Seção 15_3_S

Prévia do material em texto

SEÇÃO 15.3 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS  3
 1. 1
0
y
0 x d x dy =
1
0
1
2 x
2 y
0 dy =
1
0
1
2 y
2 dy = 16
 2. 10
y
0 y dx dy =
1
0 y
2 dy = 13
 3. 20
3
x x
2 + y dy dx = 20 x
2y + 12 y
2 3
x dx
= 20 3x
2 + 92 − x
5 / 2 − 12 x dx
= x 3 + 92 x −
2
7 x
7 / 2 − 14 x
2
2
0
= 16 1 − 27
 4. 10
1+ x
1− x 2x − 3y
2 dy dx = 10 2xy − y
3 1+ x
1− x dx
= 10 4x
2 − (1 + x )3 + (1 − x )3 dx
= 43 x
3 − 14 (1 + x )
4 − 14 (1 − x )
4 1
0
= 43 − 4+
1
4 +
1
4 = −
13
6
 5. 10
x
0 sen x
2 dy dx = 10 x sen x
2 dx
= 12 − cos x
2 1
0 =
1
2 (1 − cos 1)
 6. 
1
0
0
x − 1
2y
x + 1
dy dx =
1
0
y2
x + 1
0
x − 1
dx
= −
1
0
(1 − x )2
x + 1
dx = −
1
0
x − 3+ 4
x + 1
dx
= − 12 x
2 − 3x + 4 ln (x + 1) 10 =
5
2 − 4 ln 2
 7. 10
x
x2 xy dy dx =
1
0
1
2 xy
2 x
x 2 dx
= 12
1
0 x
2 − x 5 dx = 12
1
3 x
3 − 16 x
6 1
0 =
1
12
 8. 31
2x
1+ x (x − 2y) dy dx =
3
1 xy − y
2 2x
1+ x dx
= 31 (1 + x )
2 − 3x 2 − x dx
= 13 (1 + x )
3 − x 3 − 12 x
2 3
1 = −
34
3
 9. 10
2− x
x x
2 − 2xy dy dx = 10 x
2y − xy 2 2− xx dx
= 10 −2x
3 + 7x 2 − 4x − x 5 / 2 dx
= − 12 x
4 + 73 x
3 − 2x 2 − 27 x
7 / 2
1
0
= − 1942
 10. pi/ 20
cos y
0 x sen y dx dy =
pi/2
0
1
2 cos
2 y sen y dy
= − 16 cos
3 y pi/20 =
1
6
 11. e
1
y 4
y 2 (1/x ) dx dy =
e
1 ln y
4 − ln y2 dy
= e1 2 ln y dy = 2 [y ln y − y]
e
1 = 2
 12. pi/4
pi/6
cos x
sen x (3x + y) dy dx =
pi/4
pi/6 3xy +
1
2 y
2 y =cos x
y =sen x dx
= pi/4pi/6 3x (cos x − senx )+
1
2 cos
2 x − 12 sen
2 x dx
= 3 x (sen x + cos x )|pi/4pi/6 − 3
pi/4
pi/6 (sen x + cos x ) dx
+ 14 sen x
pi/4
pi/6
= 3 pi4 2 −
pi
2 ·
1+ 3
2 + 3 0+
1− 3
2 +
1
4 1 −
3
2
= 3 2− 1− 34 pi +
14− 13 3
8
 13. 10
1+ y
− y y − xy
2 dx dy = 10 xy −
1
2 x
2y2 x =1 + yx =− y dy
= 10 −y
3 + 32 y
2 + y dy = − 14 y
4 + 12 y
3 + 12 y
2 1
0 =
3
4
 14. 
1
− 1
2− x 2
x 2 x
2 + y dy dx = 2 10
2− x 2
x 2 x
2 + y dy dx
= 2 10 x
2y + 12 y
2 y=2 − x 2
y= x 2 dx = 2
1
0 −2x
4 + 2 dx
= 4 − 15 x
5 + x 10 =
16
5
 15. 
4
1
x
x 2 − 4x +4 3xy dy dx =
4
1
3
2 xy
2 y = x
y = x 2 − 4x + 4 dx
= 32
4
1 x
3 − x (x − 2)4 dx
= 32
4
1 x
3 − (x − 2)5 − 2 (x − 2)4 dx
= 32
1
4 x
4 − 16 (x − 2)
6 − 2 (x − 2)5 41
= 32 64 −
409
20 =
2613
40
 16. 10
x
0 e
x + y dy dx = 10 e
2x − ex dy = 12 e
2x − ex 10
= 12 e
2 − 2e + 1
 17. 
1
0
1− x 2
0 xy dy dx =
1
0
1
2 xy
2 1− x 2
0 dx
=
1
0
x − x 3
2
dx = 1
2
x 2
2
−
x 4
4
1
0
=
1
8
15.3 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 15.3 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS
 18. 
