Seção 15_5_S

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SEÇÃO 15.5 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS  3
 1. Q = D x
2 + 3y2 dA = 20
2
1 x
2 + 3y2 dy dx
= 20 x
2y + y3 y=2y=1 dx =
2
0 x
2 + 7 dx
= 13 x
3 + 7x 20 =
8
3 + 14 =
50
3 C
 2. Q = 0 ≤ x 2+ y 2 ≤ 1 1+ x
2 + y2 dA
= 2pi0
1
0 1+ r
2 r dr dθ = 2pi0 dθ
1
0 r + r
3 dr
= 2pi 12 r
2 + 14 r
4 1
0 =
3pi
2 C
 3. m = D ρ (x, y) dA =
1
− 1
1
0 x
2 dy dx
= 1− 1 x
2 dx 10 dy =
1
3 x
3 1
− 1 [y]
1
0 =
2
3
x = 1m D xρ (x, y) dA =
3
2
1
− 1
1
0 x
3 dy dx
= 32
1
− 1 x
3 dx 10 dy =
3
2
1
4 x
4 1
− 1 [y]
1
0 = 0
y = 1m D yρ (x, y) dA =
3
2
1
− 1
1
0 x
2y dy dx
= 32
1
− 1 x
2 dx 10 y dy =
3
2
1
3 x
3 1
− 1
1
2 y
2 1
0 =
1
2
Logo (x, y) = 0, 12 .
 4. m = 30
2
0 y dx d y =
2
0 dx
3
0 y dy = 9,
My = 30
2
0 xy dx dy =
2
0 x d x
3
0 y dy = 9 e
Mx = 30
2
0 y
2 dx dy = 20 dx
3
0 y
2 dy = 18.
Logo m = 9, (x, y) = (My /m ,M x /m ) = (1 , 2).
 5. m = 10
1
x 2 xy dy dx =
1
0
1
2 x −
1
2 x
5 dx = 14 −
1
12 =
1
6 ,
My = 10
1
x 2 x
2y dy dx = 10
1
2 x
2 − 12 x
6 dx =
1
6 −
1
14 =
2
21 e Mx =
1
0
1
x 2 xy
2 dy dx =
1
0
1
3 x −
1
3 x
7 dx = 16 −
1
24 =
1
8 .
Logo m = 16 , (x, y) =
4
7 ,
3
4 .
 6. m = 3− 3
9− x 2
0 y dy dx =
3
− 3
1
2 81 − 18x
2 + x 4 dx
= 243 − 162 + 2435 =
648
5 = 3
4 · 85
My = 0 uma vez que ρ é independente de x e a região
é simétrica em relação ao eixo y, e
Mx = 3− 3
9− x 2
0 y
2 dy dx = 3− 3
1
3 9 − x
2 3 dx
= 2 30 243 − 81x
2 + 9x 4 − 13 x
6 dx
= 2 36 − 36 + 15 3
7 − 121 3
7
= 2 36 · 21 − 535 = 3
6 · 3235
Logo m = 6485 , (x, y) = 0,
36
7 .
 7. Trabalhando em coordenadas polares,
m = 2pi0
1+sen θ
0 2r dr dθ =
2pi
0 (1 + sen θ)
2 dθ
= 2pi0 1+ 2 senθ +
1
2 (1 − cos 2θ) dθ
= 32 θ − 2 cos θ −
1
4 sen 2θ
2pi
0 = 3pi
My = 0 uma vez que a lâmina é homogênea e simétrica
em relação ao eixo y, e
Mx = 2pi0
1+sen θ
0 2r
2 senθ drdθ
= 23
2pi
0 (1 + sen θ)
3 sen θdθ
= 23
2pi
0 sen θ + 3sen
2 θ + 3sen3 θ + sen4 θ dθ
= 23 3pi +
3
4 pi =
5pi
2
Logo m = 3pi, (x, y) = 0, 56 .
 8. m = pi0
sen x
0 y dy dx =
pi
0
1
2 sen
2 x dx
= 14 x −
1
8 sen 2x
pi
0 =
1
4 pi
My = pi0
sen x
0 xy dy dx =
pi
0
1
2 x sen
2 x dx
= 18 x
2 − 18 x sen 2x −
1
16 cos 2x
pi
0 =
1
8 pi
2
e
Mx = pi0
sen x
0 y
2 dy dx = pi0
1
3 sen
3 x dx
= 13 − cos x +
1
3 cos
3 x pi0 =
4
9
Logo m = pi4 , (x, y) =
pi
2 ,
16
9pi .
 9. m = pi/20
cos x
0 x dy dx =
pi/ 2
0 x cos x d x
= [x sen x + cos x ]pi/ 20 =
pi
2 − 1
My = pi/ 20
cos x
0 x
2 dy dx = pi/ 20 x
2 cos x dx
= x 2 sen x + 2x cos x −2 sen x pi/ 20 =
pi 2
4 − 2
e
Mx = pi/ 20
cos x
0 xy dy dx =
pi/ 2
0
1
2 x cos
2 x dx
= 12 x
2 − x + (x − 1) sen x cos x pi/ 20 =
pi 2
8 −
pi
4
Logo m = pi − 2
2
, (x, y) = pi
2 − 8
2 (pi − 2)
, pi
4
.
 10. I x = D y
2ρ (x, y) dA = 10
1
x 2 y
2 (xy) dy dx
= 10
1
4 xy
4 y =1
y = x 2 dx =
1
0
1
4 x − x
9 dx
= 18 −
1
40 =
1
10
I y = D x
2ρ (x, y) dA = 10
1
x 2 x
3y dy dx
= 10
1
2 x
3y2 y =1y = x 2 dx =
1
0
1
2 x
3 − x 7 dx
= 18 −
1
16 =
1
16
I 0 = I x + I y = 1380 .
15.5 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp