Seção 15_4_E

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SEÇÃO 15.4 INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES  1
1-9 Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. 
 1. R x dA, onde R é o disco com centro na origem e raio 5
 2. R y dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada 
pelo círculo x2 + y2 = 9 e as retas y = x e y = 0
 3. R xy dA, onde R é a região do primeiro quadrante 
compreendida entre os círculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 25
 4. +
= ≤ ≤ ≥
,
onde R x, y 1 x 2 y 2 9, y 0
R x 2 y 2 dA
 5. 
≤ ≤+
+ ,
onde R é a região anular 1 x 2 y 2 16
R sen x 2 y 2 dA
 6. +
+= =
, onde é a região limitada pelo
cardioide e fora do círculo r 1r 1 sen
DD 1 x 2 y 2 dA
 7. , onde
+=
+ é a região limitada pelo 
cardioide r 1 cos
DD x 2 y 2 dA
 8. 
=
+ +
+
, onde D é a região do primeiro
quadrante delimitada pelo círculo x2 y2 16
D
1
1 x 2 y 2 3 2
dA
 9. +
≤ ≤ pi
, onde é a região limitada pelas 
espirais e para 0 2r 2r
DD x
2 y 2 dA
10-13 Use uma integral dupla para determinar a área da região. 
 10. A região delimitada pelo cardioide r = 1 - sen θ
 11. A região delimitada pela lemniscata r2 = 4 cos 2θ
 12. A região dentro do círculo r = 3 cos θ e fora do cardioide 
r = 1 + cos θ
 13. A menor região limitada pela espiral rθ = 1, pelos círculos 
r = 1 e r = 3, e pelo eixo polar
14-17 Use coordenadas polares para determinar o volume do 
sólido dado. 
 14. Abaixo do cone +=z x 2 y 2 e acima do anel 
+≤ ≤4 x 2 y 2 25
 15. Abaixo do plano 6x + 4y + z = 12 e acima do disco com 
círculo limite x2 + y2 = y
 16. Dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 4a2 e fora do cilindro 
x2 + y2 = 2ax
 17. A esfera de raio a
 18. Calcule a integral iterada.
 
3
0
9 x 2
0
 arctg
y
x
dy dx
 pela conversão para coordenadas polares. 
15.4 INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp