à 
mudança da tensão entre os seus terminais.
� Quanto maior a capacitância, maior a constante de tempo e mais tempo levará para 
que a tensão atinja o valor final.
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Figura 10TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Carga
� Uma vez que a tensão entre os terminais do capacitor se torna igual à tensão de bateria
E, o capacitor está totalmente carregado e permanece neste estado se não forem feitas 
mudanças no circuito.
� Se a chave do circuito for aberta, o capacitor conservará sua carga por um período de 
tempo determinado pela corrente de fuga.
� Os de mica e cerâmica possuem uma corrente de fuga muito pequena, portanto a ddp
permanece por longo tempo. Os eletrolíticos são mais rápidos para descarregar.
� Em qualquer caso, para garantir que um capacitor está completamente descarregado, ele 
deve ter seus terminais curto-circuitados por um fio antes de ser manuseado.
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Figura 11
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� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Descarga
� O circuito na figura 3 foi projetado para carregar e descarregar o capacitor.
� Quando a chave é colocada na posição 1, o capacitor se carrega com a tensão da fonte, 
como descrito anteriormente.
� Em qualquer instante, se a chave for movimentada para a posição 2, o capacitor
começará a se descarregar com a mesma constante de tempo ττττ = RC.
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Figura 3TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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Figura 12
� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Descarga
� A tensão estabelecida pela carga entre os terminais do capacitor dá origem a uma 
corrente elétrica que descarrega o capacitor.
� O capacitor se comporta como uma bateria cuja tensão de saída diminui com o tempo.
� Observe que a corrente iC circula agora no sentido inverso, o que muda a polaridade
da tensão entre os terminais de R.
� Se o capacitor for carregado até a tensão entre seus terminais ser igual à tensão da 
bateria, a equação para a tensão entre os terminais do capacitor será:
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Figura 12
� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Descarga
� Equação de Descarga:
� Mesma eq. característica de carga:
� Homogênea:
� Não há particular
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Figura 12
� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Descarga
� Condições iniciais:
� A descarga completa ocorre, para todos os 
efeitos práticos, após cinco constantes de tempo.
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Figura 13
� Transitórios em Circuitos Capacitivos: Fase de Descarga
� Se a chave for alternada nas posições 1 e 2 a cada cinco constantes de tempo, as curvas 
de vC, iC e vR terão o aspecto da figura 13.
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� Exemplo numérico: Calcule Vc(t) e Ic(t) no circuito da Figura se Vc(0)= 0;
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� Solução gráfica:
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Circuitos de Primeira Ordem RL
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� Introdução
� Assim como cargas estáticas exercem forças uma sobre a outra, correntes também 
influenciam uma a outra.
� Dois fios vizinhos conduzindo corrente produzem uma força caracterizada pela existência 
de um campo magnético.
� O campo magnético, por sua vez, pode ser expresso em termos de fluxo magnético que 
forma laços fechados em volta da corrente.
� Um indutor é um dispositivo de dois terminais composto de um fio condutor enrolado em 
forma de espiras - formando uma bobina.
� Resumindo: A corrente fluindo através do dispositivo produz um fluxo magnético φφφφ que 
forma laços fechados envolvendo a bobina e gerando o indutor
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� Indutores
� O indutor possui características de resposta bem semelhantes em muitos aspectos às do 
capacitor.
� Se um condutor retilíneo se desloca em um campo magnético de forma a cruzar linhas 
de campo, fig.1, uma tensão é induzida através do condutor.
� Quanto maior o número de linhas de campo cruzadas por unidade de tempo, ou quanto 
maior a força do campo magnético, maior é a tensão induzida através do condutor.
� Se o condutor for mantido em uma posição fixa, e o campo magnético se mover de 
forma que as linhas de campo cruzem o condutor, o mesmo efeito é produzido.