1
− 1
3− 2y 2
y 2 y
2 − x dx dy = 1− 1 xy
2 − 12 x
2 x =3 − 2y 2
x = y 2 dy
= 1− 1 3 − 2y
2 y2 − 12 3 − 2y
2 2 − y2y2 + 12 y
2 2 dy
= 1− 1 −
9
2 y
4 + 9y2 − 92 dy
= − 910 y
5 + 3y3 − 92 y
1
− 1 = −
24
5
 19. 
4
0
6− y
y/ 2 ye
x dx dy = 40 [ye
x ]x =6 − yx = y/ 2 dy
= 40 ye
6− y − yey/2 dy
= y −e6− y − 2ey/2
4
0
+ −e6− y + 4ey/ 2
4
0
(por partes, separadamente, para cada termo)
= −12e2 + 3e2 + e6 − 4 = e6 − 9e2 − 4
 20. 
V = 10
x
x 2 x
2 + y2 dy dx
= 10 x
2y + 13 y
3 y= x
y= x 2 dx
= 10 x
5 / 2 − x 4 + 13 x
3 / 2 − 13 x
6 dx
= 27 x
7 / 2 − 15 x
5 + 215 x
5 / 2 − 121 x
7
1
0
= 18105 =
6
35
 21. 
V = 20
y
y 2− y 3x
2 + y2 dx dy
= 20 x
3 + y2x x = yx = y 2− y dy
= 20 2y
3 − y6 − 3y5 + 4y4 − 2y3 dy
= − 17 y
7 + 12 y
6 − 45 y
5 + y4 20 =
144
35
 22. 
V = 10
1− x
0 x
2 + y2 + 4 dy dx
= 10 x
2y + 13 y
3 + 4y y=1 − xy=0 dx
= 10 x
2 − x 3 + 13 (1 − x )
3 + 4(1 − x ) dx
= 13 x
3 − 14 x
4 − 112 (1 − x )
4 − 2 1 − x 2 10 =
13
6
 23. 
V = 20
1− x/2
0 9 − x 2 dy dx =
2
0 y 9 − x 2
y =1− x/2
y =0 dx
= 20 9 − x 2 −
1
2 x 9 − x 2 dx
= 20 9 − x 2 dx +
1
4
2
0 −2x 9 − x 2 dx
= 12 x 9 − x 2 +
9
2 sen
− 1 (x/3) + 16 9 − x
2 3 / 2
2
0
= 5+ 92 sen
− 1 2
3 +
5
6 5 −
1
6 (27)
= 16 11 5− 27 +
9
2 sen
− 1 2
3
 24. 
V = 3 / 40
(3 − y ) / 3
y
1
3 (6 − 6x − 2y) dx dy
= 3 / 40
2
3 (3 − y) x − x
2 x =( 3− y ) / 3
x = y dy
= 3 / 40
1
9 (3 − y)
2 − 2y + 53 y
2 dy
= − 127 (3 − y)
3 − y2 + 59 y
3 3 / 4
0
= − 2764 −
9
16 +
15
64 + 1 =
1
4
 25. 
V = 21
5− y
2y− 1 (1 + xy ) dx dy =
2
1 x +
1
2 x
2y x =5 − yx =2 y− 1 dy
= 21 6 − 3y −
3
2 y
3 − 3y2 + 12y dy
= 6 y + 92 y
2 − 38 y
4 − y3 21 =
55
8
SEÇÃO 15.3 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS  5
 26. 
V = 30
y/ 3
0 9 − y2 dx dy =
3
0
1
3 y 9 − y2 dy
= − 19 9 − y
2 3 / 2
3
0
= 3
 27. 
Como a região de integração é
D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1}
= {(x, y) | y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
temos
1
0
x
0 f (x, y) dy dx = D f (x, y) dA
= 10
1
y f (x, y) dx dy
 28. 
Como a região de integração é
D = (x, y) | 0 ≤ y ≤ sen
sen
pi
pi
pi
x, 0 ≤ x ≤ pi2
= (x, y) | sen− 1 y ≤ x ≤ pi2 , 0 ≤ y ≤ 1
temos
pi/ 2
0
sen x
0 f (x, y) dy dx = D f (x, y) dA
= 10
pi/ 2
sen− 1 y f (x, y) dx dy
 29. 
Para reverter a ordem, precisamos quebrar a região em
duas regiões separadas de tipo I. Como a região de 
integração é
D = (x, y) | y2 ≤ x ≤ 2 − y, 0 ≤ y ≤ 1
= {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1}
∪ {0 ≤ y ≤ 2 − x, 1 ≤ x ≤ 2}
temos
1
0
2− y
y 2 f (x, y) dx dy = D f (x, y) dA
= 10
x
0 f (x, y) dy dx +
2
1
2− x
0 f (x, y) dy dx
 30. 
Como a região de integração é
D = {(x, y) | y/ 2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4}
= {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ x ≤ 2}
temos
4
0
2
y/2 f (x, y) dx dy = D f (x, y) dA
= 20
2x
0 f (x, y) dy dx