Circuitos de Primeira Ordem RL
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 1
� Indutores
� Se uma bobina de N espiras é colocada em uma região onde o fluxo é variável, como 
na figura 2, a tensão induzida na bobina pode ser calculada com o auxílio da lei de 
Faraday:
� Onde N é o número de espiras da bobina e dφφφφ/dt é a taxa de variação instantânea do 
fluxo concatenado na bobina.
� O termo variação indica que a intensidade do campo dentro da bobina varia de valor ou 
a bobina se move através do campo de tal forma que o número de linhas de campo que 
atravessa a bobina varie com o tempo.
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Figura 2
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� Indutores
� O campo magnético na vizinhança de uma bobina de N espiras percorrida por uma 
corrente I tem o aspecto da Figura 3.
� Se a corrente aumenta de valor, o fluxo que atravessa a bobina também aumenta.
� Foi mostrado que a variação do fluxo induz uma tensão entre os terminais da bobina.
� Portanto, a tensão induzida sobre a bobina é função da variação de corrente através
da bobina.
Circuitos de Primeira Ordem RL
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
Figura 3
� Indutores
� A indutância de um indutor também é uma medida da taxa de variação do fluxo no seu 
interior em função da variação da corrente aplicada
� Se escrevermos (1) como
� Substituindo a equação (2), temos
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� Energia Armazenada em Indutores
� Uma Corrente fluindo através de um indutor produz um enlace de fluxo que passa pelas 
espiras da bobina.
� Para estabelecer o fluxo neste indutor é necessário um trabalho ou energia, a qual é dita 
armazenada no campo magnético. 
Circuitos de Primeira Ordem RL
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
� Exemplos de Aplicações Práticas da Teoria de Indução Eletromagnética – BOBINAS (INDUTORES)
Circuitos de Primeira Ordem RL
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Circuito de Primeira Ordem RL : Indutores Típicos e Aplicações
Tipo: De núcleo aberto
Valores Típicos: 3 mH a 40 mH
Aplicações: Usado em filtros 
passa-baixa. Encontrado em circuitos de 
alto-falantes.
Tipo: Toroidal
Valores Típicos: 1 mH a 30 mH
Aplicações: Usado em linhas de 
transmissão para filtrar transientes e 
reduzir interferências eletromagnéticas. 
Encontrado em muitos eletrodomésticos.
Tipo: Cilíndrico
Valores Típicos: 3 µH a 1 mH
Aplicações: Usado em linhas de 
transmissão de alta corrente.
Tipo: Linha de retardo
Valores Típicos: 10 µH a 50 µH
Aplicações: Usado em receptores de 
televisão em cores para corrigir 
diferenças de tempo entre os sinais de 
cor e o sinal de branco e preto.
Tipo: Com derivações
Valores Típicos: 0,6 mH a 50 mH
Aplicações: Usado em filtros de linha, fontes 
de alimentação chaveadas, carregadores de 
baterias e outros equipamentos eletrônicos.
Tipo: De RF
Valores Típicos: 10 µH a 50 µH 
Aplicações: Usado em receptores de 
rádio e televisão e em circuitos de 
comunicação. Encontrados em circuitos de 
AM, FM e UHF.
Tipo: Encapsulado
Valores Típicos: 0,1 µH a 100 µH
Aplicações: Usado em uma grande 
variedade de circuitos com osciladores, 
filtros passa-baixa e outros.
Tipo: Para montagem em superfície
Valores Típicos: 0,01 µH a 100 µH
Aplicações: Encontrado em muitos 
circuitos eletrônicos que exigem 
componentes em miniatura para que 
sejam montados emplacas de circuito 
impresso com multicamadas.
Tipo: Ajustável
Valores Típicos: 1 µH a 100 µH
Aplicações: Indutor variável usado em 
osciladores e outros circuitos de RF de 
transceptores e receptores de rádio e 
televisão.
� Indutores em Série e Paralelo
� Mesmo dos resistores:
� Série: Aplicando LKT
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� Indutores em Série e Paralelo
� Mesmo dos resistores:
� Paralelo: Aplicando LKC
Circuitos de Primeira Ordem RL
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Armazenamento
� As variações de corrente e tensão que ocorrem em um circuito de corrente contínua 
quando um indutor armazena energia sob a forma de um campo magnético podem ser 
mais bem compreendidas pelo circuito da figura 4.
� No instante que a chave é fechada, a indutância do indutor não permite que ocorra uma 
variação instantânea da corrente.
� A queda de potencial no indutor, vL, é igual à tensão aplicada E, como determina a LKT, 
pois vR = Ri = 0V.
� A corrente iL parte de zero, estabelecendo uma tensão no resistor e no indutor. A corrente 
aumenta até que a tensão no indutor chegue a zero e a tensão no resistor igual a E. No 
final iL é igual a E/R.
� Aplicando Kirchhoff ao circuito
Circuitos de Primeira Ordem RL
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 4
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� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Armazenamento
� Solução TRANSITÓRIA (homogênea):
� Solução de REGIME (Particular): constante A
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Figura 4
Fazendo
Substituindo
EDO linear 
homogênea 
coeficientes constantes
Única função proporcional às 
suas derivadas
� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Armazenamento
� Condições iniciais:
� No estado estacionário, o indutor funciona como 
um curto-circuito.
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(3)
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� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Armazenamento
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(4)
� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Armazenamento
� O circuito se estabiliza em 5 constantes de tempo.
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Figura 5
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� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Armazenamento
� Gráficos de funções y = 1 – e−t / τ e y = e−t / τ.
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� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Armazenamento
� Forma da onda de iL durante a fase de armazenamento para três valores diferentes de L
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� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Armazenamento
� Gráfico da tensão vL em função do tempo para o circuito visto na Figura 17.
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descontinuidade
Figura 4
� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Decaimento
� Na análise de circuitos R-C, observamos que o capacitor pode manter a carga e 
armazenar energia na forma de uma campo elétrico por um período de tempo 
determinado pela corrente de fuga.
� Nos circuitos R-L, a energia é armazenada na forma de um campo magnético 
estabelecido pela corrente no indutor.
� Porém, um indutor isolado não pode reter energia, pois a ausência de um circuito fechado 
faz a corrente cair para zero.� Se abríssemos a chave do circuito da figura 4, depois de estabilizado, ocorreria uma 
centelha entre seus contatos, pois a corrente cairia do máximo, E/R, para zero muito 
rapidamente.
� Isto induziria uma alta tensão que se somaria a tensão 
aplicada, E, entre os contatos da chave.
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� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Decaimento
� Neste caso, vamos usar o circuito da figura 6 (a).
� Quando a chave é fechada, a tensão no resistor R2 é E volts e o ramo R-L tem um 
comportamento idêntico ao descrito anteriormente:
� O equivalente Thevenin de E em paralelo com R2 se reduz apenas à fonte de tensão, fig 6(b).
� A resistência R2 estaria em curto ao substituir a fonte por um curto na determinação de RTH.
� Depois da fase de armazenamento, a chave pode ser aberta.
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Figura 6
� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Decaimento
� Com a chave aberta o circuito fica como na figura 7.
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Figura 7
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� Transitórios em Circuitos R-L: Fase de Decaimento
� Condições Iniciais
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� Obtenção de Tensão e corrente qualquer
� A tensão entre os terminais de um capacitor (ou a corrente através de um indutor) é a soma de 
duas parcelas:
� A resposta permanente, constante;
� A resposta transitória, proporcional a uma exponencial
� A constante λ é a mesma para todas as variáveis do circuito e vale -1/RC ou –R/L, conforme o 
circuito.
� A resistência é a resistência de Thevenin vista pelo capacitor ou indutor(quando todas as fontes 
são anuladas).
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� Exemplo: Calcule i(t) e vl (t) se i(0-) = 0.
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
� Exemplo: Solução gráfica
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